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1、学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义第一章 12 应用举例 Word版含答案第一课时解三角形的实际应用举例预习课本P1116，思考并完成以下问题 (1)方向角和方位角各是什么样的角？(2)怎样测量物体的高度？(3)怎样测量物体所在的角度？ 实际测量中的有关名称、术语名称定义图示仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时l与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线l下方时与水平线的夹角方向角从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90)方位角从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)

2、(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边()(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得()(3)方位角和方向角是一样的()解析：(1)错误，要解三角形，至少知道这个三角形的一条边长(2)错误，两个不可到达的点之间的距离我们可以借助第三个点和第四个点量出角度、距离求得(3)错误方位角是指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，而方向角是以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)答案：(1)(2)(3)2若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15 B北偏西15C北偏东10 D北偏西10解析：选B如图所示，

3、ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.故选B.3从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为()A BC90 D180解析：选B根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图知，故应选B.4.已知船A在灯塔C北偏东85且到C的距离为1 km，船B在灯塔C西偏北25且到C的距离为 km，则A，B两船的距离为_km.解析：由题意得ACB(9025)85150，又AC1，BC，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 1507，AB.答案：测量高度问题典例如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得BCD，

4、BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB.解在BCD中，CBD()由正弦定理得.BC.在RtABC中，ABBCtanACB.测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路活学活用1一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45，沿A向北偏东30方向前进100 m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是()A50 m B

5、100 mC120 m D150 m解析：选A如图，设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，解得h50或h100(舍去)，故水柱的高度是50 m.2.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角CAB45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为_m.解析：因为SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30，所以ASB180SABSBA135.在ABS中，AB1 000，所以BCABsin 451 0001 00

6、0(m)答案：1 000测量角度问题典例如图所示，A，B是海面上位于东西方向相距5(3) n mile的两个观测点现位于A点北偏东45方向、B点北偏西60方向的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 n mile/h，则该救援船到达D点需要多长时间？解由题意，知AB5(3) n mile，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.在DAB中，由正弦定理得，即BD10 n mile.又DBCDBAABC60，BC20 n mile，在DBC中，由余弦定理，得CD 30 n mile，则

7、救援船到达D点需要的时间为1 h.测量角度问题主要是指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等解决它们的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解活学活用在海岸A处，发现北偏东45方向，距离A处(1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私

8、船沿什么方向能最快追上走私船？解：设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，则有CD10t，BD10t，在ABC中，AB1，AC2，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC(1)2222(1)2cos 1206，BC，且sinABCsinBAC，ABC45，BC与正北方向成90角CBD9030120，在BCD中，由正弦定理，得sinBCD，BCD30.即缉私船沿北偏东60方向能最快追上走私船.测量距离问题题点一：两点间不可通又不可视1.如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出

9、A，B两点间的距离即AB.若测得CA400 m，CB600 m，ACB60，试计算AB的长解：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 (m)即A，B两点间的距离为200 m.题点二：两点间可视但有一点不可到达2.如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出A，B的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出A，C的距离m，再借助仪器，测出ACB，CAB，在ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC60 m，BAC75，BCA45，则A，B两点间的距离为_

10、 m.解析：ABC180754560，所以由正弦定理得，AB20(m)即A，B两点间的距离为20 m.答案：20题点三：两点都不可到达3.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CDa，同时在C，D两点分别测得BCA，ACD，CDB，BDA.在ADC和BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，求A，B两点间的距离解：ADCADBCDB60，ACD60，DAC60，ACDC.在BCD中，DBC45，由正弦定理，得BCsinBDCsi

11、n 30.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 452.AB(km)A，B两点间的距离为 km.当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出ACb，BCa以及ACB，利用余弦定理得：AB.(2)两点间可视但不可到达(如图)：可选取与B同侧的点C，测出BCa以及ABC和ACB，先使用内角和定理求出BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)两点都不可到达(如图)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CDm，ACB，BCD，ADC，ADB，再在

