函数极限的性质证明完整版.docx

1、函数极限的性质证明完整版函数极限的性质证明函数极限的性质证明a以此类推，改变数列下标可得 xn -1-ax n-2-ax1-ax n-a|x4,则x4。3当0当0构造函数f式同时成立，故有由的任意性得。这就证明了极限是唯一的。 定理3.3（局部有界性）若极限内有界。存在，贝S在某空心邻域 证设。取，则存在，使得对一切。有这就证明了在内有界。定理3.4（局部保号性）若（或），存在，使得对一切有第1页共18页（或），则对任何正数（或 证设 有 ，这就证得结论。对于，对任何 ，取，则存在）。，使得对一切 的情形可类似地证明。定理3.5（保不等式性）设内有，则与 都存在，且在某邻域。（3）证 设，使得

2、当，时，则对任给的，分别存在正数与（4）当时有5）令，则当 时，不等式 与（4）,（ 5 ） 式同时成立，于是 有式成立。，从而 。由的任意性得，即（3） 定理3.6（迫敛性）设 =，且在某内有（6） 则。证 按假设， 对任给的 ，分别存在正数 与，使得当时（7）当时有（8）令式同时成立，故有，则当时，不等式（6）、（7）、（8），由此得，所以。定理3.7（四则运算法则）若极限，当与都存在，则函数时极限也存在，且1）2）又若，则当时极限也存在，且有）这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给读者作为练 习。 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函 数极限出发计算较复杂的函

3、数极限。例 1 求。解 由第一章3 习题 13，当 时有，而，故由迫敛性得。另一方面，当时有，故由迫敛性又可得。综上，我们求得。例 2 求。解由及1例 4 所得的并按四则运算法则有例 3 求解 当 时有。故所求极限等于例 4 证明证任给（不妨设），为使（9）即，利用对数函数（当时）的严格增性，只要于是，令 成立，从而证得结论。，则当时，就有（9）式 第五篇： 函数极限的证明 函数极限的证明 时函数的极限： 以时和为例引入 .介绍符号:的意义,的直观意义 .定义 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数 . 然后用这些邻域语言介绍 几何意义 .例1验证例2验证例3验证证时函数的极限： 由考虑时的极限引

4、入 .定义函数极限的“”定义 . 几何意义 .用定义验证函数极限的基本思路 . 例 4 验证例 5 验证例 6 验证证由 = 为使需有为使需有于是 , 倘限制 , 就有 例 7 验证例 8 验证单侧极限 :1. 定义： 单侧极限的定义及记法 .几何意义 :介绍半邻域然后介绍等的几何意义 . 例 9 验证证考虑使的单侧极限与双侧极限的关系 :th 类似有 : 例 10 证明: 极限不存在 . 例 11设函数在点的某邻域内单调 . 若存在, 则有 =2函数极限的性质 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质： 唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学

5、重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限 :,. 以下以极限为例讨论性质 . 均给出证明或 简证.二、讲授新课：函数极限的性质 : 以下性质均以定理形式给出 .1. 唯一性 : 局部有界性 :3.局部保号性 :4.单调性 :th4 若和都存在 , 且存在点的空心邻域 , 使，都有证设 =註:若在 th4 的条件中,改“”为“” ,未必就有以举例说明 .5.迫敛性 :6.四则运算性质 : 利用极限性质求极限： 已证明过以下几个极限： 这些极限可作为公式用 .在计算一些简单极限时 , 有五组基本极限 作为公式用 ,

6、我们将陆续证明这些公式 .利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质 ,把所求极限化为基本极限 , 代入基本极限的值 ,即计 算得所求极限 .例1例2例 3註:关于的有理分式当时的极限 .例4附送：函数毕业生自我鉴定函数毕业生自我鉴定第一篇：毕业生鉴定表毕业生鉴定表大学三年中在老师的悉心指导下，我刻苦，认真，努力，不断充 实自我，为我踏入社会打下了坚实的基矗在校学习成绩虽然不是非常好，但我能够端正学习的态度，认真 地对待学习，毕业生鉴定表。通过大学三年努力学习会计基础知 识、会计电算化、成本会计、税法等各门课程，我熟 悉掌握了本专业所必修的基本理论、基本知识、技能和方法。在此基

