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1、数字信号处理研讨DFT近似计算信号频谱 Beijing Jiaotong University 数字信号处理研讨DFT近似计算信号频谱学 院：电子信息工程学院小组成员：指导教师：时 间：2013.06.24DFT近似计算信号频谱专题研讨【目的】(1) 掌握利用DFT近似计算不同类型信号频谱的原理和方法。(2) 理解误差产生的原因及减小误差的方法。(3) 培养学生自主学习能力，以及发现问题、分析问题和解决问题的能力。【研讨题目】 基本题 1. 已知一离散序列为 (1)用L=32点DFT计算该序列的频谱，求出频谱中谱峰的频率；(2)对序列进行补零，然后分别用L=64、128、256、512点DFT

2、计算该序列的频谱，求出频谱中谱峰的频率；(3)讨论所获得的结果，给出你的结论。该结论对序列的频谱计算有何指导意义？【题目分析】 本题讨论补零对离散序列频谱计算的影响。【温磬提示】 在计算离散非周期序列频谱时常用/作为横坐标，称/为归一化频率(normalized frequency)。在画频谱时需给出横坐标。每幅图下都需给出简要的文字说明。 由于离散非周期序列频谱是周期的，所以在计算时不必用fftshift 函数对fft计算的结果进行重新排列。【序列频谱计算的基本方法】 连续信号，通过其抽样的离散信号，和离散信号的DFT变换存在如下关系： 通过如上关系，我们就可以通过DFT来求信号的频谱。【仿

3、真结果】fm = 0.9375fm = 0.9219fm = 0.9141fm = 0.9102fm = 0.9082【结果分析】 增加DFT的点数可以使频谱更容易观察，即减轻了栅栏效应带来的影响。频谱的横坐标为归一化频率，所以原信号的峰值第一次应该出现在0.2处，随着DFT点数的增大，频谱表示也越来越精确。【自主学习内容】1.归一化频率相关知识。2.通过matlab计算DFT和matlab的绘图操作。【阅读文献】 1数字信号处理 2补零对有限长序列频谱及DFT的影响。【发现问题】 (专题研讨或相关知识点学习中发现的问题)： DFT点数的增多是否能提高频谱分辨率？【问题探究】 虽然DFT点数增

4、加使图像更加细致，但是因为不论DFT点数是多少，抽样点数都是相同的，所以每个频谱所包含的信息相同，频谱分辨率只与抽样点数相关，与DFT点数无关，频谱分辨率相同。所以不能通过增大DFT点数而减少信息损失。 DFT点数的增多不能提过频率分辨率。【仿真程序】k = 0:31;N = 16; x = sin(0.2*pi*k);for i = 1:5 N = 2*N; X = fft(x,N); k = 0:N-1; subplot (5,1,i); plot (k/N,abs(X); xlabel (f/HZ); ylabel (Magnitude); fm = find( X = max(X)/N

5、; fmend2 已知一离散序列为 x k=Acos0k+Bcos ( (0+)k)。用长度N=64的哈明窗对信号截短后近似计算其频谱。试用不同的A和B的值(如 A和B近似相等，A和B差距较大)，确定用哈明窗能分辩的最小的谱峰间隔中c的值。【题目分析】 本题讨论用哈明窗计算序列频谱时的频率分辨率。【仿真结果】【结果分析】 第一排是c=4，第二排c=3，远大于教材定义的标准c=2。无论A/B的比值是多少，区分谱峰毫无压力。 第3排中，c=2是教材定义的标准，A与B接近的时候，区分较为容易，当A/B为1.6的时候，几乎是无法区分，而A/B=4的时候，完全无法区分。所以说在设计使用哈明窗的时候，如果

6、不同频谱的信号所占比例相差较大，哈明窗的c要比2大。从第一列可以看出，如果A/B象近的时候，即使c稍小于2，也是可以区分的。 每一列中，A/B的比值是相同的，随着c的减小，谱峰的区别能力很容易看出是降低的。【自主学习内容】 不同窗函数的屏幕分辨率。【阅读文献】 数字信号处理【发现问题】 (专题研讨或相关知识点学习中发现的问题)： 哈明窗所起的作用？哈明窗与矩形窗谁的分辨率高？ 在仿真的时候c该选用怎样的值？【问题探究】 哈明窗主瓣较宽，分辨率比矩形窗差，但是哈明窗可以使能量集中在主瓣处。所以哈明窗可以起到减小泄漏的作用。 在仿真的时候c该选用怎样的值？ 在开始的时候选用的c为 1 2 4 8

