离散数学第二版课后习题答案详解完整版.docx

1、离散数学第二版课后习题答案详解完整版习题一1.下列句子中,哪些是命题？在是命题的句子中,哪些是简单命题？哪些是真命题？哪些命题的真值现在还不知道？（1）中国有四大发明.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（2）5 是无理数.答：此命题是简单命题，其真值为 1.（3） 3 是素数或 4 是素数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为 1.（4） 2x+ 3 5 答：不是命题.（5）你去图书馆吗？答：不是命题.（6）2 与 3 是偶数.答：是命题，但不是简单命题，其真值为 0.（7）刘红与魏新是同学.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.（8）这朵玫瑰花多美丽呀！答：不是命题.（9）吸烟请到吸烟室去

2、！答：不是命题.（10）圆的面积等于半径的平方乘以 .答：此命题是简单命题，其真值为 1.（11）只有 6 是偶数，3 才能是 2 的倍数. 答：是命题，但不是简单命题，其真值为 0.（12）8 是偶数的充分必要条件是 8 能被 3 整除.答：是命题，但不是简单命题，其真值为 0.（13）2008 年元旦下大雪.答：此命题是简单命题，其真值还不知道.2.将上题中是简单命题的命题符号化.解:（1）p：中国有四大发明.（2）p: 是无理数.（7）p:刘红与魏新是同学.（10）p:圆的面积等于半径的平方乘以 .（13）p:2008 年元旦下大雪.3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号

3、化,最后指出各否定式的真值.（1）5 是有理数.为 1.答：否定式：5 是无理数. p：5 是有理数.q：5 是无理数.其否定式 q 的真值（2） 25 不是无理数.答：否定式： 25 是有理数. p： 25 不是无理数. q： 25 是有理数. 其否定式 q 的真值为 1.（3）2.5 是自然数.答：否定式：2.5 不是自然数. p：2.5 是自然数. q：2.5 不是自然数. 其否定式 q 的真值为 1.（4）ln1 是整数.答：否定式：ln1 不是整数. p：ln1 是整数. q：ln1 不是整数. 其否定式 q 的真值为 1. 4.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 与 5 都是素

4、数答：p：2 是素数，q：5 是素数，符号化为 p q ，其真值为 1.（2）不但 是无理数，而且自然对数的底e 也是无理数.答：p： 是无理数，q：自然对数的底e 是无理数，符号化为 p q ，其真值为 1.（3）虽然 2 是最小的素数，但 2 不是最小的自然数.答：p：2 是最小的素数，q：2 是最小的自然数，符号化为 p q ，其真值为 1.（4）3 是偶素数.答：p：3 是素数，q：3 是偶数，符号化为 p q ，其真值为 0.（5）4 既不是素数，也不是偶数.答：p：4 是素数，q：4 是偶数，符号化为 p q，其真值为 0. 5.将下列命题符号化，并指出真值.（1）2 或 3 是偶

5、数.（2）2 或 4 是偶数.（3）3 或 5 是偶数.（4）3 不是偶数或 4 不是偶数.（5）3 不是素数或 4 不是偶数.答: p：2 是偶数，q：3 是偶数，r:3 是素数，s:4 是偶数, t:5 是偶数(1)符号化: p q ，其真值为 1. (2)符号化：p r ，其真值为 1. (3)符号化：r t ，其真值为 0.(4)符号化： q s，其真值为 1.(5)符号化： r s，其真值为 0. 6.将下列命题符号化.（1）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.答：p：小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨，符号化为: p q .（2）这学期，刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语

6、课.答：p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语，符号化为: ( p q)(p q) .7.设 p：王冬生于 1971 年，q：王冬生于 1972 年，说明命题“王冬生于 1971 年或 1972年”既可以化答:列出两种符号化的真值表：pq0000011110111101根据真值表,可以判断出,只有当p 与q 同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结合命题可以发现,p 与q 不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.8.将下列命题符号化,并指出真值.（1）只要, 就有 ；（2）如果 , 则 ；（3）只有, 才有 ；（4）除非, 才有 ；（5）除非, 否则 ；（6）仅当 .答:设 p:,

7、 则 : ; 设 q: , 则 : .符号化真值（1）1（2）1（3）0（4）0（5）0（6）19.设 p：俄罗斯位于南半球,q：亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） .答:根据题意,p 为假命题,q 为真命题.自然语言真值（1）只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多1（2）只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球0（3）只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多1（4）只要俄罗斯位于南半球，亚洲人口就不是最多1（5）只要亚洲人口不是最多，俄罗斯就位于南半球1（6）只要俄罗斯不位于南半球，亚洲人口就不是最多0（7）只要亚

