二元一次方程解法大全.docx

1、二元一次方程解法大全二元一次方程解法大全1、直接开平方法:直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如（xm)2=n（n0)的方程，其解为x=根号下n+m.例1解方程（1)(3x+1）2=7(2）9x2-24x+16=11分析:（1）此方程显然用直接开平方法好做,（2）方程左边是完全平方式（3x-4）2，右边=110，所以此方程也可用直接开平方法解。（1）解:（3x+1）2=7(3x+1）2=53x+1=（注意不要丢解)x=原方程的解为x1=,x2=（2）解：9x224x+16=11(3x4）2=113x4=x=原方程的解为x1=,x2=2配方法：用配方法解方程ax

2、2+bx+c=0（a0)先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c将二次项系数化为1：x2+x=方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+（）2=+（）2方程左边成为一个完全平方式：(x+）2=当b2-4ac0时,x+=x=（这就是求根公式）例2用配方法解方程3x2-4x2=0(注：X2是X的平方）解：将常数项移到方程右边3x24x=2将二次项系数化为1：x2x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+(）2=+(）2配方:（x-)2=直接开平方得：x=x=原方程的解为x1=，x2=。3公式法:把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式=b24ac的值,当b24ac0时,把各项系

3、数a,b，c的值代入求根公式x=b(b24ac）(1/2）/(2a），(b24ac0）就可得到方程的根。例3用公式法解方程2x28x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0a=2，b=8,c=5b24ac=（-8）2425=6440=240x=（b（b2-4ac）(1/2)/(2a）原方程的解为x1=，x2=。4因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例4用因式分解法解下列方程：（1)（x+3）（x6）

4、=-8（2)2x2+3x=0（3）6x2+5x50=0（选学）（4）x22(+）x+4=0(选学)(1）解:（x+3)(x-6）=-8化简整理得x23x10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）(x5）（x+2）=0（方程左边分解因式）x5=0或x+2=0（转化成两个一元一次方程）x1=5，x2=2是原方程的解。（2）解：2x2+3x=0x(2x+3)=0(用提公因式法将方程左边分解因式)x=0或2x+3=0（转化成两个一元一次方程）x1=0，x2=是原方程的解。注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。（3）解：6x2+5x50=0（2x-5）（3x+10)

5、=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)2x-5=0或3x+10=0x1=,x2=-是原方程的解。(4）解：x2-2(+）x+4=0（4可分解为22，此题可用因式分解法)（x2）（x-2）=0x1=2，x2=2是原方程的解。小结：一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数.直接开平方法是最基本的方法.公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式

6、的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法,配方法，待定系数法).二元一次方程练习题一、判断1、是方程组的解(）2、方程组的解是方程3x-2y=13的一个解（）3、由两个二元一次方程组成方程组一定是二元一次方程组()4、方程组，可以转化为（)5、若（a21)x2+(a1）x+(2a-3）y=0是二元一次方程，则a的值为1（)6、若x+y=0,且x=2，则y的值为2(）7、方程组有唯一的解，那么m的值为m-5(）8、方程组

7、有无数多个解（）9、x+y=5且x，y的绝对值都小于5的整数解共有5组（）10、方程组的解是方程x+5y=3的解,反过来方程x+5y=3的解也是方程组的解()11、若a+5|=5，a+b=1则（）12、在方程4x-3y=7里，如果用x的代数式表示y，则（)二、选择：13、任何一个二元一次方程都有（）（A）一个解;（B）两个解；（C)三个解；(D）无数多个解;14、一个两位数,它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（)（A）5个(B）6个（C)7个（D)8个15、如果的解都是正数，那么a的取值范围是()（A）a2;（B);（C）；(D）;16、关于x、y的方程组的解是方程3

