1、浅谈树型动态规划浅谈树型动态规划中山市华侨中学李彦亭什么是树型动态规划顾名思义,树型动态规划就是在“树”的数据结构上的动态规划,平时作的动态规划都是线性的或者是建立在图上的,线性的动态规划有二种方向既向前和向后,相应的线性的动态规划有二种方法既顺推与逆推,而树型动态规划是建立在树上的,所以也相应的有二个方向:根叶:不过这种动态规划在实际的问题中运用的不多,也没有比较明显的例题,所以不在今天讨论的范围之内。叶根:既根的子节点传递有用的信息给根,完后根得出最优解的过程。这类的习题比较的多,下面就介绍一些这类题目和它们的一般解法。例题与解析加分二叉树【问题描述】 设一个n个节点的二叉树tree的中序
2、遍历为(l,2,3,n),其中数字1,2,3,n为节点编号。每个节点都有一个分数(均为正整数),记第i个节点的分数为di,tree及它的每个子树都有一个加分,任一棵子树subtree(也包含tree本身)的加分计算方法如下: subtree的左子树的加分 subtree的右子树的加分subtree的根的分数 若某个子树为空,规定其加分为1,叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空子树。 试求一棵符合中序遍历为(1,2,3,n)且加分最高的二叉树tree。要求输出; (1)tree的最高加分 (2)tree的前序遍历【输入格式】 第1行:一个整数n(n30),为节点个数。 第2行:n个用空格
3、隔开的整数,为每个节点的分数(分数100)。【输出格式】 第1行:一个整数,为最高加分(结果不会超过4,000,000,000)。 第2行:n个用空格隔开的整数,为该树的前序遍历。【输入样例】 5 5 7 1 2 10【输出样例】 145 3 1 2 4 5分析很显然,本题适合用动态规划来解。如果用数组valuei,j表示从节点i到节点j所组成的二叉树的最大加分,则动态方程可以表示如下:valuei,j=maxvaluei,i+valuei+1,j,valuei+1,i+1+valuei,i*valuei+2,j, valuei+2,i+2+valuei,i+1*valuei+3,j,valu
4、ej-1,j-1+valuei,j-2*valuej,j, valuej,j+valuei,j-1题目还要求输出最大加分树的前序遍历序列,因此必须在计算过程中记下从节点i到节点j所组成的最大加分二叉树的根节点,用数组rooti,j表示PASCAL源程序$N+program NOIP2003_3_Tree; const maxn=30; var i,j,n,d:byte; a:array1.maxnof byte; value:array1.maxn,1.maxnof comp; root:array1.maxn,1.maxnof byte; s,temp:comp; f1,f2:text;fn
5、1,fn2,fileNo:string; procedure preorder(p1,p2:byte);按前序遍历输出最大加分二叉树 begin if p2=p1 then begin write(f2,rootp1,p2, ); preorder(p1,rootp1,p2-1); preorder(rootp1,p2+1,p2); end; end; begin write(Input fileNo:);readln(fileNo); fn1:=tree.in+fileNo;fn2:=tree.ou+fileNo; assign(f1,fn1);reset(f1); assign(f2,fn
6、2);rewrite(f2); readln(f1,n); for i:=1 to n do read(f1,ai); close(f1); fillchar(value,sizeof(value),0); for i:=1 to n do begin valuei,i:=ai;计算单个节点构成的二叉树的加分 rooti,i:=i;记录单个节点构成的二叉树的根节点 end; for i:=1 to n-1 do begin valuei,i+1:=ai+ai+1;计算相邻两个节点构成的二叉树的最大加分 rooti,i+1:=i;记录相邻两个节点构成的二叉树的根节点;需要说明的是,两个节点构成的
7、二叉树,其根节点可以是其中的任何一个;这里选编号小的为根节点,则编号大的为其右子树;若选编号大的为根节点,则编号小的为其左子树;因此,最后输出的前序遍历结果会有部分不同,但同样是正确的。如果最大加分二叉树的所有节点的度数都是0或2,则最后输出的前序遍历结果是唯一的。 end; for d:=2 to n-1 do begin依次计算间距为d的两个节点构成的二叉树的最大加分 for i:=1 to n-d do begin s:=valuei,i+valuei+1,i+d;计算以i为根节点,以i+1至i+d间所有节点为右子树的二叉树的最大加分 rooti,i+d:=i; 记录根节点i for j
8、:=1 to d do begin temp:=valuei+j,i+j+valuei,i+j-1*valuei+j+1,i+d;计算以i+j为根节点,以i至i+j-1间所有节点为左子树,以i+j+1至i+d间所有节点为右子树的二叉树的最大加分 if temps then begin如果此值为最大 s:=temp;rooti,i+d:=i+j;记下新的最大值和新的根节点 end; end; temp:=valuei,i+d-1+valuei+d,i+d;计算以i+d为根节点,以i至i+d-1间所有节点为左子树的二叉树的最大加分 if temps then begin s:=temp;rooti
9、,i+d:=i+d+1; end; valuei,i+d:=s; end; end; writeln(f2,value1,n:0:0);输出最大加分 preorder(1,n);输出最大加分二叉树的前序遍历序列 close(f2); end.点评基本题。考查了二叉树的遍历和动态规划算法。难点在于要记录当前最大加分二叉树的根节点。疑点是最大加分二叉树的前序遍历序列可能不唯一。Ps:其实这题真正意义上来说还是一道普通的dp题目,但它批上了树的外表,所以都拿来作对比和讨论,解题报告出自湖北省水果湖高中 伍先军写的第九届全国青少年信息学奥林匹克联赛(N0IP2003)复赛提高组解题报告。Ural 10
