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1、考研概率技巧概率基础是集合微分学研究确定性变量。概率论讨论不确定性变量，即随机变量。随机变量取值的背后，如影随行地跟着这个值出现的概率。这样一来，不确定性过程的讨论就要复杂一些。做某个试验，一个可能的结果称为一个“基本点”；所有可能的结果自然形成一个集合。称为样本空间。样本空间内由基本点组成的子集合称为“事件”。 “基本点”又称为“基本事件”。在微积分中，我们把（实轴上的）点与实数视为一件事。高等微积分的第一章，讲实数集的完备性，证明全体实数与数轴上的点成一一对应。学习概率，要下意识地把“事件”与集合当一回事。为了量化研究，人们在样本空间上建立基本点与数之间的一一对应关系，记为X或Y， ，称为

2、随机变量。所谓“随机向量”，只不过是同时研究定义在样本空间上的两个或若干个随机变量。离散型随机变量 如果样本空间内只有有限个基本点，相应的随机变量只能取有限个值；或者样本空间内的基本点能与自然数集建立一一对应关系，相应的随机变量取值为一个数列；都称为离散型随机变量。（画外音：集合理论把无穷集分为两类。一类叫可列集。其元素能与自然数集建立一一对应关系。另一类叫不可列集，其元素能与区间（0，1）建立一一对应关系。）只要列出离散型随机变量X的全部取值及其相应的概率，即给出“分布列”，就完整地给出了一个一维的不确定性数学模型。二维情形则是用矩阵给出随机向量（X，Y）能取得的每一个随机点（x，y）及其概

3、率。在此基础上展开讨论。从根本上说，用不着微积分知识。因而有的教材把离散型随机变量单列在前。每作一次试验，当然只能有一个结果。这个基本点属于哪个事件，就说“该事件发生”。这可以简洁地归纳为“一点出现，事件发生”。由此可以更深刻地理解事件之间的关系。（1）包含 A事件发生则B事件一定发生 。 A事件的基本点必然是B事件的基本点。A含于B，或B包含。 概率 P(A) P(B)（2）互斥（不相容） A事件发生则B事件一定不发生。 A的基本点都不属于B ，或A与B的交是空集。 A 与 B 互斥，则概率 P(AB) = 0互斥的特殊情形是互逆。A 事件与 B 事件互逆 A与B互斥，且A与B的并集是整个样

4、本空间。为了方便，把 A 的逆事件记为 A ； 概率 P(A)+ P(A) = 1（3）和事件 A + B 相应于集合 A 与 B 的并集。和事件 A+B 发生的要点是“或”。或者A事件发生，或者B事件发生，或者A事件B事件同时发生。概率 P(A+B) = P(A) + P(B) P(AB)（4）积事件AB 相应于集合 A 与 B 的交集。积事件AB发生的要点是“都”。 A 事件 B 事件同时发生。“或”与“都”相互为逆。和事件 A+B 的逆为积事件 AB A 事件 B 事件都不发生。积事件 AB 的逆为和事件 A+ B 或 A不发生，或 B不发生，或 A 与 B 都不发生。（潜台词：“或”的

5、逆是“都不”。 “都”的逆是“或不”）可以类似讨论多个事件，乃至可列无穷多个事件的和事件与积事件。相应公式称为德摩根法则。（5）差事件AB A事件发生而B事件不发生。相当于AAB，等价于积事件AB 概率 P (AB) = P(A) P(AB)（6）相互独立 若对于事件A，B成立概率公式 P(AB) = P(A) P(B)，就称事件A，B相互独立。定理 事件A，B相互独立，等价于事件A与B相互独立；等价于事件A与B相互独立；还等价于事件A与B相互独立。三个事件A，B，C相互独立 它们两两独立，且满足P(ABC) = P(A) P(B) P(C)可以用归纳法定义n个事件相互独立。用文氏图可以形象表

6、示前5个在集合背景下的关系。但文氏图不能表式用概率公式定义的“相互独立”概念。（8）加法定理如果事件A，B互斥，显然有 P(A+B) = P(A) + P(B)，一般情况下，可以作互斥分解A + B =（AAB）+（BAB）+ AB 从而 P(A+B) = P(A) + P(B)P(AB) 进一步有 P(A+B+C) = P(A) + P(B)+ P(C)P(AB) P(AC) P(BC) + P(ABC) - - - 例 1 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其逆事件A为（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销” （B）“甲乙两种产品均畅销”（C）“甲种产品畅销” （D）“甲种产品滞销

