复变函数考试题及答案.docx

1、复变函数考试题及答案复变函数考试题及答案【篇一：复变函数考试试题与答案各种总结】xt一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若 zn 收敛，则 re znim zn 与 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域d内解析，且 f(z)?0，则f(z)?c（常数）.( ) 5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( )6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( )7.若 z?z0 limf(z) 存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点

2、. ( ) 8.若函数f(z)在是区域d内的单叶函数，则f(z)?0(?z?d). ( )9. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c ? c f(z)dz?0. ( ) 10.若函数f(z)在区域d内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域d内恒等于常数.（） 二.填空题（20分） dz ?_.（n为自然数） 1、 ?|z?z0|?1(z?z)n 22sinz?cosz? _. 2. 3.函数sinz的周期为_. f(z)? 4.设 ? 1 z2?1，则f(z)的孤立奇点有_. n 5.幂级数 ?nz n?0 的收敛半径为_. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_.

3、 7.若n? limzn? z1?z2?.?zn ? n?n，则_. lim ez res(n,0)? z8._，其中n为自然数.sinz9. 的孤立奇点为_ . z limf(z)?_zf(z)的极点，则z?z0 10.若0是. 三.计算题（40分）： 1. 设 1 f(z)? (z?1)(z?2)，求f(z)在d?z:0?|z|?1内的罗朗展式. 1 dz.?|z|?1cosz2. 3?2?7?1 f(z)?d? c?z3. 设，其中c?z:|z|?3，试求f(1?i). w? 4. 求复数 z?1 z?1的实部与虚部. 四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)

4、? f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d内 在割去线段0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支, 并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z?1的值. 复变函数考试试题（一）参考答案 一 判断题 ?2?in?11. ? ；2. 1；3. 2k?，(k?z)；4. z?i； 5. 1 0n?1? 6. 整函数；7. ?；8. 三计算题. 1. 解 因为0?z?1, 所以0?z?1 ? 1?zn111n ?z?(). f(z)? 2n?02(z?1)(z?2)1?z2(1?)n?0 2 1 ； 9. 0； 10. ?. (n?1)!2. 解 因为 z?

5、 resf(z)?lim z? ? 2 ? 2 z? ? 2 ?lim1?1, coszz?sinzz? ? 2 resf(z)?lim z? ? 2 z? ?2 ?lim1?1. coszz?sinz 所以 1 sf(z)?resf(z)?0. z?2cosz?2?i(re?z?z? 2 2 2 3. 解 令?(?)?3?7?1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内, f(z)? ?(?) ?c?z?2?i?(z). 所以f?(1?i)?2?i?(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i). 4. 解 令z?a?bi, 则 w? z?122a(?1?bi)2a(?1)

6、b2 . 2?1?1?122222 z?1z?1(a?1)?b(a?1)?ba(?1)?bz?12(a?1)z?12b , . )?1?im()? z?1(a?1)2?b2z?1(a?1)2?b2 故 re( 四. 证明题. 1. 证明 设在d内f(z)?c.令f(z)?u?iv, 则f(z)?u2?v2?c2. 2 ?uux?vvx?0 两边分别对x,y求偏导数, 得? ?uuy?vvy?0 (1)(2) 因为函数在d内解析, 所以ux?vy,uy?vx. 代入 (2) 则上述方程组变为 ?uux?vvx?022 . 消去ux得, (u?v)vx?0. ? ?vux?uvx?0 1) 若u?