7、础上，结合专业特点和工作实际，加强了会计、计算机应用能力的锻 炼，能运用会计电算化软件、用友软件，并能熟练 ofie系列办公软 件。在思想品德上，我能和同学友好相处，尊敬师长，乐于助人。在工作上，我时刻保持一颗热情的心和高度的责任感，做事尽心 尽责，并能做到最好，事后认真总结。大学期间，平常会参加一些课 外活动，例如打打羽毛球，爬山等等。假期期间，我还积极参加社会实践。这些锻炼使我的社会适应能 力、管理、组织和协调能力得到很大的提高，团队合作精神和竞争意第9页共18页识得到进一步加强，也让我在处理事情问题的方式方法更加灵活。例如在好又多商场实习期间担当前台收银课，与同事合作愉快，并且虚 心向前

8、辈学习，自己的工作能力得到了领导的认同，给与我了鼓励更 是肯定我的性格：亲和力强、谦虚、细心、开朗，由于性格特点，我不能是孤胆英 雄，而是团队的小兵。我相信个人的力量远不如团队力量，一个人能 力是有限的只有在团队里，才能发挥无限的潜能，毕业生鉴定 表。“逝者如斯夫”大学生活固然是美好，但我的未来并不在这里。 大学只是我学业的一个终点，也是我人生的另一条起跑线，所以我持 着饱满的热情、坚定的信心迎接更好的明天。作为一名即将踏入新岗 位的毕业生，都会有一个重新学习的过程，在工作的这条起跑线上努 力奔跑。该同学在校期间遵纪守法 ; 学习勤奋，有钻研精神，专业知识扎 实，有一定的英语知识基础，知识面较

9、宽 ; 担任班干部期间，对工作积 极，责任心强，有较强的组织协调能力，注重理论联系实际，积极参 加社会实践活动，团结同学，乐于助人，生活节俭，作风正派。对一般同学：该同学在校期间自觉遵守学校各项规章制度 ; 学习刻苦，掌握了相 关的专业知识，有一定的英语知识基础，兴趣爱好广泛，注重理论联 系实际，积极参加社会实践活动，具有较强的管理协调能力和交际能 力，个性活法，有亲和力。对入党了同学：该同学在本科学习阶段，思想上积极要求上进，始终严格要求自 己，有着明确的学习目的和目标且不断努力。他主动学习党中央的各 项政策路线，时刻关注国际、国内要闻，积极向上，不断自我提高 ; 在大三时他申请加入中国共

10、-产- 党，并始终严格按照党员的标准要求自 己。在专业课程的学习上，他能根据本专业的特点，系统地掌握基本 知识，并在此基础上做了大量的实验和课程设计，具有较强的科学研 究能力和创新能力，具有很强的实践动手能力，顺利完成了毕业论 文。除了掌握一定的基础课和专业课知识外，还充分利用了课余时间 参与社会实践活动同学为人诚实友善，乐观开朗，与同学关 系融洽，乐于助人，意志坚强，并能积极参与各项集体活动。大学四 年来连任班XX委员，并在院学生会担任要职，获得过 XX-XX学校优秀团员称号。希望在以后的工作和学习中，继续保持并发扬优良作 风，兢兢业业，争取取得更大的成绩第二篇： -/r+tj 毕业生和班级

11、鉴定 大学毕业生和班级鉴定 以下是大学毕业生： 转眼间大学生活就要结束了 , 离校之前有必要对这四年的大学生活 做个!进入大学以后，本人思想上要求上进，积极向党组织靠拢，入学 不久就递交了入党申请书，参加了入党积极分子培训并顺利结业。在 校期间，我系统全面地学习了专业知识，掌握了较扎实的专业基础理 论知识，成绩一直名列班级前列，并顺利通过了英语四六级考试。参 加学院组织的课程实习，在实习过程中表现良好。此外，我还自学并 通过了全国导游人员资格考试和三级企业人力资源管理师资格考试。本人性格积极热情、乐观开朗，团结集体，乐于助人，平时能严 格要求自己，有较强的表达能力和组织协调能力。大学四年一直担

12、任 班级生活委员，平时能尽心尽力为班级、同学做事，有较强的团队精 神，善于与他人协同合作，大学里和其他班干部一起组织班级各种活 动，得到老师和同学的肯定。同时我也富有的责任感和较强的社会实践能力。由于家庭经济条件不好 , 生活中遇到不少困难，得 到学院领导、老师和班级同学的帮助，我自己也踏实肯干 ,努力不懈 , 多次参加学校的勤工俭学岗位，并且在多种社会实践活动中锻炼和提 高自己。在这个过程中不仅帮父母减轻了一些负担，同时也使我更加 深入地了解了自己 ,认可了自己 ,增强了自信心，收获了成长的快乐。 最后，本人也有着较强的上进心，参加并顺利通过了 201X年研究生入学考试，即将成为华中师范大学