8、洲人口不是最多，俄罗斯就不位于南半球110.设 p：9 是 3 的倍数,q：英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值：（1） ；（2） ；（3） ；（4） .答:根据题意,p 为真命题,q 为假命题.自然语言真值（1）9 是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其相邻0（2）9 是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻1（3）9 不是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其相邻1（4）9 不是 3 的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻011.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）若 2+2=4,则地球是静止不动的；（2）若 2+2=4,则地球是运动不止的；（3）命题 1命题 2符号化真值（1）

9、p:2+2=4q:地球是静止不动的0（2）p:2+2=4q:地球是静止不动的1（3）p:地球上有树木q:人类能生存1（4）p:地球上有树木q:人类能生存1若地球上没有树木,则人类不能生存；（4）若地球上没有水,则 是无理数. 答:12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值：（1）2+2=4 当且仅当 3+3=6；（2）2+2=4 的充要条件是 3+3 6；（3）2+2 4 与 3+3=6 互为充要条件；（4）若 2+2 4,则 3+3 6,反之亦然.答:设 p:2+2=4,q:3+3=6.符号化真值(1)1(2)0(3)0(4)113.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值：（1）若今天是星期一

10、,则明天是星期二；（2）只有今天是星期一,明天才是星期二；（3）今天是星期一当且仅当明天是星期二；（4）若今天是星期一,则明天是星期三.答:设 p:今天是星期一,q:明天是星期二,r:明天是星期三.符号化真值讨论(1)不会出现前句为真,后句为假的情况(2)不会出现前句为真,后句为假的情况(3)必然为 1(4)若 p 为真,则真值为 0;若p 为假,则真值为 114.将下列命题符号化：（1）刘晓月跑得快,跳得高；（2）老王是山东人或者河北人；（3）因为天气冷,所以我穿了羽绒服；（4）王欢与李乐组成一个小组；（5）李欣与李末是兄弟；（6）王强与刘威都学过法语；（7）他一面吃饭,一面听音乐；（8）如

11、果天下大雨,他就乘班车上班；（9）只有天下大雨,他才乘班车上班；（10）除非天下大雨,否则他不乘班车上班；（11）下雪路滑,他迟到了；（12）2 与 4 都是素数,这是不对的；命题 1命题 2命题 3符号化(1)p:刘晓月跑得快q:刘晓月跳得高-(2)p:老王是山东人q:老王是河北人-(3)p:天气冷q:我穿羽绒服-(4)p:王欢与李乐组成一个小组-p:王欢与李乐组成一个小组(5)p:李辛与李末是兄弟-p:李辛与李末是兄弟（13）“2 或 4 是素数,这是不对的”是不对的. 答:(6)p:王强学过法语q:刘威学过法语-(7)p:他吃饭q:他听音乐-(8)p:天下大雨q:他乘车上班-(9)p:天

12、下大雨q:他乘车上班-(10)p:天下大雨q:他乘车上班-(11)p:下雪q:路滑r:他迟到了(12)p:2 是素数q:4 是素数-(13)p:2 是素数q:4 是素数-15.设 p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r:太阳从西方升起. 求下列符合命题的真值：（1）（2）（3） （4） 解：p 真值为 1，q 真值为 1，r 真值为 0.（1）0，（2）0，（3）0，（4）116.当 p,q 的真值为 0,r,s 的真值为 1 时,求下列各命题公式的真值：（1）（2）（3）（4）解：（1）0，（2）0，（3）0，（4）117.判断下面一段论述是否为真：“ 是无理数.并且,如果 3 是无理数,则

13、 也是无理数.另外,只有 6 能被 2 整除,6 才能被 4 整除.”解：p: 是无理数q: 3 是无理数 r:是无理数 s: 6 能被 2 整除 t：6 能被 4 整除符号化为: ，该式为重言式，所以论述为真。18.在什么情况下,下面一段论述是真的:“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.” 解：p:小王会唱歌。q:小李会跳舞。真值为 1. 真值为 0.可得，p 真值为 1，q 真值为 0.所以，小王会唱歌，小李不会跳舞。19.用真值表判断下列公式的类型:（1）（2） p（3）（4）（5）（6） （7） .解：（1）pqr0001001101010

14、1111001101111011111此式为重言式（2）pq（p001010101111此式为可满足式（3）qr000010100110此式为矛盾式（4）pq001011101111此式为重言式（5）pqr00000010010101111001101011011110此式为可满足式（6）pqr00010011010101111001101111011111此式为重言式（7）pqrs00001000100010000111010010101001100011111000010010101011011111001110101110011111此式为可满足式20.求下列公式的成真赋值：（1）（2）

15、（3）（ 4 ） 解： pq000110011011101111111101由真值表得：（1）的成真赋值是 01，10,11（2）的成真赋值是 00，10,11（3）的成真赋值是 00，01,10 （4）的成真赋值是 01，10,1121.求下列各公式的成假赋值：（1）（2）（ 3 ） 解： pqr000111001111010101011011100110101110110101111111由真值表得：（1）的成假赋值是 011 （2）的成假赋值是 010,110（3）的成假赋值是 100,10122.已知公式 是矛盾式，求公式 成真和成假赋值.解： 是矛盾式 也是矛盾式。由此可得：该式无成

