正整数乘法问题解题策略之研究.docx

1、正整数乘法问题解题策略之研究 文档编制序号：KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08正整数乘法问题解题策略之研究正整数乘法问题解题策略之研究以国小二年级学童为例 许美华1 刘曼丽21台南市安庆国民小学2屏东师范学院数理教育研究所（投稿日期：90年1月6日；修正日期：90年1月19日；接受日期：90年2月6日）摘要本研究目的在探讨国小二年级学童正整数乘法问题的解题策略。研究对象来自南部某国小的5班学童共182人。评量工具为自编的笔试试卷。资料蒐集是以乘法教学前後各两次笔试为主。资料分析则以文件分析法为主。研究结果发现：国小二年级学童常用的乘法解题策略有10种、并非所有学童都能在乘

2、法教学後改用乘法、不同类型的乘法问题（等组型、直积型与比较型问题）与不同位数的数字（一位数一位数、一位数二位数与二位数一位数）对学童的解题都会造成影响。关键词：正整数乘法问题、解题策略、国小二年级学童 壹、研究动机与目的笔者从乘法相关的研究（李俊仁，1992；林碧珍，1991；林慧丽，1991；Anghileri, 1989; Kouba, 1989; Mulligan, 1992; Mulligan & Mitchelmore, 1997）与自身的教学经验中发现，学童正整数乘法问题的解题策略虽然很多，但是使用情形会因个别差异而有不同，例如，有些学童会使用一些较节省运算步骤的过渡型解法来解决数

3、字超过10的乘法问题，但同时也有学童是以连加法来解决此类问题，更有学童直到乘法启蒙教学後仍无法使用乘法来解题。此外，国内的研究大多以国小中、高年级学童的乘、除法概念为研究重点，较缺乏对低年级刚接触乘法的学童进行乘法解题方面的报告，因此本研究以国小二年级学童为对象、以正整数乘法问题为范围，来探讨国小二年级学童在乘法启蒙教学前、後所使用的解题策略。同时，由於乘法问题的设计牵涉到问题的类型与数字的大小，所以本研究也会连带探讨这些因素对学童解题的影响，期盼本研究能让国小数学教师更加了解学童的乘法解题策略，进而对乘法教学有所助益。贰、文献探讨一、乘法问题解题策略的分类与发展顺序Anghileri(198

4、9)按照计数程序的复杂程度，将152位学童的乘法解题策略分成四种：单一式计数（unitary counting）、节奏式数数（rhythmic counting in groups）、数字模式（use of number pattern）和乘法事实的使用（use of multiplication facts），并在研究结果中发现，学童是从单一式计数、节奏式数数，发展到乘法事实的使用。Kouba(1989) 从研究中发现，128位学童的乘法文字题解题策略依据抽象程度可分成：直接表徵法（direct representation）、过渡型数数法（transitional counting）、加法

5、（additive）和背诵乘法事实（recalled number fact），并从统计结果中发现，越低年级的学童使用的策略就越具体，因而策略的发展顺序是从直接表徵法、过渡型数数法、加法，发展到背诵乘法事实。Mulligan(1992) 从70位学童长达二年的访谈中发现，乘法解题策略的表现层次有三：直接表徵後点数、无直接表徵之计数或相加、使用已知或导出的加法或乘法事实。此外，Mulligan进一步将学童所使用的解题策略细分成九种：全数（counting all）、双倍数（double counting）、跳数（skip counting）、连加法（repeated addition）、重复相加

6、（additive doubling）、折半相加（additive halving）、已知的加法事实（known addition fact）、已知的乘法事实（known multiplication fact）和导出的乘法事实（derived multiplication fact）。Mulligan 和Mitchelmore(1997)按照计算策略（也称为抽象程度）将其他研究者所提出的乘法解题策略分成五种，并形成发展的顺序为直接计数、节奏式计数、跳数、加法式计数和乘法式计数。从研究结果（70位学童的表现）中发现，学童的解题策略有七：单一式计数（unitary counting）、向前节奏式

