届高考数学备考复习函数基本初等函数的图象与性质.docx

1、届高考数学备考复习函数基本初等函数的图象与性质2012届高考数学备考复习：函数、基本初等函数的图象与性质 专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲 函数、基本初等函数的图象与性质【最新考纲透析】1函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。（3）了解简单的分段函数，并能简单应用。（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。（）会运用函数图象理解和研究函数的性质。2指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景。（2）理解有理

2、指数幂的含义，了解褛指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。（4）知道指数函数是一类重要的函数模型。3对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。（3）知道对数函数是一类重要的函数模型。（4）了解指数函数 与对数函数 互为反函数（ ）。4幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数 的图象了解它们的变化情况。【核心要点突破】要点考向一：基本初等函 数问题考情聚焦：1一元二次函数

3、、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数，在每年高考中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。2常与函数的性质、方程、不等式综合命题，多以选择、填空题的形式出现，属容易题。考向链接：1一元二次、二次函数及指数对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是解决此类题目的关键，同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用 。2熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。例1：（2010•全国高考卷科•4）函数=1+ln（x-1）(x>1)的反函数是（A） = -1(x>0) (B) ）= +1(x>0) () = -1(x R)

4、(D）= +1 (x R) 【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。 【思路点拨】运用求反函数的方法解。 【规范解答】 选D，=1+ln（x-1），ln（x-1）=-1,x-1=e ,所以反函数为= +1 (x R)【方法技巧】求反函数的步骤：（1）反 解x,即用表示x(2)把x、互换，（3）写出反函数的定义域，即原函数的值域。本题注意指数式与对数式的互化。例2：（2010•天津高考科•6）设 （ ）(A)a<<b (B) )b<<a () )a<b< (D) )b<a<【命题立意】考查利用对数的性质及对数函数的单调性

5、比较大小。【思路点拨】根据对数的性质及对数函数 的图像，可得 ，。【规范解答】选D，由对数函数 的图像，可得 ， ，又 。【方法技巧】比较对数函数值的大小问题，要特别注意分清底数是否相同，如果底数相同，直接利用函数的单调性即可比较大小；如果底数不同，不仅要利用函数的单调性，还要借助中间量比较大小。要点考向二：函数与映射概念的应用问题考情聚焦：1该考向在高考中主要考查与函数、映射概念相关的定义域、映射个数、函数值、解析式的确定与应用。2常结合方程、不等式及函数的有关性质交汇命题，属低、中档题。考向链接：1求函数定义域的类型和相应方法。2求f(g(x)类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，面对于分

6、段函数的求值问题，必须依据条准确地找出利用哪一段求解，特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性。3求函数的解析式，常见命题规律是：先给出一定的条确定函数的解析式，再研究函数的有关性质；解答的常用方法有待定系数法、定义法、换元法、解方程组法、消元法等。4映射个数的计算一般要分类计数。例3：（2010•天津高考理科•8）若函数f(x)= ,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 ( )（A）（-1，0）（0，1） （B）（-，-1）（1,+） （）（-1，0）（1,+） （D）（-，-1）（0,1）【命题立意】考查对数函数的图像和性质。【思路点拨】对a进行讨论

7、，通过图像分析f(a)>f(-a)对应的实数a的范围。【规范解答】选，当a>0，即-a<0时，由f(a)>f(-a)知 ，在同一个坐标系中画出 和 函数的图像，由图像可得a>1；当a<0,即-a>0时，同理可得-1<a<0，综上可得a的取值范围是（-1，0）（1,+）。要点考向三：函数图象问题考情聚焦：1函数图象作为高中数学的一个“重头戏”，是研究函数性质、方程、不等式的重要武器，已成为各省市高考命题的一个热点。2常以几类初等函数的图象为基础，结合函数的性质综合考查，多以选择、填空题的形式出现。考向链接：1基本初等函数的图象和性质，函数图象

