三角形中考压轴题带答案doc.docx

1、三角形中考压轴题带答案doc.中考专题 - 三角形一选择题（共 3 小题）1 如图，点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，且 EC=2AE ，直角三角形 FEG 的两直角边 EF、 EG 分别交 BC、 DC 于点 M 、 N 若正方形 ABCD 的边长为 a ，则重叠部分四边形 EMCN 的面积为（ ）A a2 B a2 C a2 D a 2考点 ： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质专题 ： 几何图形问题；压轴题分析： 过 E 作 EP BC于点 P， EQ CD于点 Q ， EPM EQN，利用四边形EMCN 的面积等于正方形PCQE 的面积求解解答： 解：过 E 作 EP

2、BC于点 P， EQ CD于点 Q ，四边形 ABCD 是正方形， BCD=90 ，又 EPM= EQN=90 ， PEQ=90 ， PEM+ MEQ=90 ，三角形 FEG 是直角三角形， NEF= NEQ+ MEQ=90 ， PEM= NEQ，AC是 BCD的角平分线，EPC= EQC=90 ， EP=EQ ，PCQE四边形是正方形，在 EPM和 EQN中， EPM EQNASA（）S EQN=S EPM，四边形 EMCN 的面积等于正方形 PCQE 的面积正方形 ABCD 的边长为 a ， AC= a， EC=2AE ， EC= a， EP=PC= a ，正方形 PCQE 的面积 = a

3、 a= a2 ，四边形 EMCN 的面积 = a 2 ，故选： D 可编辑.点评： 本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出 EPM EQN2 如图 A= ABC= C=45E、，F 分别是 AB 、 BC 的中点，则下列结论， EF BD，BDEF=， ADC= BEF+ BFE ， AD=DC ，其中正确的是（ ）A B C D考点 ： 三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质专题 ： 压轴题分析： 根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边”同时利用三角形的全等性质求解解答： 解：如下图所示：连接 AC ，延长 BD 交 AC 于点 M ，

4、延长 AD 交 BC 于 Q ，延长 CD 交 AB 于 P ABC= C=45 CP AB ABC= A=45 AQ BC点 D 为两条高的交点，所以 BM 为 AC 边上的高，即： BM AC由中位线定理可得 EF AC， EF= AC BD EF ，故正确 DBQ+ DCA=45 ， DCA+ CAQ=45 ， DBQ= CAQ， A= ABC， AQ=BQ， BQD= AQC=90 ，根据以上条件得 AQC BQD， BD=AC，故正EF=确 A= ABC= C=45 DAC+ DCA=180 （ A+ ABC+ C） =45 ADC=180 （ DAC+ DCA） =135 = BE

5、F+ BFE=180 ABC故 ADC= BEF+ BFE成立；无法证明 AD=CD ，故错误故选 B点评： 本题考点在于三角形的中位线和三角形全等的判断及应用可编辑.3 四边形 ABCD 中， AC 和 BD 交于点 E，若 AC 平分 DAB，且AB=AE ， AC=AD ，有以下四个命题： AC BD； BC=DE ； DBC= DAB； AB=BE=AE 其中命题一定成立的是（ ）A B C D考点 ： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质专题 ： 压轴题分析： 根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质判断各选项是否正确即可解答： 解： AB=A

6、E ，一个三角形的直角边和斜边一定不相等， 不垂直于 BDAC，错误；利用边角边定理可证得 ADE ABC，=DE那么，正确；由 ADE ABC可得 ADE= ACB，那么A， B， C， D 四点共圆， DBC= DAC=DAB，正确； ABE不一定是等边三角形，那么不一定正确；正确，故选 B点评： 此题主要考查了全等三角形的性质，以及直角三角形中斜边最长；全等三角形的对应边相等；等边三角形的三边相等二填空题（共 6 小题）4如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形， 如此继续下去，结果如下表，则 an = 3n+1 （用含 n 的代