10、18二*苹果树题目有一棵苹果树,如果树枝有分叉,一定是分2叉(就是说没有只有1个儿子的结点)这棵树共有N个结点(叶子点或者树枝分叉点),编号为1-N,树根编号一定是1。我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树 2 5 / 3 4 / 1现在这颗树枝条太多了,需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。给定需要保留的树枝数量,求出最多能留住多少苹果。输入格式第1行2个数,N和Q(1=Q= N,1N=100)。N表示树的结点数,Q表示要保留的树枝数量。接下来N-1行描述树枝的信息。每行3个整数,前两个是它连接的结点的编号。第3个数是这根树枝上苹果的数量。每根树枝上的苹
11、果不超过30000个。输出格式一个数,最多能留住的苹果的数量。样例输入5 21 3 11 4 102 3 203 5 20样例输出21解析:因为题目一给出就是二叉的,所以很容易就可以写出方程:a(I,j):=max(a(i.left,k)+a(i.right,j-k),0=kj then j:=k; end;treedp:=j;End; 选课问题描述在大学里每个学生,为了达到一定的学分,必须从很多课程里选择一些课程来学习,在课程里有些课程必须在某些课程之前学习,如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有N门功课,每门课有个学分,每门课有一门或没有直接先修课(若课程a是课程b的先修课即只有学完了课
12、程a,才能学习课程b)。一个学生要从这些课程里选择M门课程学习,问他能获得的最大学分是多少?输入:第一行有两个整数N,M用空格隔开。(1=N=200,1=M=150)接下来的N行,第I+1行包含两个整数ki和si, ki表示第I门课的直接先修课,si表示第I门课的学分。若ki=0表示没有直接先修课(1=ki=N, 1=si=0 then exit; treedp(ax.r,y);只有右子树的情况 j:=bax.r,y; for k:=1 to y do左右子树都有的情况 begin treedp(ax.l,k-1); treedp(ax.r,y-k); i:=bax.l,k-1+bax.r,y
13、-k+ax.k; if ij then j:=i; end; bx,y:=j; end;beginreadln(s);assign(input,s);reset(input);readln(n,m);fillchar(f,sizeof(f),0);for i:=0 to n do begin ai.l:=-1;ai.r:=-1;ai.k:=-1;end;build treefor i:=1 to n do begin readln(k,l); ai.k:=l; if fk=0 then ak.l:=i else afk.r:=i; fk:=i; end;bianjiefor i:=-1 to
14、n do for j:=-1 to m do if (i=-1) or (j=0) then bi,j:=0 else bi,j:=-1;tree dptreedp(a0.l,m);outputwriteln(ba0.l,m);end.Tju1053 技能树Problem玩过Diablo的人对技能树一定是很熟悉的。一颗技能树的每个结点都是一项技能,要学会这项技能则需要耗费一定的技能点数。 只有学会了某一项技能以后,才能继续学习它的后继技能。每项技能又有着不同的级别,级别越高效果越好,而技能的升级也是 需要耗费技能点数的。 有个玩家积攒了一定的技能点数,他想尽可能地利用这些技能点数来达到最好的效
15、果。因此他给所有的级别都打上了分,他认为 效果越好的分数也越高。现在他要你帮忙寻找一个分配技能点数的方案,使得分数总和最高。 Input该题有多组测试数据。 每组测试数据第一行是一个整数n(1=n=20),表示所有不同技能的总数。 接下来依次给出n个不同技能的详细情况。 每个技能描述包括5行。 第一行是该技能的名称。 第2行是该技能在技能树中父技能的名称,名称为None则表示该技能不需要任何的先修技能便能学习。 第3行是一个整数L(1=L=20),表示这项技能所能拥有的最高级别。 第4行共有L个整数,其中第I个整数表示从地I-1级升到第I级所需要的技能点数(0级表示没有学习过)。 第5行包括L
16、个整数,其中第I个整数表示从第I-1级升级到第I级的效果评分,分数不超过20。 在技能描述之后,共有两行,第1行是一个整数P,表示目前所拥有的技能点数。 接下来1行是N个整数,依次表示角色当前习得的技能级别,0表示还未学习。这里不会出现非法情况。 Output每组测试数据只需输出最佳分配方案所得的分数总和。 Sample Input3Freezing ArrowIce Arrow3 3 3 3 15 4 6Ice ArrowCold Arrow24 310 17Cold ArrowNone33 3 215 5 2100 0 1Sample Output42Source浙江省2004组队赛第二试
17、解析:这题是选课的加强版,但并难不倒我们还是把一棵树转换为二叉树,完后从子节点到根节点作一次dp,最后得到最优解由于和上题很相像就不写方程了。源代码程序:program bluewater;typetree=record s,sf:string; l,r,m:longint; c:array1.20 of longint; d:array1.20 of longint; end;vari,j,k,l,m,n:longint;a:array0.20 of tree;b:array0.20 of longint;learn:array0.20 of longint;f:array0.20,0.80