7、v?0, 则 f(z)?0 为常数. 2) 若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 c.?r.方程有ux?0, uy?0, vy?0. 所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数). 2 2所以f(z)?c1?ic2为常数. 2.证明f(z)? 的支点为z?0,1. 于是割去线段0?rez?1的z平面内变点就 不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支. 由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角增加?. 所以 f(z)?的幅角共增加 ? . 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于是可认为该分2 ?i?2支在上岸之幅角为0, 因而此分支在z?1的幅角为,

8、 故f(?1)?. 2 复变函数考试试题（二） 一. 判断题.（20分） 1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在d内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在d内连续. ( ) 2. cos z与sin z在复平面内有界.( ) 3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( ) z?z0 6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )7. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?f(z)dz?0. c ( ) 8. 若数列zn收敛，

9、则rezn与imzn都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域d内解析，则|f(z)|也在d内解析. ( ) 111 10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f()?0且f()?,n?1,2,. n?12n2n ( ) 二. 填空题. (20分) 1. 设z?i，则|z|?_,argz?_,?_ z?1?i 2.设f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?c，则limf(z)?_. 3. dz ?|z?z0|?1(z?z0)n?_.（n为自然数）4. 幂级数?nzn的收敛半径为_ . n?0 ? 5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是f(z)的_零点.

10、 6. 函数ez的周期为_. 7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为_. 8. 设f(z)? 1 ，则f(z)的孤立奇点有_. 2 1?z 9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为_. z?1 10. res(,1)?_. 4 z 三. 计算题. (40分) 3 sin(2z)的幂级数展开式. 1. 求函数 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数 z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z ?i处的值. ?|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1） ?ii 3. 计算积分：i 的右半圆. 4. 求 sinz z?2

11、 (z?)2 2 dz . 四. 证明题. (20分) 1. 设函数f(z)在区域d内解析，试证：f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析. 2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 复变函数考试试题（二）参考答案 一. 判断题.【篇二：复变函数题库(包含好多试卷,后面都有答案)】复变函数考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( )2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( )3.若 zn 收敛，则 re zn 与 im zn 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域d内解析，且 f(z)?0，则f(z)?c （常数）.(

12、 ) 5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数.( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) limf(z) 7.若 z?z0 存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域d内的单叶函数，则f(z)?0(?z?d). ( ) 9. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?c f(z)dz?0. ( ) 10.若函数f(z)在区域d内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域d内恒等于常数.（ 二.填空题（20分） dz1、 ? |z?z(z?z? _.（n为自然数） 0|?1 0)

13、n 2 2.sin 2 z?cosz? _. 3.函数sinz的周期为_. f(z)? 1 4.设 z2 ?1，则f(z)的孤立奇点有_. ? 5.幂级数?nzn的收敛半径为_. n?0 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是_. lim z1?z2?.?zn 7.若limn? zn? ，则 n? n ? _. ezres( 8.z n ,0)? _，其中n为自然数. ）9. sinzz 的孤立奇点为_ . z10.若0是 f(z)的极点，则z?z0 1(z?1)(z?2)dz. 3?7?1 2 limf(z)?_ . 三.计算题（40分）： f(z)? 1. 设 d，求f(z)在?

14、z:0?|z|?1内的罗朗展式. 2. ? 1cosz |z|?1 f(z)? 3. 设 w? ? c ?z d? ，其中c?z:|z|?3，试求f(1?i). z?1 z?1的实部与虚部. 4. 求复数 四. 证明题.(20分) 1. 函数为常数. 2. 试证: f(z)? 0?rez?1的z平面内能分出两个单值解析分支, f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它在d 内 并求出支割线0?rez?1上岸取正值的那支在z?1的值. 复变函数考试试题（二） 一. 判断题.（20分） 1. 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在d内连续，则u(x,y)与v(x,

15、y)都在d内连续. ( ) 2. cos z与sin z在复平面内有界.( ) 3. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0连续. ( ) 4. 有界整函数必为常数. ( )5. 如z0是函数f(z)的本性奇点，则limf(z)一定不存在. ( ) z?z0 6. 若函数f(z)在z0可导，则f(z)在z0解析. ( )7. 若f(z)在区域d内解析, 则对d内任一简单闭曲线c?f(z)dz?0. c ( )8. 若数列zn收敛，则rezn与imzn都收敛. ( ) 9. 若f(z)在区域d内解析，则|f(z)|也在d内解析. ( ) 10. 存在一个在零点解析的函数f(z)使f(二. 填