7、数式表示） 可编辑.所剪次数1234n正三角形个数471013a n考点 ： 等边三角形的性质专题 ： 压轴题；规律型分析： 根据图跟表我们可以看出 n 代表所剪次数， a n 代表小正三角形的个数，也可以根据图形找出规律加以求解解答： 解：由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以总的个数3n+1 故答案为： 3n+1 点评： 此题主要考验学生的逻辑思维能力以及应变能力5 如图，在ABC中， AC=BC AB ，点 P 为 ABC所在平面内一点，且点P 与 ABC的任意两个顶点构成 PAB ，PBC， 均PAC是等腰三角形，则满足上述条件的所有点P 的个数为6 个考点 ：

8、 等腰三角形的判定与性质专题 ： 压轴题分析： 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出 AB 的垂直平分线，首先 的ABC外心满足，再根据圆的半径相等，以点 C 为圆心，以 AC 长为半径画圆， AB 的垂直平分线相交于两点，分别以点 A 、B 为圆心，以 AC 长为半径画圆，与 AB 的垂直平分线相交于一点，再分别以点 A 、B为圆心，以 AB 长为半径画圆，与C 相交于两点，即可得解解答： 解：如图所示，作 AB 的垂直平分线， 的ABC外心 P1 为满足条件的一个点，以点 C 为圆心，以 AC 长为半径画圆， P2、 P3 为满足条件的点，可编辑.分别以点 A 、 B 为圆

9、心，以 AC 长为半径画圆， P4 为满足条件的点，分别以点 A 、 B 为圆心，以 AB 长为半径画圆， P5、 P6 为满足条件的点，综上所述，满足条件的所有点 P 的个数为 6故答案为： 6 点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质， 主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观6 如图， ABC是边长为 1 的等边三角形，取 BC 的中点 E，作 ED AB， EF AC，得到四边形EDAF ，它的面积记为 S1 ，取 BE 的中点 E1，作 E1 D 1 FB ，E1 F1 EF 得到四边形 E1

10、D 1 FF1，它的面积记作 S2，照此规律，则 S2012 = 考点 ： 等边三角形的性质；三角形中位线定理专题 ： 压轴题；规律型分析： 求出 ABC的面积是 ，求出 DE 是三角形 ABC 的中位线，根据相似三角形的性质得出可编辑.= = ，求出 S CDE= ， S BEF= ，求出 S1= ，同理S2= S BEF= ，S3= S4= ，推出 S2012 = （ 2011 个 ），即可得出答案解答： 解： BC的中点 E， ED AB，E为 BC 中点， DE=AB ， DE AB， CDE CAB，= = （ ） 2= ， ABC的面积是 1 = S CDE= ，推理 = ，SBE

11、F= S1= = ，同理 S2= SBEF= ，S3= S4= ， ，S2012 = （ 2011 个 ）， = = ，故答案为： 点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是总结出规律， 题目比较好，但是有一定的难度7 如图，在正方形 ABCD 中，点 E， F 分别在边 BC，CD 上，如果 AE=4 ， EF=3 ， AF=5 ，那么正方形ABCDn 的面积等于 考点 ： 勾股定理的逆定理；解分式方程；相似三角形的判定与性质专题 ： 压轴题分析： 根据 ABE ECF ，AB可将与 BE 之间的关系式表示出来，在 Rt ABE中，根据勾股定理AB 2+

12、BE 2=AC 2，可将正方形 ABCD 的边长 AB 求出，进而可将正方形 ABCD 的面积求出解答： 解：设正方形的边长为 x， BE 的长为 a可编辑. AEB+ BAE= AEB+ CEF=90 BAE= CEF B= C ABE ECF=，即=解得 x=4a 在 Rt ABE中， AB22=AE222=42将代入，可得：a=+BEx+a正方形 ABCD 的面积为： x2=16a 2 =点评： 本题是一道根据三角形相似和勾股定理来求正方形的边长结合求解的综合题隐含了整体的数学思想和正确运算的能力注意后面可以直接这样2+a2=4222=422+ x2=42，x，x+ （ ）， xx2 =

