数学三 高数与统计 考试要求部分.docx

1、数学三 高数与统计 考试要求部分高等数学目录与2010数三大纲对照的重点 计划用时（天） 标记及内容要求： 大纲中要求“掌握”和“会”的内容以及对学习高数特别重要的内容，应当重点加强， 对其概念、性质、结论及使用方法熟知，对重要定理、公式会推导。要大量做题。 大纲中要求“理解”和“了解”的内容以及对学习高数比较重要的内容，要看懂定理、公式的推导，知道其概念、性质和方法，能使用其结论做题。要大量做题。 大纲中没有明确要求，但对做题和以后的学习有帮助。要能看懂，了解其思路和结论。 超出大纲要求。 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 （集合、影射，其余） 第二节 数列的极限 （） 第三节 函数的

2、极限 （） 第四节 无穷小与无穷大 （） 第五节 极限运算法则 （） 第六节 极限存在准则 （） 第七节 无穷小的比较 （） 第八节 函数的连续性与间断点 （） 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 （） 第十节 闭区间上连续函数的性质 （） 总习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念（） 第二节 函数的求导法则（） 第三节 高阶导数（） 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率（） 第五节 函数的微分（） 总习题二 第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理（罗尔，拉格朗日，柯西） 第二节 洛必达法则（） 第三节 泰勒公式（） 第四节 函数的单调性与曲线的凹

3、凸性（） 第五节 函数的极值与最大值最小值（） 第六节 函数图形的描绘（） 第七节 曲率() 第八节 方程的近似解() 总习题三（注意渐近线） 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质（） 第二节 换元积分法（） 第三节 分部积分法（） 第四节 有理函数的积分（） 第五节 积分表的使用（） 总习题四 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质（） 第二节 微积分基本公式（） 第三节 定积分的换元法和分部积分法（） 第四节 反常积分（概念，计算） 第五节 反常积分的审敛法 函数() 总习题五 第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法（） 第二节 定积分在几何学上的应用（平面面积，旋转体

4、，简单经济应用） 第三节 定积分在物理学上的应用 （求函数平均值） 总习题六、 第七章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念（） 第二节 可分离变量的微分方程（）（掌握求解方法） 第三节 齐次方程（）（掌握求解方法） 第四节 一阶线性微分方程（）（掌握求解方法） 第五节 可降阶的高阶微分方程（） 第六节 高阶线性微分方程（） 第七节 常系数齐次线性微分方程 （二阶的） 第八节 常系数非齐次线性微分方程（二阶的） 第九节 欧拉方程() 第十节 常系数线性微分方程组解法举例() 总习题七 附录I 二阶和三阶行列式简介附录II 几种常用的曲线附录、积分表 第八章 空间解析几何与向量代数 （） 第一节

5、 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 混合积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程 总习题八 第九章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念（） 第二节 偏导数（概念。计算） 第三节 全微分 （概念。计算） 第四节 多元复合函数的求导法则 （概念。计算） 第五节 隐函数的求导公式（） （掌握求导方法） 第六节 多元函数微分学的几何应用 () 第七节 方向导数与梯度() 第八节 多元函数的极值及其求法（概念。计算、必要条件） 第九节 二元函数的泰勒公式() 第十节 最小二乘法()总习题九 第十章 重积分 第一节 二重积分

6、的概念与性质（） 第二节 二重积分的计算法（） 第三节 三重积分（） 第四节 重积分的应用 （二重积分部分） 第五节 含参变量的积分() 总习题十 第十一章 曲线积分与曲面积分（） 第一节 对弧长的曲线积分 第二节 对坐标的曲线积分 第三节 格林公式及其应用 第四节 对面积的曲面积分 第五节 对坐标的曲面积分 第六节 高斯公式 通量与散度 第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 总习题十一 第十二章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质（）（其中柯西审敛） 第二节 常数项级数的审敛法（定理1、2及推论、3、4 。 定理6.、7、8。 定理5、9、10） 第三节 幂级数（） 第四节 函数展开成幂

7、级数（） 第五节 函数的幂级数展开式的应用 （一、二。三） 第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质（） 第七节 傅里叶级数（） 第八节 一般周期函数的傅里叶级数（） 总习题十二 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲-数学三 考试科目：微积分.线性代数.概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟. 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试. 三、试卷内容结构 微积分 56% 线性代数 22% 概率论与数理统计 22% 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分 填空题 6小题，每

8、题4分，共24分 解答题（包括证明题） 9小题，共94分 微 积 分 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性 复合函数.反函数.分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求 1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.