7、或乙种产品畅销”分析 A 是个积事件。“都”的逆是“或不”；应选（D）。例2 已知事件A与B同时发生时，事件C一定发生。则（A）P(C) P(A) + P(B) 1 （B）P(C) P(A) + P(B) 1（C） P(C) = P(AB) （D）P(C)= P(A+B) 分析 由已知得C包含AB ；故 P(C)P(AB) ，顺便再进一步观察P(AB) = P(A) + P(B) P(A+B) P(A) + P(B) 1 应选（B）。例3 设随机事件 A ，B及其和事件 A + B 的概率分别是 0.4，0.3 和 0.6 ，若 B表示 B 的对立事件，那么积事件 AB的概率 P(AB) =

8、0.3 分析 P(AB) = P(A) + P(B)P(A + B) = 0.1 故P(AB) = P(A)P(AB) = 0.3或利用互斥分解 A = AB + A B，P(A) = P(AB) + P(A B) ，P(AB) = 0.3例4 若积事件AB出现的概率 P(AB) = 0，则（A）A与B不相容 （即A与B互斥） （B）AB是不可能事件。（C）AB未别是不可能事件。 （D）或P(A) = 0 ，或 P(B) = 0分析 已知是概率条件，而“不相容”是用事件定义的。二者没有关系。（A）错。0 概率事件不一定是不可能事件。（B）错。（D）显然荒谬。 应选（C）。例5 设A和B是任意两

9、个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是 （A） A与B不相容 （B）A与B相容（C） P(AB) = P(A) P(B) （D）P (AB) = P(A)分析 和事件A+B的逆为积事件 AB 故仅当A与B构成完备事件组，即A、B互逆时，A与B才一定不相容。本题不一定能满足此条件，故（A）、（B）都错。（C）是相互独立的定义条件，与“不相容”无关。因为 A 与 B 不相容，即 A B = ，所以 AB = AAB = A ，应选（D）。例6 对于任意两事件 A 和 B ，若 A B ，则 （A）A与B一定相互独立。（B）A与B可能独立。 （C）B与B一定独立。 （D）A与B一定不独立

10、。分析 已知事件关系，而“相互独立”是用概率来定义的 ，二者没有关系。应选（B）。（潜台词：啊，三个例题同含有一个知识点。）例7 已知随机事件A，B满足条件 P(AB) = P(AB) ，且P(A) = p ，求P(B)分析 由已知得 P(AB) = P(AB) = P（(A+ B)）=1P(A+B)即 P(AB) =1P(A) P(B) + P(AB) 故 P（B）= 1P(A)例 8 将一枚硬币独立地掷两次。记事件A1=第一次出现正面，A2 =第二次出现正面， A3 = 正反面各出现一次，A4 = 正面出现两次，则事件（A）A1 ，A2 ，A3 相互独立。 （B）A2 ，A3 ，A4 相互

11、独立。（C）A1 ，A2 ，A3 两两独立。 （D）A2 ，A3 ，A4 两两独立。分析 四个事件的概率皆不为 0 ，但显然 P（A1 A2 A3）= 0 ，P(A2 A3 A4) = 0 ，故答案只能是两两独立。同理，P（A3 A4）= 0 ， A 3 与 A 4 不能相互独立。应选（C）。例9 试证明，事件 A ，B 相互独立等价于 A与 B 相互独立。分析 选择 P(B) = P(AB) + P(AB) ，若已知 P(AB) = P(A) P(B) ，则 P (AB) = P(B)P(AB) = P(B)P(A) P(B) = P(B) (1P(A) = P(B)P(A)若已知 P(AB

12、) = P（B）P(A) ，同样选择 P(B) = P(AB) + P(AB)P(AB) = P(B) P(AB) = P(B) P(A)P（B) = P(B)(1P(A) ）= P(A) P(B)（画外音：循环证明（7）中的“相互独立四等价”（条件），那是绝好的基本练习。）经典概型学重点如果样本空间只有有限个基本点，且每个基本事件发生的概率相同，则定义事件A发生的概率 P(A) = A所含基本点(有利点)数基本点总数这样定义的概率称为古典概率。相应的模型称为古典概型。经典概率模型资料浩如烟海，思维处理方法千姿百态。学习时要着眼应用，熟悉典型。1. 抛球模型 把 n 个小球等可能地投入N个（n