7、数数（rhythmic counting forward）、向前跳数（skip counting forward）、连加（repeated addition）、重复相加（additive doubling）、已知的乘法事实（known multiplication fact）与导出的乘法事实（derived multiplication fact）。林慧丽（1991）依抽象程度将120位幼儿的乘法解题策略分成六种：直接表徵法、加法、跳数法、回忆法、数数法和未知法，并从不同年纪学童的表现中发现，解题策略的发展顺序为直接表徵法、数数法、跳数法、加法和回忆法（未知法因学童不能清楚说明解答产生的历程，

8、因而无法决定其发展顺序）。由上面的说明中可以发现，不同的研究者所提出的乘法解题策略在名称上有混用的情形，经过笔者分析、归纳後发现，已经被提出说明的乘法解题策略有以下11种（见表2-1）：表2-1 乘法解题策略之分类提出者解题策略Anghileri(1989)Kouba(1989)Mulligan(1992)Mulligan & Mitchelmore(1997)林慧丽（民80）直接表徵法单一式计数（全数）双倍数（向前节奏式数数）跳数（节奏式点数）（向前跳数）过渡型数数法（数字模式）（数数法）连加法（加法）（加法）重复相加折半相加已知的加法事实已知的乘法事实（使用乘法事实）（背诵乘法事实）（回忆

9、法）导出的乘法事实此外，虽然本研究并非以学童乘法解题策略的发展为研究重点，但是学童乘法解题策略的改变，将不可避免的成为资料分析的重点之一。因此，学童乘法解题策略由直接表徵、计数、加法而乘法的发展顺序，将是本研究分析资料与诠释结果的依据之一。二、乘法问题之情境模式从乘法启蒙教材中发现，国小二年级乘法教材的范围是正整数乘法，且大都以文字题的型式呈现。依据Greer（1992）所提出之乘除问题的情境模式，正整数乘法文字题有以下四种：1. 等组型问题（equal groups）是由一些内含有相同个数之物体的集合所构成的情境，等组情境以不同的方式出现，有些例子是自然重复的情形（如n个人有5n根手指头）；

10、重做一连串的动作（如一次走3步，要走4次）；和人们的习惯，就如同将相同数目的东西给予一些人（如老师发给4个小朋友，每人5颗糖果）。另外一种方式则是比率的乘法（如每个人有4块饼乾，3个人共有几块饼乾），3个人是一个人的3倍，所以饼乾数也会增为3倍。2. 直积（Cartesian product）是描述一种有序对（ordered pair）关系，每一个有序对都是由一个集合的每一个元素与另一个集合的所有元素有顺序的结合而成。例如在小明有4件不同颜色的上衣和5条不同款式的长裤，可以用来搭配成不同的外出服，请问小明的外出服有几种不同的搭配方式的问题中，外出服是由上衣与长裤二个集合所合成的。直积问题除了上

11、述的外出服组合问题（新集合是由二个已知集合中的所有元素按照顺序所合成的一种问题）之外，还包括阵列问题（问题中的物件是呈方阵排列的一种乘法问题）。例如在墙上的磁砖横看有5列，直看有6排，请问墙上共有几块磁砖的问题中，可以利用直排的数目乘以横列的数目来求出图中的总数。3. 长方形面积（rectangular area）是将长方形任一边和相邻一边的长度相乘，也可以把长方形分割成边长为1公分的正方形，於是，长方形面积可以用正方形的个数来计数，这样一个图示与由m行和n列所形成的棋盘图（也就像上述的阵列问题）很类似。例如在长4公尺，宽5公尺的长方形，其面积为多少平方公尺的问题中，可以长度乘以宽度来求得长方

12、形的面积，也可以用将长分成4个1公尺、宽分成5个1公尺所构成的棋盘图，来求出面积。在直积问题和长方形面积问题的运算中，上衣和长裤、直排的数目和横列的数目、长和宽、m和n等二个数字都被视为等价，也就是说，这二个数字都可以是被乘数，而不影响其运算结果。在本研究中，因为考量二年级学童能力，长方形面积问题将以棋盘图的形式呈现，其运算与直积型的阵列问题一样，所以将长方形面积问题和直积问题合成一类，称为直积型乘法问题。4. 比较型乘法（multiplicative comparison）是一种常被以n倍是多少来叙述的情境，例如，小华的苹果是小明的3倍，如果小明有4个苹果，小华有几个苹果乘法因子（multi