8、的画法以及图象的三种变换。2在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系、结合图象研究。3在研究一些陌生的方程和不等式时常用数形结合法求解。例4：（2010•东高考理科•11）函数 的图象大致是（ ） 【命题立意】本题考查函数的图象，函数的基础知识以及数形结合的思维能力,考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力。 【思路点拨】利用特殊值对图象进行估计分析 【规范解答】选A，因为当x2或4时， ，所以排除B、；当x-2时，2x - ，故排除D，所以选A 要点考向四：函数性质问题考情聚焦：该考向是各省市高考命题大做的一个重点。常与多个知识点交汇

9、命题，且常考常新，既有小题，也有大题，主要从以下三个方面考查：1单调性（区间）问题，热点有：（1）确定函数单调性（区间）；（2）应用函数单 调性求函数值域（最值）、比较大小、求参数的取值范围、解（或证明）不等式。2奇偶性、周期性、对称性的确定与应用。3最值（值域）问题，考题常与函数的其他性质、图象、导数、基本不等式等综合。例：（2010辽宁数）（21）（本小题满分12分）已知函数 （）讨论函数 的单调性； （）设 ，证明：对任意 ， 解：() f(x)的定义域为(0,+ )， 当a0时， 0，故f(x)在(0,+ )单调增加；当a1时， 0, 故f(x)在(0,+ )单调减少；当1a0时，令

10、0,解得x= 当x(0, )时, 0；x( ，+ )时， 0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（ ，+ ）单调减少()不妨假设x1x2由于a2,故f(x)在（0，+ ）单调减少所以 等价于4x14x2,即f(x2)+ 4x2f(x1)+ 4x1令g(x)=f(x)+4x,则+4 于是 0从而g(x)在（0，+ ）单调减少，故g(x1) g(x2)，即f(x1)+ 4x1f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2(0,+ ) ， 【高考真题探究】1 （2010•上海高考理科•8）对任意不等于1的正数a，函数f(x)= 的反函数的图像都经过点P，则点P的坐标是 【命题立意

11、】本题考查对数函数的性质及反函数的有关性质【思路点拨】根据对数函数的性质找到原函数过的定点，再由反函数的性质找到关于直线=x的对称点【规范解答】 因为函数 的图像过定点 ，由反函数的性质可知，反函数的图像过定点 2 （2010•全国理科•8）设 ， ， ,则（ ）A a<b< Bb<<a <a<b D <b<a【命题立意】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用以及数形结合的数学思想【思路点拨】利用换底公式，将 ， 变成以2为底的对数根据对数函数和指数函

12、数的图像进行分析【规范解答】选a= 2= , b=In2= ,而 ,所以a<b,= = ,而 ,所以 ，综上<a<b3 （2010•重庆高考理科•）函数 的图象（ ）A关于原点对称 B关于直线=x对称 关于x轴对称 D关于轴对称【命题立意】本小题考查函数的对称性，考查奇函数、偶函数的概念，考查运算求解的能力，考查数形结合的思想方法 【思路点拨】根据选项，可以判断函数 是否为奇函数、偶函数，即判断 与 的关系；如果不是，再判断选项B，是否正确【规范解答】选D 【解法1】 ，是偶函数，图象关于轴对称；【解法2】 ，有 ，所以函数 的图象关于 轴对称【方法技

13、巧】（1）指数运算 在变形整理中起其重要作用；（2）分式加法的逆向运算是本题的变形技巧4 （2010•北京高考科•6）给定函数 ， ， ， ，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A） （B） （） （D）【命题立意】考查几类基本初等函数的单调性及简单的图像变换。【思路点拨】画出各函数的图象，再判断在（0，1）上的单调性。【规范解答】选B。各函数在（0，1）上的单调性：增函数；减函数；减函数；增函数。 10（2010•浙江高考理科•10）设函数的集合 ，平面上点的集合 ，则在同一直角坐标系中， 中函数 的图象恰好经过 中两个点的函数的个数是

14、（ ）（A）4 （B）6 （）8 （D）10【命题立意】本题考查对数型函数的图象，集合元素的表示，考查学生对数运算能力和数形结合的思想。【思路点拨】把Q中的点表示在坐标 系中，逐个分析P中的每一个函数的图像，找出恰过两点的函数。【规范解答】选B。Q中有12个点，表示在坐标系中；P中共有12个函数，逐个分析P中的每一个函数的图像，可知恰过两个点的函数有 ， ， ， 共6个。6 （2010•江苏高考•11）已知函数 ,则满足不等式 的x的取值范围是_ _。【命题立意】本题考查分段函数的图像、单调性以及数形结合和化归转化的思想。【思路点拨】结合函数 的图像以及 的条，可以得出