7、16，对比效果不明显，发现c的取值过于大，反复尝试确定在2附近多取值，其他值也不可取得过于大，因为c稍大实验现象基本相同，所以没有意义。【仿真程序】N = 64;k = 0:N-1;c_set = 4 3 2.2 2 1.9 1.8 1.5;A_set = 1 1.2 1.6 4; B = 1;w0 = 0.5*pi;for c_index = 1:length(c_set) c = c_set(c_index); dw = c*2*pi/N; for A_index = 1:length(A_set) A = A_set(A_index); x = A*cos(w0*k)+B*cos(w0+

8、dw)*k); Xh = fft(x.*hamming(N); subplot(length(c_set),length(A_set),length(A_set)*(c_index-1)+A_index); plot(k,abs(Xh); hold on; title(c= num2str(c) ;A/B= num2str(A); axis(12 25 0 25); endend3 已知一离散序列为 xk=cos(0k)+0.75cos(1k), 0 k 63 其中0=0.4, 1=0+/64(1) 对xk做64点FFT, 画出此时信号的频谱。(2) 如果(1)中显示的谱不能分辨两个谱峰，是否

9、可对(1)中的64点信号补零而分辨出两个谱峰。通过编程进行证实，并解释其原因 。(3) 给出一种能分辨出信号中两个谱峰的计算方案，并进行仿真实验。【题目分析】 分析影响谱峰分辨率的主要因数，进一步认识补零在在频谱计算中的作用。【仿真结果】【结果分析】 频谱的横坐标是归一化频率，图示只观察要区别的部分。每一个列的抽样点相同，每一行DFT点相同。 但看第一列，虽然增加DFT点数，甚至是增加到32768，也不能够区分两个谱峰，所以要想增加频率的分辨率，可以增加抽样点数，第二列和第三列抽样点数分别是128和256，都可以区分两个谱峰。【自主学习内容】 如何增加频谱分辨率。【阅读文献】 数字信号处理。【

10、发现问题】 (专题研讨或相关知识点学习中发现的问题)： 如何计算所需抽样点数？可以通过信号频率的差值计算。【问题探究】 1、2、3题讨论的是离散信号频谱的计算问题。与连续信号频谱计算问题相比较，其计算误差有何不同？ 连续信号的频率是非周期的，离散信号的频谱是连续信号频谱的周期话，可能会有混叠误差。【仿真程序】w0 = 0.4*pi;dw = pi/64;w1 = w0+dw;N_set = 64 128 256;L_set = 64 128 256 512 32768;for N_index = 1:length(N_set); N = N_set(N_index); k = 0:N-1; x

11、 = cos(w0*k)+0.75*cos(w1*k); for L_index =1:length(L_set) L = L_set(L_index); if LN continue end X = fft(x,L); m = (0:L-1)*2/L; subplot(length(L_set),length(N_set),(L_index-1)*length(N_set)+N_index); plot(m,abs(X); axis(0.38 0.44 0 40); title(N= num2str(N) L= num2str(L); endend4 试用DFT近似计算高斯信号的频谱抽样值。

12、高斯信号频谱的理论值为通过与理论值比较，讨论信号的时域截取长度和抽样频率对计算误差的影响。【题目分析】 连续非周期信号频谱计算的基本方法。计算中出现误差的主要原因及减小误差的方法。【仿真结果】【结果分析】 如图所示，横轴坐标为角频率，左斜线上的图截取时间相同，垂线上的抽样频率相同，很容易能否看出，增加截取时间和抽样频率都可以减小误差。 【自主学习内容】 连续非周期信号的频谱计算方法。【仿真程序】d = pi;fsam_set = 1 2 4 8 16;N_set = 1 2 4 8;L = 64;for fsam_index = 1:length(fsam_set); fsam = fsam_

13、set(fsam_index); Tsam = 1/fsam; for N_index = 1:length(N_set); N = N_set(N_index); cuttime = N*Tsam; k = -N/2:N/2-1; t = k*Tsam; x = exp(-d*t.2); X = Tsam*fftshift(fft(x,L); w = linspace(-pi*fsam,pi*fsam,L); subplot(length(N_set),length(fsam_set),fsam_index+length(fsam_set)*(N_index-1); plot(w,abs(X