13、plicative factor，也就是3倍）则被视为是乘数。此种比较型问题牵涉到二个量：基准量与比较量，而我们则是利用基准量（小明的苹果数）来求比较量（小华的苹果数）。此外，比较型乘法问题也可以被视为是多与一的对应（many-one correspondence），亦即小华的3个苹果相当於小明的1个苹果。依据上述的说明，笔者将正整数乘法文字题的类型摘要如图2-1，并以此分类作为设计笔试试卷的依据之一。正整数乘法文字题等组型问题 直积型问题 比较型问题图2-1 正整数乘法文字题之分类参、研究方法一、研究对象由於时间和精力的限制，笔者只从服务学校内二年级的13个班级中，随机选取5班，共182位学

14、童作为研究对象。这些学童所使用的数学课本是南一版本。二、研究工具本研究以自编的笔试试卷为工具来蒐集学童的解题策略。笔者在参考国内外相关研究後，发现乘法问题的类型相当多，其中有些类型并不适合初学乘法的国小学生，又因为乘法启蒙教材大都以正整数的乘法文字题呈现，故试题设计以正整数乘法文字题的分类（见图2-1）为主，参考数学课本、习作和教学指引，设计相关的乘法问题，先形成试卷初稿，再经过二次预试，才发展成正式试卷。考虑三类问题在教材中的份量（见附注1），正式笔试试卷的内容包括：等组型乘法问题12题、直积型乘法问题4题与比较型乘法问题6题，共22题。此外，考量学童正要接受乘法教学，不宜处理太多的大数字题

15、，所以22个题目中包括一位数一位数的问题14题、一位数二位数4题、二位数一位数4题。因试卷内容太多，恐学童答题费时过久，故依问题类型与数字位数再将试题平均分成甲卷11题与乙卷11题。笔试甲卷的隔周重测信度（Pearson积差相关）为.824，乙卷为.850。至於效度方面，首先依据乘法教材分析和相关文献探讨，设计乘法问题，再经过二次预试，才发展成正式试题。每次预试的结果都与师院教授和国小老师讨论，并将讨论的意见作为编选及修正试题的依据。此外，笔试试题分类是采取专家效度，邀请数学教育专家和国小二年级数学教师共18位填写效度量表，以确定各种题目所属的类别。分析结果是等组型、直积型与比较型三类问题的效

16、度均介於.89到1之间。另一方面，将甲、乙两卷稍作修改，三类乘法问题的题数不予改变，题号顺序只略作更改，而三种数字大小不同问题的题数则重新调整，尽量以平均分配为主，包括一位数一位数的问题8题、一位数二位数6题、二位数一位数8题，等学童接受第四册全部单元的乘法教学後（共3个单元，教学内容见附注2），再受测一次。三、资料蒐集与分析本研究是要求182位学童在乘法教学前、後都填写甲、乙两卷（先填写甲卷、一日後再填写乙卷）。然後以文件分析法（document analysis）（吴明清，1991；欧用生，1991）将学童的解题纪录予以归类、分析。在本研究中，文件分析的单位是一题，而分析的类别则是以参考表

17、2-1和教学指引中相关部分後，整理、归纳出的13种学童解题策略为依据，详见表3-1。表3-1 学童之乘法解题策略解题策略解 题 纪 录 （例题：68）实物式直接表徵 以花片或教具呈现出题目的意义。图画式直接表徵 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 或是 6 6 6 6 6 6 6 6 全数 1、2、3、4、5、6（暂停）；7、12（暂停）；43、48跳数 6（1）、12（2）、18（3）、24（4）、30（5）、36（6）、42（7）、48（8） 或是 6、12、18、24、30、36、42、48连加法 6+6+6+6