9、2.了解函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性. 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念. 5.了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念. 6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 7.理解无穷小的概念和基本性质.掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系. 8.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型. 9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理.介值定

10、理)，并会应用这些性质. 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数.反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（LHospital）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性.拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 考试要求 1.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程. 2.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算

11、法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数 会求反函数与隐函数的导数. 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数. 4.了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 5.理解罗尔（Rolle）定理.拉格朗日( Lagrange)中值定理.了解泰勒定理.柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用. 6.会用洛必达法则求极限. 7.掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用. 8.会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间 内，设函数 具有二阶导数.当 时， 的图形是凹的；当 时， 的图形是凸的），会

12、求函数图形的拐点和渐近线. 9.会描述简单函数的图形. 三、一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨（Newton- Leibniz）公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 反常（广义）积分 定积分的应用 考试要求 1.理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法. 2.了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法.

13、 3.会利用定积分计算平面图形的面积.旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题. 4.了解反常积分的概念，会计算反常积分. 四、多元函数微积分学 考试内容 多元函数的概念 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续的概念 有界闭区域上二元连续函数的性质 多元函数偏导数的概念与计算 多元复合函数的求导法与隐函数求导法 二阶偏导数 全微分 多元函数的极值和条件极值.最大值和最小值 二重积分的概念.基本性质和计算 无界区域上简单的反常二重积分 考试要求 1.了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质. 3.

14、了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数. 4.了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题. 5.了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法（直角坐标.极坐标）.了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算. 五、无穷级数 考试内容 常数项级数收敛与发散的概念 收敛级数的和的概念 级数的基本性质与收敛的必要条件 几何级数与 级数及其收敛性 正项级数收敛性的判别法 任

15、意项级数的绝对收敛与条件收敛 交错级数与莱布尼茨定理 幂级数及其收敛半径.收敛区间（指开区间）和收敛域 幂级数的和函数 幂级数在其收敛区间内的基本性质 简单幂级数的和函数的求法 初等函数的幂级数展开式 考试要求 1.了解级数的收敛与发散.收敛级数的和的概念. 2.了解级数的基本性质和级数收敛的必要条件，掌握几何级数及 级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法. 3.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法. 4.会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域. 5.了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导

16、和逐项积分），会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数. 6.了解 . . . 及 的麦克劳林（Maclaurin）展开式. 六、常微分方程与差分方程 考试内容 常微分方程的基本概念 变量可分离的微分方程 齐次微分方程 一阶线性微分方程 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶常系数线性差分方程 微分方程的简单应用 考试要求 1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念. 2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法. 3.会解二阶常系数齐次线性微分方程. 4.了解

17、线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式.指数函数.正弦函数.余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程. 5.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念. 6.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法. 7.会用微分方程求解简单的经济应用问题. 线 性 代 数 一、行列式 考试内容 行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理 考试要求 1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质. 2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式. 二、矩阵 考试内容 矩阵的概念 矩阵的线性运算 矩阵的乘法 方阵的幂 方阵乘积的行列式 矩阵的转置 逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆的充分必要条件 伴随

18、矩阵 矩阵的初等变换 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的等价 分块矩阵及其运算 考试要求 1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质. 2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质. 3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵. 4.了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法. 5.了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则. 三、向量 考试内容 向量

19、的概念 向量的线性组合与线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 考试要求 1.了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则. 2.理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法. 3.理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩. 4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系. 5.了解内积的概念.掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法. 四、线性

20、方程组 考试内容 线性方程组的克莱姆（Cramer）法则 线性方程组有解和无解的判定 齐次线性方程组的基础解系和通解 非齐次线性方程组的解与相应的齐次线件方程组（导出组）的解之间的关系 非齐次线性方程组的通解 考试要求 1.会用克莱姆法则解线性方程组. 2.掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法. 3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法. 4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念. 5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法. 五、矩阵的特征值和特征向量 考试内容 矩阵的特征值和特征向量的概念、性质 相似矩阵的概念及性质 矩阵可相似对角化的充分必要

21、条件及相似对角矩阵 实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵 考试要求 1.理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法. 2.理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法. 3.掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 六、二次型 考试内容 二次型及其矩阵表示 合同变换与合同矩阵 二次型的秩 惯性定理 二次型的标准形和规范形 用正交变换和配方法化二次型为标准形 二次型及其矩阵的正定性 考试要求 1.了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念. 2.了解二次

22、型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形. 3.理解正定二次型.正定矩阵的概念，并掌握其判别法. 概率论与数理统计 一、随机事件和概率 考试内容 随机事件与样本空间 事件的关系与运算 完备事件组 概率的概念 概率的基本性质 古典型概率 几何型概率 条件概率 概率的基本公式 事件的独立性 独立重复试验 考试要求 1.了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算. 2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Ba

23、yes）公式等. 3.理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法. 二、随机变量及其分布 考试内容 随机变量 随机变量的分布函数的概念及其性质 离散型随机变量的概率分布 连续型随机变量的概率密度 常见随机变量的分布 随机变量函数的分布 考试要求 1.理解随机变量的概念，理解分布函数 的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率. 2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布 、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布 及其应用. 3.掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布. 4.