13、16 ，x 2=无需算出算出 x8 已知 a ，b ，c 是直角三角形的三条边，且a b c，斜边上的高为h ，则下列说法中正确的是 （只填序号）a2b 2+h 4= （a 2+b2 +1 ）h 2；b4 +c 2 h 2 =b 2c2；由可以构成三角形；直角三角形的面积的最大值是考点 ：勾股定理的逆定理；勾股定理专题 ：计算题；压轴题分析：根据直角三角形的面积公式和勾股定理将各式化简，等式成立者即为正确答案解答：解：根据直角三角形的面积的不同算法，有ab=ch ，解得 h=将 h= 代入 a 2b 2+h 4= （a 2 +b 2 +1 ） h 2 ，得 a 2b 2 + （ ） 4 = （

14、 a2 +b 2 +1 ）（ ） 2，得 a 2b 2 + （ ） 4 = （ c2 +1 ）（ ）2，得 a2 b 2+ （ ） 4=a 2b 2 + ，即（ ） 4= ，a2 b 2=c 2，不一定成立，故本选项错误；4+c22=b2242222，b4+b22=b224+b2222=0，将 h=代入 bhc，得 b+c （）=bcac，整理得 babc2（ b2+a22） =022 c2=022+a22） =0成立，故本选项正确；b c，b+a，b （ b c2+a2=c2，（2+ （2=a+b ，（）2=c ，不能说明（2+ （2= （2，b）故本选项错误；可编辑.直角三角形的面积为 a

15、b ，随 ab 的变化而变化，所以无最大值，故本选项错误故答案为点评：此题不仅考查了勾股定理，还考查了面积法求直角三角形的高，等式变形计算较复杂，要仔细9 如图， A 、 B、 C 分别是线段 A 1B， B1C， C1 A 的中点，若 ABC的面积是 1 ，那么A1 B1 C1 的面积7考点 ： 三角形的面积专题 ： 压轴题分析： 连接 AB 1 ，BC 1， CA 1，根据等底等高的三角形的面积相等求出 1，A1 ABB1的面积，从而求出A1 BB1 的面积，同理可求B 1 CC1 的面积，A1 AC1 的面积，然后相加即可得解解答： 解：如图，连接 AB 1 ， BC1 ，CA 1，A、

16、B 分别是线段 A 1B，B1 C 的中点，S ABB1=S ABC=1 ，S A1AB1=S ABB1=1 ，S A1BB1=S A1AB1+S ABB1=1+1=2 ，同理： S B1CC1=2 ，S A1AC1=2 ，A1B1C1 的面积 =S A1BB1+S B1CC1+S A1AC1+S ABC=2+2+2+1=7 故答案为： 7 点评： 本题考查了三角形的面积， 主要利用了等底等高的三角形的面积相等， 作辅助线把三角形进行分割是解题的关键三解答题（共 5 小题）10 已知 ABC为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B、 C 重合），以 AD 为边作菱形AD

17、EF （ A 、 D 、 E、 F 按逆时针排列） ，使 DAF=60 ，连接CF（ 1）如图 1 ，当点 D 在边 BC 上时，求证： BD=CF ； AC=CF+CD ；可编辑.（ 2）如图 2 ，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时， 结论 AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC 、 CF、 CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（ 3）如图 3 ，当点 D 在边 CB 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出 AC、 CF、 CD之间存在的数量关系考点 ： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质专题 ： 几何综合题；压轴题分析： （ 1 ）

18、根据已知得出 AF=AD ，AB=BC=AC ， BAC= DAF=60 求，出 BAD=CAF证， BAD CAF ，推出 CF=BD 即可；（2 ）求出 BAD= CAF ，根SAS据 证 BAD CAF ，推BD=CF出 即可；（3 ）画出图形后，根据 SAS 证 BAD CAF ，推CF=BD出 即可解答： （ 1 ）证明： 菱形 AFED ， AF=AD ，ABC 是等边三角形， AB=AC=BC ， BAC=60 = DAF ， BAC DAC= DAF DAC，即 BAD= CAF ，在 BAD和 CAF中 ， BAD CAFCF=BD， CF+CD=BD+CD=BC=AC ，即