18、+6+6+6+6=48 或是 6+6=12，12+6=18，36+6=42，42+6=48两两相加法 6+6=12，12+12+12+12=48 或是 6+6=12，12+12=24，24+12=36，36+12=48重复相加法 6+6=12，12+12=24，24+24=48折半相加法 6+6+6+6=24，24+24=48序列乘法 61=6，62=12，63=18，64=24，65=30，66=36，67=42，68=48直接乘法 68=48两倍乘法 62=12，64=24，68=48重复乘法 62=12，122=24，242=48先乘再加法（以412=48为例） 49=36，37、38、

19、39、40，41、42、43、44，45、46、47、48 或是 49=36，36+4=40，40+4=44，44+4=48 或是49=36，36+4+4+4=48 或是 49=36，4+4+4=12，36+12=48肆、研究结果与讨论一、整体表现将教学前、後的笔试资料依据5个不同的班级甲、乙、丙、丁、戊（假名）与学童不同的解题方法，分别整理、分类、统计如表4-1。因为在笔试中要求学童把想到的解题方法都纪录下来，因此下列3个表中的数字代表的是使用各种解题策略的次数，而非人数。表4-1 学童教学前、後使用各种解题策略之次数统计表班级解题 使用策略 次数（）二年甲班二年乙班二年丙班二年丁班二年戊班

20、总计图画式直接表徵教学前30（）74（）29（）91（）41（）265（）教学後93（）35（）52（）17（）27（）224（）节奏式数数（含全数、跳数）教学前30（）29（）32（）45（）24（）160（）教学後8（）3（）3（）9（）6（）29（）连加法教学前349（）246（）161（）286（）287（）1329（）教学後309（）59（）97（）232（）213（）910（）两两相加法教学前37（）45（）65（）49（）18（）214（）教学後4（）24（）18（）22（）4（）72（）重复相加法教学前1（）5（）24（）7（）9（）46（）教学後010（）1（）15（）026

21、（）分堆相加法（含折半相加法）教学前44（）27（）66（）42（）27（）206（）教学後4（）3（）6（）2（）14（）29（）直接乘法教学前20（）27（）17（）17（）65（）146（）教学後309（）400（）265（）478（）433（）1885（）先乘再加法教学前000000教学後8（）2（）5（）4（）9（）28（）接续乘法表之序列乘法教学前000000教学後3（）02（）005（）二堆乘法教学前0001（）01（）教学後1（）19（）51（）8（）7（）86（）总计教学前5114533945384712367教学後7395555007877133294从表4-1中发现，学童

22、的解题策略包括图画式直接表徵、节奏式数数、连加法、两两相加法、重复相加法、分堆相加法、直接乘法、先乘再加法、接续乘法表之序列乘法和二堆乘法等10种，与表3-1中所呈现的13种稍有不同，在表4-1中并没有出现实物式直接表徵、全数、跳数、折半相加法、序列乘法、两倍乘法、重复乘法等7种解题策略，而多出了节奏式数数、分堆相加法、接续乘法表之序列乘法、二堆乘法等4种策略。首先，实物式直接表徵并未出现，这可能是因为笔试时没有可供操作的物品。再者，因为观察不到学童的计数方式，无法知道仅有正确答数却无解题纪录的方法是全数或跳数，因而改以节奏式数数总括之。笔试纪录虽无出现序列乘法、两倍乘法、重复乘法，但却出现了

23、以接续乘法表最後一个算式继续进行的序列乘法，例如412，学童以49=36、410=40、411=44、412=48来求得答数。此外，从笔试纪录中也发现学童在解决问题1袋有6个苹果，买9袋有几个苹果时，是以分成三堆的方式6+6+6=18、6+6+6=18、6+6+6=18、18+18+18=54来解题，因此将分堆算好之後再加起来的解法称为分堆相加法，取代仅分成二堆的折半相加法。最後，二堆乘法（将超过9的被乘数或乘数分成二堆後，分别乘出再加起来）也是在本研究发现的另一种解题方法，例如512，学童以59=45、53=15、45+15=60来解题；或是138，学童以98=72、48=32、72+32=