24、理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布 、正态分布 、指数分布及其应用，其中参数为 的指数分布 的概率密度为 5.会求随机变量函数的分布. 三、多维随机变量及其分布 考试内容 多维随机变量及其分布函数 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常见二维随机变量的分布 两个及两个以上随机变量的函数的分布 考试要求 1.理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质. 2.理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度、掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布. 3.理解随机变量的独立性和

25、不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系. 4.掌握二维均匀分布和二维正态分布 ，理解其中参数的概率意义. 5.会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其函数的分布. 四、随机变量的数字特征 考试内容 随机变量的数学期望（均值）、方差、标准差及其性质 随机变量函数的数学期望 切比雪夫（Chebyshev）不等式 矩、协方差、相关系数及其性质 考试要求 1.理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征. 2.会求随机变量函数的数学期望

26、. 3.了解切比雪夫不等式. 五、大数定律和中心极限定理 考试内容 切比雪夫大数定律 伯努利（Bernoulli）大数定律 辛钦（Khinchine）大数定律 棣莫弗拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理 列维林德伯格（Levy-Lindberg）定理 考试要求 1.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）. 2.了解棣莫弗拉普拉斯中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）、列维林德伯格中心极限定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理），并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率. 六、数理统计的基本概念 考试内容 总体 个体 简单随

27、机样本 统计量 经验分布函数 样本均值 样本方差和样本矩 分布 分布 分布 分位数 正态总体的常用抽样分布 考试要求 1.了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念，其中样本方差定义为 2.了解产生 变量、 变量和 变量的典型模式；了解标准正态分布、 分布、 分布和 分布得上侧 分位数，会查相应的数值表. 3.掌握正态总体的样本均值.样本方差.样本矩的抽样分布. 4.了解经验分布函数的概念和性质. 七、参数估计 考试内容 点估计的概念 估计量与估计值 矩估计法 最大似然估计法 考试要求 1.了解参数的点估计、估计量与估计值的概念. 2.掌握矩估计法（一阶矩、二阶矩）和最大

28、似然估计法. 概率论与数理统计目录与大纲对照的重点 计划用时（天） 第一章 概率论的基本概念（）1 随机试验2 样本空间、随机事件 3 频率与概率 4 等可能概型（古典概型） 5 条件概率 6 独立性 小结 习题 第二章 随机变量及其分布（） 1 随机变量 2 离散型随机变量及其分布律3 随机变量的分布函数4 连续型随机变量及其概率密度5 随机变量的函数的分布 小结 习题 第三章 多维随机变量及其分布（）1 二维随机变量 2 边缘分布 3 条件分布 4 相互独立的随机变量 5 两个随机变量的函数的分布 小结 习题 第四章 随机变量的数字特征 （）1 数学期望 2 方差 3 协方差及相关系数 4

29、 矩、协方差矩阵 小结 习题 第五章 大数定律及中心极限定理 1 大数定律 （）2 中心极限定理 （定理，近似计算） 小结 习题 第六章 样本及抽样分布 1 随机样本（）2 直方图和箱线图（）3 抽样分布（） 小结 附录 习题 第七章 参数估计 1 点估计（）2 基于截尾样本的最大似然估计 ( ) 3 估计量的评选标准( ) 4 区间估计( ) 5 正态总体均值与方差的区间估计( ) 6 （0-1）分布参数的区间估计( ) 7 单侧置信区间( )小结 习题 第八章 假设检验 () 1 假设检验 2 正态总体均值的假设检验 3 正态总体方差的假设检验 4 置信区间与假设检验之间的关系 5 样本容

30、量的选取 6 分布拟合检验 7 秩和检验 8 假设检验问题的户值检验法 小结 习题 第九章 方差分析及回归分析() 1 单因素试验的方差分析 2 双因素试验的方差分析 3 一元线性回归 4 多元线性回归 小结 附录 习题 第十章 bootstrap方法() 1 非参数bootstrap方法 2 参数bootstrsp方法 小结 第十一章 在数理统计中应用Excel软件() 1 概述 2 箱线图 3 假设检验 4 方差分析 5 一元线性回归 6 bootstrap方法、宏、VBA 本章参考文献 第十二章 随机过程及其统计描述() 1 随机过程的概念 2 随机过程的统计描述 3 泊松过程及维纳过程 小结 习题 第十三章 马尔可夫链() 1 马尔可夫过程及其概率分布 2 多步转移概率的确定 3 遍历性 小结 习题