12、BCD中求出BC，在ADC中求出AC，最后在ABC中，由余弦定理求出AB.层级一学业水平达标1.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A30，则其跨度AB的长为()A12 m B8 mC3 m D4 m解析：选D由题意知，AB30，所以C1803030120，由正弦定理得，即AB4.2一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A. n mile/h B34 n mile/hC. n mile/h D34 n mile/h解析：选A如图所示，在PMN中，MN34

13、，v n mile/h.3.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，DCa，从C，D两点测得A点仰角分别是，()，则A点离地面的高度AB等于()A.B.C.D.解析：选A设ABx，则在RtABC中，CB，所以BDa，又因为在RtABD中，BD，所以BDa，从中求得x，故选A.4设甲、乙两幢楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、乙两幢楼的高分别是()A20 m， m B10 m,20 mC10()m,20 m D. m， m解析：选A由题意，知h甲20tan 6020(m)，h乙20tan 6020tan 30(m)5甲船在岛B的正南A处，AB10 km

14、，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时乙船自岛B出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是()A. min B. hC21.5 min D2.15 h解析：选A由题意可作出如图所示的示意图，设两船航行t小时后，甲船位于C点，乙船位于D点，如图则BC104t，BD6t，CBD120，此时两船间的距离最近，根据余弦定理得CD2BC2BD22BCBDcos CBD(104t)236t26t(104t)28t220t100，所以当t时，CD2取得最小值，即两船间的距离最近，所以它们的航行时间是 min，故选A.6某人从A处出发，沿北偏东60行走3 km

15、到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为_km.解析：如图所示，由题意可知AB3，BC2，ABC150.由余弦定理，得AC2274232cos 15049，AC7.则A，C两地的距离为7 km.答案：77坡度为45的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30，则坡底要伸长_m.解析：如图，BD100，BDA45，BCA30，设CDx，所以(xDA)tan 30DAtan 45，又DABDcos 4510050，所以xDA5050()m.答案：50()8一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发

16、点，那么x_cm.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，则AOB60，由正弦定理知：x(cm)答案：9.如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里，求乙船航行的速度解：如图，连接A1B2，在A1A2B2中，易知A1A2B260，又易求得A1A23010A2B2，A1A2B2为正三角形，A1B210.在A1B1

17、B2中，易知B1A1B245，(B1B2)240020022010200，B1B210，乙船每小时航行30海里10如图所示，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登已知ABC120，ADC150，BD1 千米，AC3 千米假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1.2 千米，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰(即从B点出发到达C点)解：由ADC150知ADB30，由正弦定理得，所以AD. 在ADC中，由余弦定理得：AC2AD2DC22ADDCcos 150，即32()2DC22DCcos 150，

18、即DC23DC60，解得DC1.372 (千米)，BC2.372 (千米)，由于2.3722.4，所以两位登山爱好者能够在2个小时内徒步登上山峰. 层级二应试能力达标1.如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是()A240(1)m B180(1)mC120(1)m D30(1)m解析：选C由题意知，在RtADC中，C30，AD60 m，AC120 m在ABC中，BAC753045，ABC1804530105，由正弦定理，得BC120(1)(m)2.如图所示为起重机装置示意图支杆BC10 m，吊杆AC15 m，吊索AB

19、5 m，起吊的货物与岸的距离AD为()A30 m B. mC15 m D45 m解析：选B在ABC中，AC15 m，AB5 m，BC10 m，由余弦定理得cosACB，sinACB.又ACBACD180，sinACDsinACB.在RtADC中，ADACsinACD15 m.3.如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得BCD120，C，D两地相距500 m，则电视塔AB的高度是()A100 m B400 mC200 m D500 m解析：选D设ABx，在RtABC中，ACB45，BCABx.在RtABD中，ADB30，BDx.在BCD中，BCD120，CD500 m，由余弦定理得(x)2x250022500xcos 120，解得x500 m.4.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北(045)的C处，且cos .已知A，C两处的距离为10海里，则该货船的船速为()A4 海里/小时 B3 海里/小时C2 海里/小时 D4 海里/小时解析：选A因为cos ，0AC，C60或C120.当C60时，A90，SABCABAC2；当C120时，A30