8、x+2y=34的一组解，那么m的值是（）（A）2；(B)-1；（C）1;(D）-2；17、在下列方程中，只有一个解的是(）（A）（B）（C)（D）18、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是(）（A）15x-3y=6（B）4xy=7(C）10x+2y=4(D）20x-4y=319、下列方程组中，是二元一次方程组的是（）（A）（B)(C）（D）20、已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于（）（A）a=3，b=14(B）a=3，b=7（C）a=1,b=9(D)a=3，b=1421、若5x6y=0,且xy0，则的值等于（）（A）（B）(C)1（D)-122、若x、y均为非负

9、数，则方程6x=-7y的解的情况是（)（A)无解（B)有唯一一个解(C）有无数多个解（D)不能确定23、若|3x+y+5|+2x-2y2|=0,则2x23xy的值是(）（A）14（B）-4（C)-12（D）1224、已知与都是方程y=kx+b的解，则k与b的值为(）（A)，b=-4（B），b=4（C)，b=4(D），b=4三、填空：25、在方程3x+4y=16中,当x=3时，y=_,当y=2时，x=_若x、y都是正整数，那么这个方程的解为_；26、方程2x+3y=10中，当3x6=0时，y=_;27、如果0。4x0。5y=1。2，那么用含有y的代数式表示的代数式是_；28、若是方程组的解,则;

10、29、方程|a+b|=2的自然数解是_;30、如果x=1，y=2满足方程，那么a=_；31、已知方程组有无数多解，则a=_，m=_；32、若方程x2y+3z=0，且当x=1时，y=2,则z=_；33、若4x+3y+5=0，则3（8y-x)-5（x+6y2）的值等于_；34、若x+y=a,xy=1同时成立,且x、y都是正整数，则a的值为_；35、从方程组中可以知道，x:z=_；y：z=_；36、已知a3b=2a+b-15=1，则代数式a24ab+b2+3的值为_;四、解方程组37、;38、;39、；40、；41、;42、；43、；44、；45、；46、；五、解答题：47、甲、乙两人在解方程组时，

11、甲看错了式中的x的系数，解得;乙看错了方程中的y的系数，解得，若两人的计算都准确无误,请写出这个方程组,并求出此方程组的解;48、使x+4y=a成立的x、y的值，满足(2x+y1）2+3yx=0,又|a+a=0，求a的值；49、代数式ax2+bx+c中，当x=1时的值是0，在x=2时的值是3，在x=3时的值是28，试求出这个代数式；50、要使下列三个方程组成的方程组有解,求常数a的值.2x+3y=66a，3x+7y=615a,4x+4y=9a+951、当a、b满足什么条件时，方程（2b2-18)x=3与方程组都无解；52、a、b、c取什么数值时，x3-ax2+bx+c程（x1）（x2)（x3）

12、恒等？53、m取什么整数值时,方程组的解：（1)是正数;(2）是正整数？并求它的所有正整数解。54、试求方程组的解.六、列方程（组）解应用题55、汽车从甲地到乙地,若每小时行驶45千米,就要延误30分钟到达；若每小时行驶50千米，那就可以提前30分钟到达，求甲、乙两地之间的距离及原计划行驶的时间？56、某班学生到农村劳动,一名男生因病不能参加，另有三名男生体质较弱,教师安排他们与女生一起抬土,两人抬一筐土，其余男生全部挑土（一根扁担，两只筐），这样安排劳动时恰需筐68个，扁担40根,问这个班的男女生各有多少人?57、甲、乙两人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米,那么甲跑5秒钟就可以追上乙;如果甲让

13、乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，求两人每秒钟各跑多少米？58、甲桶装水49升，乙桶装水56升，如果把乙桶的水倒入甲桶，甲桶装满后，乙桶剩下的水，恰好是乙桶容量的一半，若把甲桶的水倒入乙桶，待乙桶装满后则甲桶剩下的水恰好是甲桶容量的，求这两个水桶的容量。59、甲、乙两人在A地，丙在B地,他们三人同时出发，甲与乙同向而行，丙与甲、乙相向而行,甲每分钟走100米，乙每分钟走110米,丙每分钟走125米,若丙遇到乙后10分钟又遇到甲,求A、B两地之间的距离。60、有两个比50大的两位数,它们的差是10，大数的10倍与小数的5倍的和的是11的倍数,且也是一个两位数，求原来的这两个两位数。【参考答