13、N）空盒中，每个球的落点有N个结果。基本点总数为 N的 n 次方（1） 若 A =“n个小球恰好都落在一个指定的盒中” ，则显然有 P(A) = 1N的n次方 （2） 若 A =“n个小球恰好各在一个盒中” ，先取N个（nN）空盒中的任意 n 个盒，再考虑排序，则有利点数为 （N个中取n个的组合数） n！P(A) =（m个中取n个的组合数） n！m的n次方(3) 若 A =“n个小球恰好全在一个盒中” ，则有利点数为N ， P(A) = 1N的n1次方 (4) 若 A =“至少有两个小球在一个盒中”，则情形复杂，难以穷尽。但仔细对比，它正好是 “n个小球恰好各在一个盒中”的逆事件。小球的分布，

14、可以设定很多状态。有的概率很难算。用不着去钻牛角尖。要的是体会与捉摸经典概率模型的思维方式。应用例1 一间寝室住有6个学生。他们都在同一年生。求他们的生日恰好在同一个月内的概率。分析 这就好比6个小球随机地抛到12个盒中。A =“6个小球恰好全在一个盒中”，基本点总数为 “12的6次方” ， P(A) = 112的5次方 0.000004（潜台词：小小概率事件。）应用例2 历史资料统计，某地区每年夏季的13周内平均有7次暴雨灾害天气。试计算事件A =“暴雨灾害天气各在一个周内”的概率。分析 一次暴雨就是一个小球，共有13个盒。P(A) = （13个中取7个的组合数） 7！13的7次方 0.13

15、5P(A) 0.865 ，A =“至少有两次暴雨灾害天气发生在同一周内”（潜台词：真是“祸不单行”啊！）“某公交线路有11个站。n个乘客来起点站乘车，每个乘客的下车点是随机的。如果设中途无人上车，。”这也服从抛球模型。“电梯公寓有11层。n个外来客从底楼乘电梯，每个乘客要到的楼层是随机的。如果设中途无人用电梯，。”这还是服从抛球模型。比如“A = 至少有两个人在同一层离开电梯等同于A = 至少有两个小球在一个盒中。”2贝努里概型如果在重复，又相互独立的n次试验中，（“独立试验”，即试验结果互不影响。）每个试验都只有事件 A发生（成功）与不发生（失败）两个结果，且总有 P(A) = p ，就称其

16、为贝努利试验序列，相应数学模型称为 n 重贝努利概型。记 事件 Bk = “n 重贝努里概型中，A 发生 k 次”，则P(Bk) =（n个中取k个的组合数）（p的k次方）（q的nk次方），用随机变量X表示n重贝努里概型中的成功次数，它会有值 x = 0，1，2，-，n ；且对应有分布列 P（X= k）= b（k ；n，p）= P(Bk)，这个离散型随机模型叫二项分布。换一个角度来看抛球模型的（1）。观察小球落进指定的一个盒的概率分布，相当于向这个指定的盒抛球n次，要么抛入（成功），概率总是1N ；要么失败。n次抛球相互独立。可以视为一个n重贝努里概型。记 A =“n重贝努里概型中成功n次”，则

17、P（A）= P(X = n) = b（n ；n，1N）= 1N的n次方*例12 某公交线路共有11个站。深夜末班车有20人从起点站上车。设沿途10站再没有人上车。有人下车就停车开门，无人下车则继续行驶。设乘客下车与否相互独立。试求此客车沿途停车开门k次的概率。分析 对于线路上一个固定的站，每个乘客下车的概率都是110 ，乘客下车与否相互独立，因而是个20重贝努里概型。P（无人下车）= b（0；20，110）= (910)的20次方于是， （记p =） P（有人下车）= 1(910)的20次方每个站都是如此，停车开门的概率为p ；各站开门与否相互独立。这又构成一个10重贝努里概型。停车开门（成功

18、）k次的概率为 b（k ；10 ，p），不再细表。3摸球模型与超几何分布袋中装有红球m个，黑球n个，从袋中随机摸出r = s+t个球，基本点总数为（m+n）个中取 r 个的组合数。记 A =“其中有s个红球，t个黑球”，则P(A) =（m个中取s个的组合数）（n个中取t个的组合数）基本点总数如果袋中有三种或三种以上颜色的球，相应问题可以类似处理。应用如 如果平均1000件产品中有5件次品。随机抽查10件，求A =“内中恰有一件次品”的概率。分析 基本点总数为1000个中取10个的组合数P(A) =（995个中取9个的组合数）（5个中取1个的组合数）基本点总数 0.05例13 从0，1，2，9共