15、 与 之间的大小关系，进而求解x的取值范围【规范解答】画出 ,的图象，由图像可知，若 ，则 ，即 ，得 【答案】 【跟踪模拟训练】一、选择题（本大题共6个小题，每小题6分，总分36分）1设函数f（x）=lg2x的反函数为=g（x） ，若 ，则a等于（ ）A-2 B D22已知一容器中有A、B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用 记录A菌个数的资料，其中 为A菌的个数，则下列判断中正确的个数为 （ ） 若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个假设科学家将B菌的个数控制为万个，则此时 A0B12D33函数 与 在同一

16、坐标系的图象为（ ）4类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数， ， ，其中 ，且 ，下面正确的运算公式是（ ） ； ； ； （A） （B） （） （D）下列函数 中，满足“对任意 ， （0， ），当 < 时，都有 > 的是( )A = B = = D 6 f(x)= ，则 （ ）（A）-23（B）11（）19 （D）24二、填空题（本大题共3个小题，每小题6分，总分18分）7已知函数 ，正实数，n满足 ，且 ，若 在区间 上的最大值为2，则 8已知 ，函数 ，若实数 、 满足 ，则 、 的大小关系为 9给出下列四个命题：函数 在区间 上存在零点若 =0，则函数 在

17、 取得极值； -1，则函数 的值域为R；“ ”是“函数 在定义域上是奇函数”的充分不必要条。其中真命题是 （把你认为正确的命题序号都填在横线上）三、解答题（10、11题每小题1分，12题16分，总分46分）10据调查，安徽某地区有100万从事传统农业的农民，人均年收入3000元为了增加农民的收入，当地政府积极引资建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作 据估计，如果有x(x0)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民人均年收入为3000a元（a0为常数）（I）在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农

18、民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x的取值范围；（II）在（I）的条下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？11已知函数f(x)=lnx- (aR)(1)当a-e,-1时，试讨论f(x)在1,e上的单调性；(2)若f(x)<x在1,+)上恒成立，试求a的取值范围12(探究创新题)若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a-x)=2b,则称函数=f(x)的图象关于点(a,b)对称（1）已知函数f(x)= 的图象关于点(0,1)对称，求实数的值；（2）已知函数g(x)在（-，0）(0,+)上的图象关于点( 0,1)对称，

19、且当x(0,+)时，g(x)=x2+ax+1,求函数g(x)在(-,0)上的解析式；（3）在(1)(2)的条下，当t>0时，若对任意实数x(-,0)，恒有g(x)<f(t)成立，求实数a的取值范围参考答案1 【解析】选 因为函数f（x）=lg2x的反函数为 所以 由 得 2 【解析】选B 当 时 ，故错误；若 若 故错误；设B菌的个数为 所以 ，故正确。3 【解析】选A 因为 ，所以函数 的图像在函数 图像 的下方，排除、D；，排除B，故选A。4 【解析】选D 因为 ， 同理可证其它3个式子也成立。 【解析】选A依题意可得函数应在 上单调递减，故由选项可得A正确。6 【解析】选D

20、7 【解析】由已知得 所以 在区间 上的最大值为 故 答案： 8 【解析】 ，函数 在R上递减。由 得：<n答案：<n9 【解析】正确：显然 在 上是增函数，且 所以函数 在区间 上存在零点；不正确，例 ；正确： 对于：若 ，则 又 的定义域为R，所以 “函数 在定义域上是奇函数”；若函数 在定义域上是奇函数，则 恒成立。因为 ，所以 恒成立， 所以 ，故“函数 在定义域上是奇函数” 推不出“ ”，所以正确。综上正确的为。答案：10 【解】（I）据题意，（100x）•3000•（1+2x%）1003000，即x20x0，解得0x0 又x0，故x的取值范围是(