14、案】一、1、；2、；3、；4、；5、;6、；7、；8、；9、;10、；11、;12、；二、13、D；14、B；15、C；16、A;17、C；18、A；19、C；20、A;21、A；22、B；23、B；24、A;三、25、，8,；26、2;27、;28、a=3，b=1;29、30、；31、3，432、1；33、20；34、a为大于或等于3的奇数；35、4：3，7：936、0；四、37、;38、；39、；40、；41、;42、；43、；44、；45、；46、；五、47、,；48、a=-149、11x230x+19；50、;51、,b=352、a=6,b=11，c=-6；53、（1）m是大于4的整数

15、，(2）m=3，2，0，,，;54、或；六、55、A、B距离为450千米，原计划行驶9.5小时;56、设女生x人,男生y人，57、设甲速x米/秒,乙速y米/秒58、甲的容量为63升,乙水桶的容量为84升；59、A、B两地之间的距离为52875米;60、所求的两位数为52和62.二元一次方程组练习题100道(卷二)一、选择题：1下列方程中,是二元一次方程的是（）A3x2y=4zB6xy+9=0C+4y=6D4x=2下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A3二元一次方程5a11b=21（)A有且只有一解B有无数解C无解D有且只有两解4方程y=1x与3x+2y=5的公共解是(）A5若x2+(3y+2

16、）2=0，则的值是（）A1B2C3D6方程组的解与x与y的值相等，则k等于（)7下列各式，属于二元一次方程的个数有(）xy+2xy=7;4x+1=xy;+y=5;x=y；x2y2=26x2yx+y+z=1y（y1)=2y2y2+xA1B2C3D48某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（)A二、填空题9已知方程2x+3y4=0，用含x的代数式表示y为：y=_;用含y的代数式表示x为：x=_10在二元一次方程x+3y=2中，当x=4时，y=_；当y=1时，x=_11若x3m32yn1=5是二元一次方程，则m=_,n=_12已知是方程xky

17、=1的解，那么k=_13已知x1+(2y+1）2=0,且2xky=4,则k=_14二元一次方程x+y=5的正整数解有_15以为解的一个二元一次方程是_16已知的解，则m=_，n=_三、解答题17当y=3时,二元一次方程3x+5y=3和3y2ax=a+2（关于x，y的方程)有相同的解，求a的值18如果（a2）x+（b+1）y=13是关于x,y的二元一次方程,则a,b满足什么条件？19二元一次方程组的解x，y的值相等，求k20已知x，y是有理数，且（x1）2+（2y+1）2=0，则xy的值是多少？21已知方程x+3y=5,请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为22根据题意列出

18、方程组:（1）明明到邮局买0.8元与2元的邮票共13枚，共花去20元钱，问明明两种邮票各买了多少枚？（2)将若干只鸡放入若干笼中，若每个笼中放4只,则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，问有多少只鸡，多少个笼？23方程组的解是否满足2xy=8？满足2xy=8的一对x，y的值是否是方程组的解?24(开放题）是否存在整数m,使关于x的方程2x+9=2(m2）x在整数范围内有解，你能找到几个m的值?你能求出相应的x的解吗?答案：一、选择题1D解析:掌握判断二元一次方程的三个必需条件:含有两个未知数；含有未知数的项的次数是1；等式两边都是整式2A解析：二元一次方程组的三个必需条件：含有