18、00 of longint;function treedp(x,y:longint):longint; var i,j,k,l,max,o,p,q:longint; begin if fx,y-1 then begin treedp:=fx,y;exit;end; max:=treedp(ax.r,y); learn0 if learnx0 then begin for k:=0 to y do begin i:=treedp(ax.l,k)+treedp(ax.r,y-k); if imax then max:=i; end; end; learn=0 l:=0;p:=0;i:=0; for
19、 o:=1 to ax.m do begin if olearnx then begin l:=l+ax.co;p:=p+ax.do;end; for k:=0 to y-l do begin i:=treedp(ax.l,k)+treedp(ax.r,y-l-k)+p; if imax then max:=i; end; end; fx,y:=max; treedp:=max; end;function find(x:string):longint; var i,j:longint; begin for i:=0 to n do if ai.s=x then break; find:=i;
20、end;beginwhile not(eof(input) dobegininputreadln(n);fillchar(a,sizeof(a),0);fillchar(b,sizeof(b),0);a0.s:=None;for i:=1 to n do with ai do begin readln(s); readln(sf); readln(m); for j:=1 to m do read(cj);readln; for j:=1 to m do read(dj);readln; end;readln(m);if m8000 then m:=8000;for i:=1 to n do
21、read(learni);readln;build binary treefor i:=1 to n do begin k:=find(ai.sf); if bk=0 then begin bk:=i;ak.l:=i;end else begin abk.r:=i;bk:=i;end; end;bian jiefor i:=0 to 20 do for j:=0 to 8000 do fi,j:=-1;for i:=0 to 8000 do f0,i:=0;mainwriteln(treedp(a0.l,m);end;end.战略游戏ProblemBob喜欢玩电脑游戏,特别是战略游戏。但是他经
22、常无法找到快速玩过游戏的办法。现在他有个问题。他要建立一个古城堡,城堡中的路形成一棵树。他要在这棵树的结点上放置最少数目的士兵,使得这些士兵能了望到所有的路。注意,某个士兵在一个结点上时,与该结点相连的所有边将都可以被了望到。请你编一程序,给定一树,帮Bob计算出他需要放置最少的士兵.Input第一行为一整数,表示有组测试数据每组测试数据表示一棵树,描述如下:第一行 N,表示树中结点的数目。第二行至第N+1行,每行描述每个结点信息,依次为:该结点标号i,k(后面有k条边与结点I相连)。接下来k个数,分别是每条边的另一个结点标号r1,r2,.,rk。 对于一个n(0n=1500)个结点的树,结点
23、标号在0到n-1之间,在输入数据中每条边只出现一次。 Output输出文件仅包含一个数,为所求的最少的士兵数目。 例如,对于如下图所示的树: 答案为1(只要一个士兵在结点1上)。 Sample Input240 1 11 2 2 32 03 053 3 1 4 21 1 02 00 04 0Sample Output12Sourcesgoi 分析:这题有2种做法,一种是比较简单但不是很严密的贪心,如果测试数据比较刁钻的话就不可能ac,而这题是一道比较典型的树型动态规划的题目,这题不但要考虑子节点对他的根节点的影响,而且每放一个士兵,士兵所在位置既影响他的子节点也影响了他的根节点。不过状态还是很
24、容易来表示的,动规实现也不是很难,不过这在这些例题中也有了些“创新”了。而且这题不是一个对二叉树的dp,而是对一颗普通树的dp,所以更具代表性。源程序代码:program bluewater;constmaxn=1500;vari,j,k,l:longint;m,n,p,q:longint;a:array0.maxn,0.maxn of boolean;b:array0.maxn of longint;c:array0.maxn of boolean;function leaf(x:longint):boolean; var i,j:longint; t:boolean; begin t:=t
25、rue; for i:=0 to n-1 do if ax,i then begin t:=false;break;end; leaf:=t; end;function treedp(x:longint):longint; var i,j,k,l:longint; begin j:=0;add k:=0;leaf l:=0;not put not leaf for i:=0 to n-1 do if (ax,i) and (xi) then if leaf(i) then inc(k) else begin j:=j+treedp(i); if not(ci) then inc(l); end
26、; puanduan if (k0) or (l0) then begin cx:=true;treedp:=j+1;exit;end; if (j0) and (l=0) then begin treedp:=j;exit;end; end;begininputreadln(m);for p:=1 to m do begin fillchar(b,sizeof(b),0); fillchar(a,sizeof(a),false); fillchar(c,sizeof(c),false); readln(n); for i:=1 to n do begin read(k,l); for j:=1 to l do begin read(q); ak,q:=true
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