21、0，0 （II）设这100万农民的人均年收入为元，则 3x2(a1)2300047(a1)2 (0<x0) （1）若02(a1)0，即0a1，则当x2(a1)时，取最大值； （2）若2(a1)0，即a 1，则当x0时，取最大值 答：当0a1时，安排2(a1)万人进入加工企业工作，当a1时，安排0万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大 11 【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+)，当-ea-1时，1-ae,令f(x)=0得x=-a,于是当1x-a时，f(x)0,f(x)在1,-a上为减函数,当-axe时，f(x)0,f(x)在-a,e上为增函数综上可知，当-ea-1时f(

22、x)在1,-a上为减函数，在-a,e上为增函数(2)由f(x)<x得lnx- <x,x1,a>xlnx-x2令g(x)=xlnx-x2,要使a>xlnx-x2在1,+)上恒成立，只需a>g(x)ax,g(x)=lnx-2x+1,令(x)=lnx-2x+1,则(x)= -2,x1,(x)<0,(x)在1,+)上单调递减，(x)(1)=-1<0,因此g(x)<0,故g(x)在1,+)上单调递减，则g(x)g(1)=-1,a的取值范围是(-1,+)12 【解析】（1）由题设可得f(x)+f(-x)=2,即 + =2，解得 (2)当x<0时，-x&

23、gt;0且g(x)+g(-x)=2, g(x)=2- g(-x)=-x2+ax+1(3)由（1）得f(t)=t+ +1(t>0),其最小值为f(1)=3g(x)= -x2+ax+1=-(x-a/2)2+1+ ,当 当 【备资】1已知函数 ，若 ，则实数 = （ ）（A）-1 （B） （）-1或 （D）1或 2 f(x)= 则f(f(2)的值为( )(A)0(B)1()2(D)33 设a= 03,b=lg3,=30,则a,b,的大小关系是( )(A)a>b>(B)b>>a()b>a>(D)a>>b4 已知函数=f(x)与=ex互为反函数，函数

24、=g(x)的图象与=f(x)的图象关于x轴对称，若g(a)=1,则实数a的值为( )已知f(x)是定义在R上的奇函数，若f(x)的最小正周期为3，f(1)>0，f(2)= ，则的取值范围是（ ）（A） （B） （） （D） 6如图是函数 的图象，则 （ ）（A） （B） （） （D） 7函数=f(x)的图象如图所示，则函数 的图象大致是（ ）8 若定义在R上的函数g(x)满足：对任意x1,x2有g(x1+x2)=g(x1)+g(x2)+1,则下列说法一定正确的是( )(A)g(x)为奇函数(B)g(x)为偶函数()g(x)+1为奇函数(D)g(x)+1为偶函数9设 为奇函数, 为常数(1

25、)求 的值得;(2)证明f(x)在区间(1,+ )内单调递增;(3)若对于区间3,4上的每一个x的值,不等式 恒成立,求实数 的取值范围参考答案1 【解析】选。当 >0时， ，解得 ；当 0时， ，解得 =-12 【解析】选f(2)=lg3(22-1)=1,f(f(2)=f(1)=2e1-1=23 【解析】选Da=03>0=1,0<b=lg3<lg=1,=30=1,a>>b4 【解析】选由已知得f(x)=lnx,又=g(x)与= f(x)的图象关于x轴对称，g(x)=-f(x)=-lnx,又g(a)=1,-lna=1,a= 【解析】选由已知f(2)=f(3-

26、1)=f(-1)=-f(1)又f(1)>0, <0 解得 。6 【解析】选将分数指数化为根式， ，由定义域为R，值域为0，+）知n为奇数，为偶数，又由幂函数=x,当>1时，图象在第一象限的部分下凸，当0<<1时，图象在第一象限的部分上凸，故选或由图象知函数为偶函数，为偶数，n为奇数又在第一象限内上凸, <17 【解析】选由f(x)图象知f(x)1, 0,结合图象知先8 【解析】选由已知：令x1=x2=0得,g(0)=2g(0)+1,g(0)=-1,令x1=x,x2=-x,则有g(0)=g(-x)+g(x)+1,有g(x)+1=-g(-x)+1,故g(x)+1为奇函数9 【解析】(1)由已知f(x)+f(-x)=0即(2)由(1)得 (3)原不等式可化为