13、教育学院的一名研究生。总之，大学四年我逐渐成长为一名综合素质较全面的大学生。相 信在以后的学习工作和生活中我能有更大提高 !以下是班级鉴定： 某某同学政治上要求进步，能严格要求自己，为人诚实、正直， 尊敬师长，团结同学。大学期间一直担任班级生活委员，工作踏踏实 实，认真负责，得到了师生的一致好评。学习刻苦努力，能够较好地 处理工作与学习之间的关系，学习成绩一直名列班级前茅。积极参加 学院和班级组织的活动和社会实践活动，生活简朴。在校期间表现优 秀，曾获国家励志奖学金和校自强奖。综上所述，某某同学是一名全 面发展的大学生。第三篇：毕业生实习鉴定眨眼间一个月快过去了，自从离开学校到中软国际信息技术

14、有限 公司实习到现在已经有一个月的时间了，在这个期间，我学到了很多 东西，让我收获颇多。下面就是我的实习鉴定。一个月的实习过程，让我提高了自己，特别是想我这样刚离开学 校的实践能力差，更需要通过多做事情来积累经验。 在工作中我能够 完成组长布置的工作，在没有工作任务时能主动要求布置工作，做到 主动学习，在工作中，我不允许自己丝毫的马虎，严谨认真我时刻牢 记。一、 努力学习，不断提升理论素养。在信息时代，学习是不断地汲取新信息，获得事业进步的动力。 我积极响应单位号召，结合工作实际，不断学习理论、技能知识和社 会知识，用先进的理论武装头脑，用精良的业务知识提升能力，以广 博的社会知识拓展视野。二

15、、 提高工作积极性和主动性实习期很快过去了，是开端也是结束。展现在自己面前的是一片 任自己驰骋的沃土，在今后的工作和生活中，我将继续学习，深入实 践，不断提升自我，努力创造业绩，继续为社会创造更多的价值。 感 谢单位领导和部门领导以及师傅们对我的支持和帮助。三、 努力实践，进行角色转化。“理论是灰色的，生活之树常青”，只有将理论付诸于实践才能 实现理论自身的价值 . 也只有将理论付诸于实践才能使理论得以检验。同样，一个人的价值也是通过实践活动来实现的，也只有通过实践才 能锻炼人的品质，展现人的意志。实习使我学习的理论知识能够和动手能力很好的结合融化，是我 大学历程非常宝贵的经验，我会好好总结，

16、帮助我更好的完成学业， 为走出社会做更好的基础第四篇：毕业生鉴定表四年的大学生活即将结束了，回首四年，偶尔回想起那些时光年 少轻狂无忧无虑。四年，总也是人生的一段比较大的时间了，曾经怀 着无限的期望来到大学，四年的生活，经历了风风雨雨，学习方式的 转变，处事能力的锻炼，思想认识的蜕变，心灵感情的跌宕，老师的 悉心教导，同学朋友的关心帮助，种种改变与经历促使了我人生价值 的改观与升华。经过四年的学习成长，我逐渐成为了一个能适应社会 要求的新时代大学生，为今后踏入社会回报国家创造价值打下了坚实 的基础。回顾四年的成长，在各方面都有了很大的进步。首先，思想方面，入学不久就递交了入党申请书，并积极向党

17、组 织靠拢，努力提高自身的思想觉悟和道德修养，在大三时顺利加入中 国共产党，成为一名光荣的预备党员，并在近期向党组织递交了转正 申请书。在校期间严格遵守校规校纪，尊敬师长，团结同学，乐于助 人，经过四年的不断自省、不断完善、不断提高，我思想上有了很大 的进步，励志做一个有高尚道德情操与较高思想觉悟，对社会和国家 有价值的人才。学习上，在经过初入大学时的短暂迷惘期之后，找到了在大学中 正确的学习方法，并认真投入到了学业当中。基础专业课程扎实，较 好的掌握了专业编程技能，并通过平时实验课以及课程设计，做了许 多项目进行实践锻炼。在必修课程之余，养成了良好的自学习惯，时 常去图书馆阅读学习或借阅书籍