19、 BD=CF ， AC=CF+CD （ 2 ）解： AC=CF+CD 不成立， AC、 CF、CD 之间存在的数量关系是 AC=CF CD ，理由是： 由（1 ）知：AB=AC=BC ，AD=AF ， BAC= DAF=60 ， BAC+ DAC= DAF+ DAC，即 BAD= CAF ，在 BAD和 CAF中 ， BAD CAF ， BD=CF ，可编辑.CFCD=BD CD=BC=AC ，即 AC=CF CD（ 3 ） AC=CD CF理由是： BAC= DAF=60 ， DAB= CAF ，在和 CAFBAD中 ， BAD CAFSAS（）， CF=BD ， CDCF=CD BD=BC

20、=AC ，即 AC=CD CF点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中11 如图， ABC中AB=AC ，BC=6 ， ，点 P 从点 B 出发沿射线 BA 移动，同时，点 Q 从点 C出发沿线段 AC 的延长线移动，已知点 P、 Q 移动的速度相同， PQ 与直线 BC 相交于点 D （ 1）如图，当点 P 为 AB 的中点时，求 CD 的长；（ 2）如图，过点 P 作直线 BC 的垂线垂足为 E，当点 P、Q 在移动的过程中，线段 BE、 DE、 CD 中是否存在长度保持不变的线

21、段？请说明理由；考点 ： 等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质专题 ： 几何综合题；压轴题；分类讨论分析： （ 1 ）过点 P 做 PF 平行与 AQ ，由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再由 AB=AC ，根据等边对等角得角 B 和角 ACB 的相等， 根据等量代换的角 B 和角 PFB 的相等， 根据等角对等边得 BP=PF ，又因点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同即 BP=CQ ，等量代换得 PF=CQ ，在加上对等角的相等，证得三角形 PFD 和三角形 QCD 的全等，根据全等三角形的对应边边相等得出DF=CD= CF，而又因 P 是 AB 的中点， PF AQ得出

22、F 是 BC 的中点，进而根据已知的 BC 的长，可编辑.求出 CF，即可得出 CD 的长（ 2 ）分两种情况讨论，第一种情况点P 在线段 AB 上，根据等腰三角形的三线合一得BE=EF ，再又第一问的全等可知 DF=CD ，所以 ED=，得出线段 DE 的长为定值；第二种情况， P 在 BA 的延长线上，作 PM 平行于 AC 交 BC 的延长线于 M ，根据两直线平行，同位角相等推出角 PMB 等于角 ACB ，而角 ACB 等于角 ABC ，根据等量代换得到角ABC 等于角 PMB ，根据等角对等边得到 PM 等于 PB，根据三线合一， 得到 BE 等于 EM，同理可得PMD全等于QCD

23、，得到 CD 等于 DM ，根据 DE 等于 EM 减 DM ，把 EM 换为 BC 加 CM 的一半， 化简后得值为定值解答： 解：（1 ）如图，过 P 点作 PF AC交 BC 于 F，点 P 和点 Q 同时出发，且速度相同，BP=CQ ， PF AQ，PFB= ACB， DPF= CQD又 AB=AC ， B= ACB，B= PFB ， BP=PF ， PF=CQ ，又PDF= QDC，证得 PFD QCD， DF=CD=CF，又因 P 是 AB 的中点，PF AQ，F是BC 的中点，即 FC=BC=3 ， CD= CF=；（ 2 ）分两种情况讨论，得ED 为定值，是不变的线段如图，如果点P 在线段 AB 上，过点 P 作 PF AC交 BC 于 F， PBF为等腰三角形，PB=PFBE=EF， PF=CQ ， FD=DC ， ED=， ED为定值，同理，如图，若P 在 BA 的延长线上，作 PM AC 的延长线于 M ， PMC= ACB，又 AB=AC ， B= ACB，B= PMC， PM=PB ，根据三线BE=EM合一得 ，同理可得PMD QCD，所CD=DM以，综上所述，线段 ED 的长度保持不变可编辑.点评： 此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，考