19、十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： A1 =“三个数字中不含0和5” ， A2 =“三个数字中不含0或5”,A3 =“三个数字中含0但不含5分析 只“选出”三个数字而不排序，是组合问题。把十个数字分成集合0，5与另外一个集合，三个概率都可以用“超几何分布”模型来计算。基本点总数为 10取3的组合数 = 120A1的有利点数 = 8取3的组合数 ， P（A1）= 7/15A2的说法应理解为包含“不含0和5”的情形。其逆事件为“必定含0和5”有利点数 = 8取3的组合数 +（8取2的组合数）（2取1的组合数） ，P（A2）= 14/15A3的有利点数 = 8取2的组合数 ， P

20、（A3）= 7/30例14 从6双运动鞋中随意拿出4只，分别求 A =“其中恰有一双配对”；B =“恰好配成两双” ； C =“没有两只可以配对”的概率。分析 相当于“袋中有6种颜色的球”。基本点总数为 12取4的组合数 = 495事件A取样中的那双鞋，是6双中的任意一双，单的分别来自余下5双中的任意两双。A的有利点数= 6（5取2的组合数）22 = 60 P(A) = 1633显然 P(B) = （6取2的组合数）495 = 133 三个事件已穷尽了各种可能。最后有 P(C) = 1P(A) P(B) = 1633（潜台词：不妨检验一下， 事件C的有利点数=（6取4的组合数）2222 ）4几

21、何概率如果样本空间 是某个区域（区间，平面区域或空间区域），且每个样本点出现的可能性相同，则规定A的概率为 P（A）= L（A）/ L（）其中， L ( )分别是相应的长度，或面积，或体积。例16 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于 6/5”的概率为_分析 用X和Y分别表示随机抽取的两个数，则0 X 1，0 Y 1，X，Y取值的所有可能结果（即样本点全体）对应的集合是边长为1的正方形，其面积为1直线 x+y = 6/5 与单位正方形的边周交于（1，1/5）与（1/5，1）两点，分其为两块。事件“X+Y6/5 ”对应着单位正方形除去以(1，1)，（1，1/5），（1/5，1）

22、为顶点的三角形后剩余的部分。易算得A的面积即所求概率为17/25例17 在时间间隔 内的任何瞬间 ，两个不相关的信号均等可能地进入收音机。如果两个信号当且仅当其进入收音机的时间间隔不大于 t 时，就使收音机受到干扰，求收音机受到干扰的概率。 （答案 p = 1（1t/T）分析 用X和Y分别表示两个不相关的信号进入收音机的时间，则 0 X t ，0 Y t “收音机受到干扰”事件可以表示为“XY t ”，视 t 为常数，与上例为同一模型。经典模型，重在熟练不在多。熟能生巧，巧在理解与应用。条件概率寻常事在事件B发生的条件下事件A发生的概率称为条件概率。记为 P（AB），且定义P（AB）= P(A

23、B）P（B） ， P（B） 0人们通常会用两种方式来表示整体与部分的关系。或者用实在数据；或者把整体视为1，用比例来表示部分。在可以用“文氏图”示意的情形，不太严格地说，样本空间及事件就是具体实在，相应概率就好比是“比例”描述。条件概率则是把概率P（B）作为新的总体1，计算P（AB）相对所占的“比例”。在古典概率情形，这个比方尤其直观。若事件 A含于B ，即 AB = A ，P（AB）= P(AB）P(B) = P(A)P(B)若事件A与B互斥，即 AB = （空集），P(AB）= 0 ， P（AB）= 0若事件A与B相互独立，P(AB) = P(A) P(B) ，则 P（B） 0 时P（AB

24、）= P(AB）P（B）= P(A) P(B) P（B）= P(A) ，条件概率的定义在这时正好显示，从逻辑上看，事件 A 与 B相互独立，本质上是发生与否，互不影响，彼此无关。而事件 A 与 B 互斥，却是一个特定关系。 “两个事件能否既互斥又相互独立？”由上述可知，从逻辑上看是不可能的。从概率上看，若两个事件的概率都不为0，则也是不可能的。在建模实践中，为了简单起见，在不少场合选择了相互独立的最佳状态。比如，射击运动员连续射击多发子弹；乒乓球运动员连续比赛若干局，等等；都假设各次射击，各局比赛相互独立。构成n重贝努里概型。在实际问题中，有时能简便地直接按照实际状况算得条件概率。比如摸球模型