14、); hold on; G = exp(-w.*w/(4*d); plot(w,G,r); title(cuttime= num2str(cuttime) fsam= num2str(fsam); endend扩展题5 本题研究连续周期信号频谱的近似计算问题。 周期为T0的连续时间周期信号x(t)可用Fourier级数表示为 其中 X(n0)称为连续时间周期信号x(t)的频谱函数。称为信号的基频（基波），称为信号的谐波。 如果信号x(t)函数表达式已知，则可由积分得出信号的频谱。如果信号x(t)函数表达式未知，或者x(t)函数表达式非常复杂，则很难由积分得信号的频谱。本题的目的就是研究如何利用

15、DFT近似计算连续时间周期信号的频谱。(1)若在信号x(t)的一个周期T0内抽样N个点，即， T为抽样周期(间隔)，可获得序列xk 试分析序列xk的DFT与连续时间周期信号x(t)的频谱X(n0)的关系；(2)由(1)的结论，给出由DFT近似计算周期信号频谱X(n0)的方案；(3)周期信号x(t)的周期T0=1，x(t)在区间0，1的表达式为x(t)=20t2(1-t)4cos(12t)(a)试画出信号x(t)在区间0，1的波形；(b)若要用6次以内的谐波近似表示x(t)，试给出计算方案，并计算出近似表示的误差。讨论出现误差的原因及减小误差的方法。 【理论推导】 DFT计算所得结果Xm与连续周

16、期信号频谱X(n0)的关系。 由于,于是得 令n=m+rN;m=0,1,2,，为整数，上式可化为化简可得对比IDFT 可得 【计算方案】 根据理论推导结果设计近似计算方案。分析产生误差的主要原因。 DFT是连续信号频谱的周期化，如果频谱信号高频信号较多，就会产生混叠，所以有误差。如果主要是低频信号，周期话后互补产生影响，就没有误差。【扩展分析】 如果周期信号x(t)是带限信号，即信号的最高频率分量为M0(是正整数)，试确定在一个周期内的最少抽样点N，使得在频谱的计算过程当中不存在混叠误差。与抽样定理给出的结论比较，发表你的看法。 很容易看出，要想不产生混叠，必须N 2M+1。 该结论与抽样定理

17、相似。 因为周期信号是一种特殊的连续信号，所以抽样定理对周期信号也是适用的。【仿真结果】【结果分析】 在N=16,k=6时，误差最小，最大误差为0.1229，平均误差为0.07187。 无论是减小N和减小k都很大的增大了误差。 为了分别测试N和k对误差的影响，分别设k=6，求不同N时候的误差，N=16，不同k对误差的影响，分别得到了下图（在原程序上稍加改动，所以在仿真程序中不再另写了） 此图可以看出，在N等于13的时候误差有明显的减小。 在k=6的时候，误差有明显的减小。 可见原函数最大的高频分量为6*w0，根据前面推出的理论，N取6*2+1=13点的时侯误差减小。实验结果符合结论【自主学习内

18、容】 周期信号的频谱与DFT的关系。【发现问题】 ： 原函数最高频分量大约是多少？【问题探究】 根据前面推理，最高频分量为6*w0。【仿真程序】n = 1024;t = linspace(0,1,n);N_set = 12 16;H_set = 4 6;T0 = 1;count = 0;for N_index = 1:length(N_set) N = N_set(N_index); dT = T0/N; k = (0:N-1)*dT; x = 20*k.2.*(1-k).4.*cos(12*pi.*k); X = fft(x); for H_index = 1:length(H_set) H

19、 = H_set(H_index); sum = 0; X1 = X(N-H+1:N) X(1:H+1)/N; for k = -H:H; yt = X1(k+H+1)*exp(j*2*pi*k*t/T0); sum = sum+yt; end figure(N_index-1)*length(H_set)+H_index); subplot(1,2,1); xt = 20*t.2.*(1-t).4.*cos(12*pi.*t); plot(t,xt,r,t,sum,b); hold on; title(N= num2str(N) k= num2str(H); subplot(1,2,2);

20、plot(t,xt-sum);4 de=abs(xt-sum); maxde = max(de); meande = mean(de); title(Diviation:; mean: num2str(meande,4) max: num2str(maxde,4); count=count+1; deviation(count)=meande; endend电子文件提交说明:文件名 学号姓名研讨题目 (每组在文件名上只需提供一个学号和姓名)文件格式 Microsoft Word 2003 或以下版本建议用Office 套装软件 Visio 进行绘图。 Matlab所绘图形可在Visio环境下ungroup 后进行编辑。