16、空题. (20分) 1n?1 )?0 12n 12n 且f( )?,n?1,2,. . ( ) 1. 设z?i，则|z|?_,argz?_,?_ 2.设 f(z)?(x?2xy)?i(1?sin(x?y),?z?x?iy?c 2 2 2 ，则limf(z)?_. z?1?i 3. ? dz(z?z0) ? |z?z0|?1 n 4. 幂级数?nzn的收敛半径为_ . n?0 5. 若z0是f(z)的m阶零点且m0，则z0是f(z)的_零点. 6. 函数ez的周期为_. 7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为_. 8. 设f(z)? 11?z 2 ，则f(z)的孤立奇点有_.

17、 9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为_. 10. res( z?1z 4 ,1)?_. 3 三. 计算题. (40分) 1. 求函数 sin(2z) 的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数z 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值. 3. 计算积分：i ? ? i ?i |z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1） 的右半圆.4. 求 sinz z?2 (z? ? 2 ) 2 . 四. 证明题. (20分) 1. 设函数f(z)在区域d内解析，试证：f(z)在d内为常数的充要条件是f(z)在d内解析.

18、2. 试用儒歇定理证明代数基本定理. 复变函数考试试题（三） 一. 判断题. (20分). 1. cos z与sin z的周期均为2k?.() 2. 若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件, 则f(z)在z0解析. () 3. 若函数f(z)在z0处解析，则f(z)在z0连续. () 4. 若数列zn收敛，则rezn与imzn都收敛.() 5. 若函数f(z)是区域d内解析且在d内的某个圆内恒为常数，则数f(z)在区域d内为常数.() 6. 若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导.() 7. 如果函数f(z)在d?z:|z|?1上解析,且|f(z)|?1(|z|?1),则 |

19、f(z)|?1(|z|?1). （）8. 若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. () 9. 若z0是f(z)的m阶零点, 则z0是1/f(z)的m阶极点. () 10. 若z0是1. 设f(z)? z f(z)的可去奇点，则res(f(z),z0)?0. () 1z?1 2 二. 填空题. (20分) ，则f(z)的定义域为_. 1n 2. 函数e的周期为_. 3. 若zn? n?21?n ?i(1? ) n ，则limz?_. n? n 4. sin2z?cos2z?_.5. ? dz(z?z0) ? |z?z0|?1 n ?_.（n为自然数） 6. 幂级数?

20、nxn的收敛半径为_. n?0 7. 设f(z)?8. 设e z 1z?1 2 ，则f(z)的孤立奇点有_. ?1，则z?_. 9. 若z0是 f(z)的极点，则limf(z)?_ z?z0 zn . 10. res( ez ,0)?_. 1 三. 计算题. (40分) 1. 将函数f(z)?zez在圆环域0?z?内展为laurent级数. 2 ? 2. 试求幂级数 ?n n? n! zn n 的收敛半径. 3. 算下列积分： ? edzz(z?9) 2 z c 22 ，其中c是|z|?1. 4. 求z?2z?z?8z?2?0在|z|1内根的个数. 四. 证明题. (20分) 1. 函数 96

21、 f(z)在区域d内解析. 证明：如果|f(z)|在d内为常数，那么它 在d内为常数. 2. 设使得当| f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数r及m，z|?r时 |f(z)|?m|z|， n 证明 f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。【篇三：复变函数试题与答案】一、 选择题 1当z?1?i时，z100?z75?z50的值等于（ ） 1?i （a）i （b）?i（c）1 （d）?1 2设复数z满足arc(z?2)? 3，arc(z?2)?5?，那么z?（ ） 6 1331?i （d）?i 2222（a）?1?3i （b）? 3复数z?tan?i(3?i （c）?)的三