25、。袋中有20个红球10个黑球，如果每次摸出一球，然后放回去再摸第二次，若以摸出红球为成功，p = 2/3 ，各次摸球相互独立，就构成 n 重贝努里概型。如果第一次摸得红球而不放回去，第二次摸得黑球的概率就是条件概率。这时由实际数据能直接算得P（第二次摸得黑球第一次摸得红球）= 10/29P(AB）= P（第一次摸得红球，第二次摸得黑球）= P（B）P（AB）= P（第一次摸得红球）P（第二次摸得黑球第一次摸得红球）= 20/87用二维模型才能更好地理解这个交事件的概率。先后两次摸球（第一次不放回）的基本点有：（红，红），380个；（ 红，黑），200个；（黑，红），200个；（黑，黑），90个

26、；共计870个。所以 P（红，黑）= 有利点数基本点总数 = 20/87“随机向量事件”概率定义的内核是“交事件的概率”。可以从这里开始体验。例20 A，B 是两个随机事件，且 B 发生则 A 必定发生。则下列式子中正确的是（A） P (A + B）= P（A） （B） P (AB）= P（A）（C） P（BA）= P（B） （D） P (BA）= P（B） P（A）分析 事件 B 发生则 A 必定发生，说明 A包含B ，而 A + B就是A ；也表明BA是不可能事件；AB = B；故（B）（D）错。应选（A）。（C）错，是因为此时有 P（BA）= P（B）P（A）例21 已知 0P(B)1

27、，且P(A1+A2B) = P(A1B) + P(A2B)，则有 (A) P(A1+A2B) = P(A1B)+ P(A2B) (B) P(A1B+A2B) = P(A1B)+ P(A2B) (C) P(A1+A2) = P(A1B) + P(A2B) (D) P(B) = P(A1) P(BA1)+ P(A2) P(BA2)分析 老老实实按照条件概率的定义重写已知条件。得P(A1+A2)B) P（B）= P(A1B) P（B）+ P(A2B) P（B）去分母后，刚好是（B）。即 A1B 和 A2B 互斥例22 A，B是两个随机事件，且0P(A)1 ，P(B) 0，P(BA) = P(BA)

28、则必有 (A) P (AB) = P (AB) (B) P (AB) P (AB)(C) P (AB）= P (A) P (B) (D) P (AB） P (A) P (B) 分析 首先用条件概率定义转换已知的条件概率等式P(BA) P（A）= P (B A) P（A） 即 P（A）P(BA) = P（A）P(BA)即 (1 P（A）) P(BA) = P（A）P(B A) 移项化简，即 P (BA) = P（A）( P(BA) + P(BA) ) = P (A) P (B)其中 ， 事件B = BA + B A 是B的互斥分解。应选（C）（画外音：已知条件保证了事件A与B相互独立。有这样的习

29、题 :“ 若 0 P(A) 1 ，试证明事件A 与 B 相互独立的充分必要条件是 P (BA) = P (BA) ”事实上，上例分析中的算式是可以逆反的。）例23 已知 0P(A)1 ，0P(B)1 ， P (AB) + P (AB) = 1 ，则 (A) 事件A和B互不相容。 （B）事件A和B互相对立。（C） 事件A和B互不独立。 （D 事件A和B相互独立。分析 先用条件概率定义重写已知的条件概率等式，再两端同乘以P (B) P (B ), 得P (B) P (AB) + P (B) P (AB) = P (B) P (B)因为是关于A与B的选择，故需用公式 P (B) = 1 P（B） 再

30、注意到“或”的反面是“都不”，即 AB= (A + B) P (AB ) = P (A + B) ）= 1P (A + B),概率等式进一步化为 （1P（B）P (AB) + P (B)( 1P (A + B) = P (B) (1P（B）化减后即知 P (AB）= P (A) P (B) ，应选 (D)与导数定义的运用一样，条件概率这一类含有公式的概念。要勤动手写定义式，要训练自己有一定的抽象运算推演变形能力，才能应对相关考研题目。例24 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为（？）分析 记A =“甲射中”，B =“乙射中”，显然“目标被命中”应该是A+B ，所求概率为 P (A(A+B) = P (A(A+B