18、、广泛涉猎，对游戏策划， 3d 建模等 都有一定的了解。参加过移动举办的就业大赛，接受了比较多的就业 培训、团队合作训练以及人生、心灵课程教育。参加过厦门国际马拉 松，并跑完全程，文体方面有比较全面发展。工作上，大一大二期间担任生活委员，大三大四担任班长。作为 学生干部积极为老师同学们服务，做老师和同学之间的桥梁，工作上 踏实沉稳，认真负责，身体力行，起到先锋模范的带头作用，并尝试 不同的方法调动同学们的学习工作热情。对于院系布置的工作能够及 时准确的完成，通过平时的班级工作，提升了自己各方面的工作能力 与交际能力，大局观念和集体意识大大加强，组织策划能力大大提 高，班级同学团结友爱，积极参加

19、各种院系活动，取得了丰硕的成 果。生活上，秉承了一向的性格特点，积极乐观；生活作风 勤俭节 约，自立自强；与人交往，热情大方，相处融洽。并在大学的四年里 改掉了许多缺点。身为宿舍长，积极组织宿舍参加各项活动，连续三 年获得校文明宿舍称号。平时热爱运动，积极锻炼身体，身体素质较 高。在寒暑假期间，参加各种活动以及实习工作，大大提高自身毕业 踏入社会后的适应能力。上大学后，热爱旅游，从前没有出过家乡， 大学期间喜欢四处走走，也参观过上海世博会、海峡两岸经济博览 会，增长了许多见识，丰富了自己人生的阅历。四年时间会有很多变化，尤其是在日新月异、高速发展的今天。 四年来，我不断自省，不断改正缺点不足，

20、用一个党员的标准严格要 求自己，经过大学的四年学习生活，我成长了很多收获了很多，以前 的毛躁易冲动逐渐远去，为人变得越发成熟稳重起来。许多缺点都在 改善着，即使现在仍存在一些，我相信也会随着好的生活工作学习习 惯而逐渐改善。曾经的那些梦里惆怅，在奋斗中渐渐远去，现在的我已经不再迷 惘。似水年华，在失去中成长，在选择中成长，在坚持中成长，在责 任中成长，现在我已经告别了青涩的模样。回首望当年时的轻狂总感 到成长时的景象，也许将来命运的无常会让人感到彷徨，但曾经的那 些梦想仍然在我的心中，不会被遗忘。迎着风，展现大学生的青春飞 扬，勇敢的走在成长的路上。第五篇：毕业生实习鉴定一个多月的实习，让我获

21、益良多，不仅仅从学习上，更多的是在 经验的积累上。这段时间里，我努力提高自己各方面能力，在政治思 想、理论学习和工作实践方面取得了较大的进步，特别是向我这样刚 离开学校的实践能力差，更需要通过多做事情来积累经验。而实习工 作并不象正式员工那样有明确的工作范围，如果工作态度不够积极就 可能没有事情做，所以平时我主动争取多做事，这样多积累多提高。在工作中我能够完成布置的工作，在没有工作任务时能主动要求 布置工作，做到主动学习，在工作中，我不允许自己丝毫的马虎，严 谨认真我时刻牢记。一、 努力学习，不断提升理论素养。在信息时代，学习是不断地汲取新信息，获得事业进步的动力。 我积极响应单位号召，结合工

22、作实际，不断学习理论、技能知识和社 会知识，用先进的理论武装头脑，用精良的业务知识提升能力，以广 博的社会知识拓展视野。二、 提高工作积极性和主动性 实习期很快过去了，是开端也是结束。展现在自己面前的是一片 任自己驰骋的沃土，在今后的工作和生活中，我将继续学习，深入实 践，不断提升自我，努力创造业绩，继续为社会创造更多的价值。 感 谢单位领导和部门领导以及师傅们对我的支持和帮助。三、 努力实践，进行角色转化。“理论是灰色的，生活之树常青”，只有将理论付诸于实践才能 实现理论自身的价值 . 也只有将理论付诸于实践才能使理论得以检验。 同样，一个人的价值也是通过实践活动来实现的，也只有通过实践才

23、能锻炼人的品质，展现人的意志。四、时刻保持思想的先进性 在政治思想学习上我积极参加党组织生活和各类学习，珍惜集体 学习的机会，利用空余时间学习领导讲话，仔细领会相关文件及会议 精神。认真学习马列主义、毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表” 重要思想，认真学习“科学发展观”，时刻保持思想的先进性。这次的经历是实实在在的，就感觉自己每天都在进步，每天都能 够接触新的事物，一点一点的吸收进去。初踏社会便有了这么深的感 受，正应了那句话：社会是一所最好的大学，果然没错。 展现在自己面前的是一片任 自己鞭策的沃土，也分明感受到了沉甸甸的责任。在今后的工作和生活中，我将继续学习，深入实践，不断提升自我，努力创造业绩，继 续创造更多的价值