16、真赋值。而成假赋值为：000,001,010,011,100,101,110,11123.已知公式 是重言式,求公式 的成真和成假赋值. 解： 是重言式， 也是重言式。由此可得：该式无成假赋值。而成真赋值为：000,001,010,011,100,101,110,11124.已知 是重言式，试判断公式 及 的类型.解： 是重言式，而要使该式为重言式，其成真赋值只有11， 都是重言式。25.已知 是矛盾式，试判断公式 及 的类型.解： 是矛盾式，而要使该式为矛盾式，其成假赋值只有 00， 都是重言式。26.已知 是 重言 式， 是 矛盾 式， 试 判断及 的类型.解： 是矛盾式。是重言式。27.

17、设A、B 都是含命题变量项 p1,p2,pn 的公式,证明: 是重言式当且仅当A 和B 都是重言式.解：AB000010100111由真值表可得，当且仅当A 和B 都是重言式时，是重言式。28.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,pn 的公式,已知 是矛盾式,能得出A 和B 都是矛盾式的结论吗?为什么?解：AB000010100111同样由真值表可得， 的成假赋值有 00,01,10.所以无法得到A 和B 都是矛盾式。29.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,pn 的公式,证明:是矛盾式当且仅当A 和B 都是矛盾式.解：AB000011101111由真值表可得，当且仅当A 和B 都

18、是矛盾式时，是矛盾式。30.设 A、B 都是含命题变量项 p1,p2,pn 的公式,已知 是重言式,能得出A 和B 都是重言式的结论吗?解：AB000011101111由真值表可得 的成真赋值有 01,10，11.所以无法得到A 和B 都是重言式。习 题 二1.设公式 A p q= ,B p q= ，用真值表验证公式 A 和 B 适合德摩根律： (A B) A BpqAB (A B) A B0010110110001001001110002.公式 A 和 B 同题（1），用真值表验证公式 A 和 B 适合蕴涵等值式.A B A BpqABA B A B001000011000100111111

19、0003.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值.（1） (p q q)答：原式= ( (p q q) )= ( p q q)= 0 是矛盾式.4.用等值演算法证明下面等值式.（1） p （p q p q）（ ）答：右式= p q q （ ）= p1= p（2） (p q ) (p r) (p (q r) 答：右式= p q r( )=( p q) ( p r)= (p q p r ) ( ) =左式（3） (p q) (p q) (p q) 答： 左式= ( p q) (p q)= (p ( p q) ( q ( p q)= (p q ) (p q)

20、（4） (p q ) ( p q) (p q) (p q) 答：左式= (p ( p q) ( q ( p q)= (p q ) (p q)5.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（1） (pq) (qp)答：( = = p q) ( q p) (p q) ( q p) (p q) ( q p)= ( p q) ( q p p( ) (p q q( )= (p q = ) (p p) ( p q m m m) 0 2 3成真赋值为 00,10,11.（2） (pq) qr 答： = = =(p q q r) ( p q q r p qq) 0所以为矛盾式。（3） (p q r ( ) (p

21、q r)答(p q r = = ()(p q r) (p q r( )(p q r) ( p (q r) (p q r)= ( = p ( q r)(p q r)( p q)( p r) (p q r)= ( p q r r()( p q q() r)(p q q r r( ) () (p p q r r) ( )(p p q q r ) ( ) )= ( p q r) ( p q r )( p q r) (p q r) (p q r) (p q r = ) (p q r) ( p q r m m m m m mm m) 0 1 2 3 4 5 6 7 所以是重言式，真值为000,001,01

22、0,011,100,101,110,111.6.求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（1） (qp)p 答： = = =(q p) p ( q p) p q p p 0，是矛盾式，所有赋值均为成真赋值。（2） (pq) (pr) 答：(p q = = =) ( pr) (p p r q p r) ( ) ( p q r M) 4，成假赋值为 100.（3） (p (pq)r 答： (p = = =(p q r) ( p p q r( ) ( p p q r 1，所以为重言式。所有赋值均为成真赋值。7.求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1） (pq)r 答：(p q r p

23、 q r r = ) ( ( ) (p p q q r ) ( ) )= (p q r r ( )(p p q q r ) ( ) )= (p q r )(p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r)=m m m m m M M M1 3 5 6 7 = 0 2 4（2） (pq) (qr)答：(p q q r = = ) ( )( p q) ( q r) ( p q) ( p r q q q r) ( ) ( )= ( p q r r( ) ( p q q r( ) ) (p p q r ) )= ( p q r) ( p q r) ( p q r) (p q r)=m m m m M M M M0 13 7 = 2 4 5 68.求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式：（1） (pq) q 答： (p q = = = = ) q