24、104来求出答数。经由上述说明後，笔者将本研究受试学童实际所使用的10种解题策略与其纪录方式整理如表4-2：表4-2 学童使用之10种解题策略及纪录方式解题策略解题纪录（例题：412=48）图画式直接表徵 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 或是 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 节奏式点数 1、2、3、4（暂停）；5、6、7、8（暂停）；45、46、47、48 或是4（1）、8（2）、12（3）、40（10）、44（11）、48（12） 或是4、8、12、16、20、24、28、32、36、40

25、、44、48连加法 4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=48 或是4+4=8，8+4=12，12+4=16，36+4=40，40+4=44，44+4=48两两相加法 4+4=8，8+8=16，16+8=24，24+8=32，32+8=40，40+8=48重复相加法 4+4=8，8+8=16，16+16=32，32+16=48分堆相加法 4+4+4+4=16，4+4+4+4=16，4+4+4+4=16，16+16+16=48直接乘法 412=48先乘再加法 49=36，37、38、39、40，41、42、43、44，45、46、47、48 或是49=36，36+4=40，40+4=4

26、4，44+4=48 或是49=36，36+4+4+4=48 或是49=36，4+4+4=12，36+12=48接续乘法表之序列乘法 49=36，410=40，411=44，412=48二堆乘法 49=36，43=12，36+12=48 或是94=36，34=12，36+12=48（以124=48为例）除了发现受试学童解题策略与表3-1不同之外，从表4-1中也发现，学童在乘法启蒙教学前最常用的解题策略是连加法，而且不论班级的差异，每一班的学童都是以连加法为主要的解法（使用率分别为甲班、乙班、丙班、丁班、戊班）。若统计以加法为主的各种解题策略（连加法、两两相加法、重复相加法与分堆相加法）後，发现这

27、些加法策略的被使用率高达。相对地，学童在乘法启蒙教学後所使用的解题策略主要是直接乘法（使用率为），此时除了二年甲班（连加法的使用率与直接乘法一样，是）之外，丙班（直接乘法的使用率是，连加法是）、丁班（直接乘法是，连加法是）、戊班（直接乘法是，连加法是）等三班的直接乘法使用率均较连加法多出一倍以上，而乙班（直接乘法是，连加法是）更是多出五倍以上。对照前後，可知大多数的学童对於的问题在乘法教学前，都能自行以+来解决；而在教学後，能改成以来解决。另外有一点值得注意是在乘法教学後，学童使用加法策略（连加法、两两相加法、重复相加法与分堆相加法）的比率仍高达。进一步分析统计後，发现学童中仅用加法策略来解题

28、的有，此证据显示教学後仍有二成多的学童无法以乘法来解决乘法问题。二、问题类型将学童在教学前、後，对三种不同类型的乘法问题所使用的解题策略，整理、统计如表4-3：表4-3 学童教学前、後使用各种解题策略来解决3类乘法问题之次数统计表问题类型解题 使用策略 次数（）等组型问题直积型问题比较型问题总计图画式直接表徵教学前148（）15（）102（）265（）教学後143（）7（）74（）224（）节奏式数数（含全数、跳数）教学前83（）32（）45（）160（）教学後14（）6（）9（）29（）连加法教学前734（）277（）318（）1329（）教学後529（）131（）250（）910（）两两相加法教学前136（）28（）50（）214（）教学後37（）10（）25（）72（）重复相加法教学前39（）4（）3（）46（）教学後18（）4（）4（）26（）分堆相加法（含折半相加法）教学前96（）94（）16（）206（）教学後10（）12（）7（）29（）直接乘法教学前77（）25（）44（）146（）教学後1143（）434（）308（）1885（）先乘再加法教学前0000教学後16（）10（）2（）28（）接续乘法表之序列乘法教学前0000教学後2（）2（）1（）5（）二堆乘法教学前1（）001（）教学後49（）21（）16（）86（）