19、两个未知数，每个含未知数的项次数为1;每个方程都是整式方程3B解析:不加限制条件时,一个二元一次方程有无数个解4C解析:用排除法，逐个代入验证5C解析:利用非负数的性质6B7C解析：根据二元一次方程的定义来判定,含有两个未知数且未知数的次数不超过1次的整式方程叫二元一次方程，注意整理后是二元一次方程8B二、填空题9101011，2解析：令3m3=1,n1=1,m=，n=2121解析：把代入方程xky=1中,得23k=1,k=1134解析：由已知得x1=0,2y+1=0，x=1，y=，把代入方程2xky=4中，2+k=4，k=114解:解析：x+y=5，y=5x，又x,y均为正整数，x为小于5的

20、正整数当x=1时,y=4;当x=2时，y=3;当x=3，y=2；当x=4时，y=1x+y=5的正整数解为15x+y=12解析:以x与y的数量关系组建方程，如2x+y=17,2xy=3等,此题答案不唯一1614解析：将中进行求解三、解答题17解：y=3时，3x+5y=3,3x+5(3)=3，x=4，方程3x+5y=3和3x2ax=a+2有相同的解，3(3)2a4=a+2，a=18解:（a2）x+（b+1）y=13是关于x，y的二元一次方程，a20，b+10,a2，b1解析:此题中,若要满足含有两个未知数,需使未知数的系数不为0（若系数为0，则该项就是0）19解：由题意可知x=y，4x+3y=7可

21、化为4x+3x=7，x=1，y=1将x=1，y=1代入kx+（k1)y=3中得k+k1=3，k=2解析:由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替，化“二元”为“一元”，从而求得两未知数的值20解:由(x1）2+（2y+1）2=0，可得x1=0且2y+1=0，x=1，y=当x=1，y=时，xy=1+=；当x=1，y=时，xy=1+=解析:任何有理数的平方都是非负数,且题中两非负数之和为0，则这两非负数(x1）2与（2y+1）2都等于0，从而得到x1=0，2y+1=021解:经验算是方程x+3y=5的解，再写一个方程，如xy=322（1）解：设08元的邮票买了x枚，2元的

22、邮票买了y枚,根据题意得（2)解：设有x只鸡，y个笼,根据题意得23解:满足，不一定解析：的解既是方程x+y=25的解,也满足2xy=8，方程组的解一定满足其中的任一个方程，但方程2xy=8的解有无数组,如x=10，y=12,不满足方程组24解:存在,四组原方程可变形为mx=7,当m=1时，x=7;m=1时,x=7；m=7时，x=1；m=7时x=1二元一次方程应用题题型一：配套问题1某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只。现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？题型二：年龄问题2甲对乙说：

23、“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”乙对甲说:“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁请你算一算，甲、乙现在各多少岁？题型三：百分比问题3有甲乙两种铜和银的合金，甲种合金含银25，乙种合金含银37。5%，现在要熔制含银30的合金100千克，甲、乙两种合金各应取多少?题型四：数字问题4有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5,如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.题型五：古算术问题5巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。364只碗，看看用尽不差争。三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹.请问先生明算者，算来寺内几多僧。诗句的意思是：寺内有三百六十四只碗，如果三个和

24、尚共吃一碗饭，四个和尚共吃一碗羹，刚好够用,寺内共有和尚多少个？题型六：行程问题6甲乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机从两地同时出发相向而行,1小时20分后相遇。相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机,这时汽车、拖拉机从开始到现在各自行驶了多少千米？题型七：工程问题7某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把200千米以外的的一条大河的水引到城市中来，把这个工程交给了甲乙两个施工队，工期为50天，甲、乙两队合作了30天后，乙队因另有任务需要离开10天，于是甲队加快速度，每天多修了0.6千米,10天后乙队回来，为了保证工期，甲

25、队保持现在的速度不变，乙队也比原来多修0。4千米，结果如期完成。问甲乙两队原计划每天各修多少千米？题型八:方案决策问题8已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元，我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台,请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由.9某地生产的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售,每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16吨；如果进行精加工,每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行受季节等条件限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕为此,公司研制了三种加工方案:方案一：将蔬菜全部进行粗加工方案二:尽可能多地对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工,并恰好用15天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么?