二线性方程组的解法.docx

1、二线性方程组的解法第二章线性方程组地解法基本解法迭代法和直接法直接方法大家已学过,我们重在分析程序写法. 1雅可比vJacobi)迭代法例：求解线性方程组10咅 - x2 - 2X3 = 7.2一 X + 10x2 - 2x3 = 8.3i - % - x2 + 5x3 = 4.2分离出x1、x2、x3,构造迭代XiX = x23b2当X(k) 极限存在就是方程组地解, 本方法也适用于非线性方程组迭代极限存在极限即为解程序思想：定义数组 A X(n B(n读入组数A B X0 (初值Do 100 k=1, 10Do 200 i =1, nnX(i)二B(i)- A(i,j)* X0(j)三重循

2、环j 4j-i200 CONTI NUEDO 300 i =1, n300 X0100 WI TE*, *)X St opEnd51 2 3 4 5 7 8 92460 2 高斯-塞德尔Gauss-Sei del)迭代法对雅可尔迭代稍加改进就可得到更有效地计算公式Jacobi迭代中,第k次迭代时，Xi都用地是第k-1次迭代结果1 n二(bi 八 ajX(k)aii j 二(k 41) (k41)在此之前 x1 到Xi_1已经迭代出第k+1次结果.(k 41) (k+1)我们用已有地X1 到Xi d新值，可改造为i -1 nXi(kH1)=(b_E ajX(k41) Z ajX(k)aii j

3、=1 j 1高斯-塞德尔迭代法程序更简单：定义数组 AX(n B(n读入组数A B X0 (初值Do 100 k=1, 10Do 200 i =1, nnX1(i)二 B(i)八 A(i,j)* X0(j)j=i：nX(i)二 B(i)- A(i, j)* X(j)三重循环j 二j-iCONTI NUEDO 300 i =1, nX0WI TE*, *)XSt opEnd超松驰迭代法我们要解地方程组是 矩阵形式印，a?厂片I _b 200300100AX - b 归21,a22】x2 - b -有初值X(0)ai, a2 x10) b1AX(0) =bI I I丨式Ia21, a 22 j X

4、2Lb2 -有一残余误差r = b- AX(0)r1 b1 a11a12 x()- b -a2ia 22 -公2)_X=x(0)(b-AX)巧I/严ZE)如如践一环22_如将b地残余误差用来修正X,数学家也很伟大当X(k)极限,极限即解 为什么收敛极限即解？迭代公式：(k 1)in=#k) - (bi - aijx(k)jw注意j “可以,且必须含有该项ii nXi(k4l)=Xi(k) (bi-迟引严-迟 aajXj(k)j=1 j=i以上两式迭代有何异同？当aii 0时i -1 nx(k)= x(k) (bi_送 3用5-迟 aijx(k)aii j m j w减少 ai倍 不影响思想可以

5、证明保证迭代收效必须要求 0-： 20 ： 低松弛法1 超松弛法迭代法地收放性%311定理 所有迭代都可写成矩阵形式f la11ai2 |xdbl且1a221X 二 BX对任意初值问差x(0)及任意f x (bi - a12x2) / a11 =迭代收放地充要条件是:a?i b?X2 = (d - a2x)/ a?2 x -:(B) 1P(B) =Max 入BiB为方阵B地特征值det( E - B) b11 - b12-b?i 1 - b?2III_ b1n_ b2n定理 充分条件）B d对任意X （0）, f收敛n对角元点优 an aijjm对间钱上元素绝对值大于同行元素绝对值之和.AX=

6、b则 Jacobi Gauss- Sei del 都收敛. 4高斯消去法a11a12a13 为 11 1bl 61X1 + a12x2+ 813X3 = b1(1)la21a221 - a23 | x2 =1 b? a?1 片 + a?%?+ a23x3 _ b2a31a32a33x3_|da31 N * a32x2* a33x3 b32j-2? a21aiiby弋+仝竺（1）況旦+（2）消去中地nan a11a3?(1)丄 _a1 j a31 = a3j+ a11b（2）我+兰电（1F 旦+消去中地x1耳1 a11即消第i行地X1a(1)a(1)(2) (1) 1j i1a() = a(丿

7、a11b二bibTaJaiii=2,3,4.n j=1,2,3.n 皆)经过上式得零.或 i=2,3,4n j=2,3.n直接让为零.经过k-1次消元a11 a12 a13a1n -1aina21 a22 a23a2n -1X1 | | a2n X?|b1b2bk0 0 aikain -1ainankann -13ann X-bna(k ija(k)(k 1) = b(k)akk)aikk)akk)bkk)aikk)akk)k -1,2,., n -1消Xk用第k个方程消其下边方程中地xki = k 1,., n消第i个方程中地xkj = k,., n消第i个方程中地Xk时第i个方程中各项相应

8、变化当 j=k 时 ai，1)= 0或 j - k 1,., n消第i个方程中地Xk时第i个方程中各项相应变化强行让a(kk 1 =0DO 100 k=1, n-1DO 200 i=k+1, nbkaikakkDO 300 j =k, nakj aikaj = au akk300 CONTI NUE200 CCNTI NUE100 CCNTI NUE回代过程aiiai2ai2a22b2_b3bn / annXn _ ( bn -1an ,n Xn ) / an4,n Xnxj/aiN = (b - 3ij#程序结构:xn = bn / annDO I =2 1, 1,-1T=0. 0DO J=

9、I +1, NT=T+aij XiENCDOXi = (bi -T)/aiENCDO列主元素消去法高斯消去法 碰到a11,a22),ai(k)为零或很小时,消去无法进行.人手工问时无所谓,为零更好该方程省得去消,但程序计算就不能进行 列主元素消去调换方程顺序 注意调换方程顺序并不会改变未知数顺序0x1 10x2 8X3 = 5例：6Xi 7X2 4X3 = 63x1 6x2 x 4每次作消去时，判断不为零地剩余方阵第一列水最大比如做第k次消元消Xk）剩余k乘k矩阵,则判断akk, a, a2,kan,k谁最大.判断大小，只记最大位置比如am,k最大，则用它去消剩余地.为了程序设计方便我们将第m

10、个方程移到第i个,一次下移. 或更简洁地将第i个与第m个进行对换.必需作注意：X矩阵不用变化.为什么？调整方程顺序,未知数地位置并不变. 这样一来程序上要做一些变化,在消之前加判断大小和跳换位置 加在*处回代过程不变DO 100 k=1, n-1*aij akj aikakk300 CONTI NUE200 CONTI NUE100 CCNTI NUE回代过程不变完全主元素消去法-r 11 1 1 1-11 1AA X=bi Ji J1J在A中找最大元素，将该元素换到第一行第一列这样方程调顺序未知数亦调顺序做到第k次时在剩余地方阵元素中找最大地再调整方程顺序未知数顺序特别注意 前几个方程地系数、未知数还要调整顺序. 未知数位置地变化必须记住,打印结果时要还原顺序. 回代过程不变.