22、角表示式是（ ） 2 ?)?i?) （b）sec?（a）sec22?3?3?)?i?) 22 ?（c）?sec3?3?)?i?)（d）?sec?)?i?) 2222 224若z为非零复数，则z?与2z的关系是（ ） 2222（a）z?2z （b）z?2z 22（c）z?2z （d）不能比较大小 设x,y为实数，则动点(x,y)z1?x?yi,z2?x?yi且有z1?z2?12， 的轨迹是（ ） （a）圆 （b）椭圆 （c）双曲线（d）抛物线 一个向量顺时针旋转?3，向右平移个单位，再向下平移个单位后对应的复数为 1?3i，则原向量对应的复数是（ ） （a）2（b）1?i （c）3?i （d）3

23、?i 1使得z2?z成立的复数z是（ ） 2 （a）不存在的（b）唯一的 （c）纯虚数 （d）实数 设z为复数，则方程z?2?i的解是（ ） （a）?3333?i （b）?i （c）?i （d）?i 4444 满足不等式z?i?2的所有点z构成的集合是（ ） z?i （a）有界区域 （b）无界区域 （c）有界闭区域 （d）无界闭区域 10方程z?2?3i?2所代表的曲线是（ ） （a）中心为2?3i，半径为2的圆周 （b）中心为?2?3i，半径为的圆周 （c）中心为?2?3i，半径为2的圆周 （d）中心为2?3i，半径为的圆周 11下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （a）z?1?2

24、（b）z?3?z?3?4 z?2 z?a?1(a?1) （d）z?a?z?a?c?0(c?0) 1?az（c） 12设f(z)?1?,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2 ） （a）?4?4i（b）4?4i（c）4?4i（d）?4?4i 13limim(z)?im(z0)（ ） x?x0z?z0 （a）等于i（b）等于?i（c）等于0（d）不存在 14函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（ ） （a）u(x,y)在(x0,y0)处连续（b）v(x,y)在(x0,y0)处连续 （c）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（d）u

25、(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续 2z2?z?115设z?c且z?1，则函数f(z)?的最小值为（ ） z （a）?3 （b）?2（c）?1 （d）1 二、填空题 1设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i) 2设z?(2?3i)(?2?i)，则argz? 3设z?,arg(z?i)?3?，则z? 4 (cos5?isin5?)2 4复数的指数表示式为 2(cos3?isin3?) 5以方程z?7?i的根的对应点为顶点的多边形的面积为 不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线的内部 6 方程2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为2?(1?i)z 方程

26、z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线 对于映射? 2i22，圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z410lim(1?z?2z)? z?1?i 三、若复数z满足z?(1?2i)z?(1?2i)?3?0，试求z?2的取值范围 四、设a?0，在复数集c中解方程z2?2z?a. 五、设复数z?i，试证z是实数的充要条件为z?1或im(z)?0. 21?z 3六、对于映射?11(z?)，求出圆周z?4的像. 2z 七、试证.z1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2； z2 z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n)的充要条件为 z2. z1?z2?zn?

27、z1?z2?zn. 八、若limf(z)?a?0，则存在?0，使得当0?z?z0?时有f(z)?x?x01a. 2 九、设z?x?iy，试证x?y 2?z?x?y. 十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性： ?2xy,z?0?1.f(z)?x2?y2 ?0,z?0? ?x3y?,z?02.f(z)?x2?y2. ?0,z?0? 第二章解析函数 一、选择题： 1函数f(z)?3z在点z?0处是( ) （a）解析的（b）可导的 （c）不可导的 （d）既不解析也不可导 2函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( ) 4 2（a）充分不必要条件 （b）必要不充分条件 （c）充分必要条件（d）

28、既非充分条件也非必要条件 3下列命题中，正确的是( ) （a）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1 （b）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导 （c）若u,v在区域d内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在d内解析 （d）若f(z)在区域d内解析，则在d内也解析 4下列函数中，为解析函数的是( ) （a）x2?y2?2xyi（b）x2?xyi （c）2(x?1)y?i(y2?z?x2 0?2x)（d）x3?iy3 5函数f(z)?z2im(z)在处的导数( ) （a）等于0 （b）等于1 （c）等于?1（d）不存在 6若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)