高中数学人教A版必修第一册第四章《任意角》教案.docx

1、高中数学人教A版必修第一册第四章任意角教案5.1.1 任意角教学设计教学目标1通过阅读章引言，了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系，了解学习三角函数的必要性；2了解任意角以及象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角，发展数学抽象素养；3掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法教学重难点教学重点：将0到360范围的角扩充到任意角；终边相同的角教学难点：任意角概念的建构；“090的角”、“第一象限角”、“锐角”、“小于90的角”这些概念之间的关系课前准备PPT课件教学过程（一）整体感知问题1：请同学们先观察章头图并阅读第五章章引言，再回答如下问题：（1）本章将要学习的函数是什

2、么？（2）这种函数主要可以解决我们实际生活中的哪类问题？你能举出具体例子吗？（3）你能简单说说以前研究函数的过程与方法吗？预设的师生活动：学生独立阅读教科书，再回答上述问题预设答案：（1）本章将要学习的函数是三角函数；（2）三角函数可以用来刻画现实生活中的一些周期现象，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、潮汐等；（3）研究函数的一般思路是：先给出函数的定义，通过定义作出图象，再由图象研究性质，最后是函数的应用设计意图：明确本章研究内容、目的、简单的过程和方法，为本章的研究指明方向（二）新知探究1任意角的概念、运算引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动

3、是这类现象的代表图1问题2：如图1，上的点以为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点的位置变化呢？预设的师生活动：学生独立思考，并回答问题（链接Geogebra动画）预设答案：通过角的变化进行刻画说明：“刻画”这个词用在问题2中虽然比较准确，但学生可能不能理解它的含义，因此，我们可以用信息技术（如Geogebra）将这种旋转的过程体现出来，尤其是将线段用鲜艳的颜色突显出来，学生自然就会想到点的运动可以看成是由线段的运动带动点的运动（其实就是射线的运动带动了点的运动），由此让学生可以理解，这种“刻画”就是“描述”“反映”等，另外，主要让学生可以发现圆周上点的运动与角的关系设计意图：通过具体问题引出本

4、节课的研究主题角（版书）问题3：我们以前所学角都在0360的范围内，生活中有超出0360角的例子吗？请你举例说明预设的师生活动：学生独立思考，并举手回答问题预设答案：例如，体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”（如图2）；如果要将钟表调快一个半小时，那么分针就会顺时针旋转超过360（如图） 追问1：这些角的不同，体现在哪几个方面？预设答案：两个方面，一是大小；二是方向设计意图：一方面加强数学与我们现实生活的联系，说明学习数学是有用的；另一方面，学生在用语言描述这些超出0360角的时候，会发现用静态角的定义不再适合，让他们体会到：要想说清楚这些角，有必要将角的范围进行拓展，而且需要从

5、动态的角度重新定义角追问2：假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？从几个方向描述角？预设的师生活动：学生独立思考，并举手回答问题预设答案：逆时针旋转；分针会旋转450（链接Geogebra动画）假如校准前如图（1），校准后应该为图（2）设计意图：通过这个具体的例子让学生理解：要想说清楚一个角，包括两个方面，一是旋转方向；二是旋转量追问3：以上问题中对角的描述的共性是什么？预设的答案：都要说清楚角的大小及旋转方向问题4：请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段前，再回答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种定义

6、方法和分类办法是与之前的哪个知识进行类比的？预设的师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题预设答案：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，因此，角可以分为正角、负角、零角这种定义方法和分类办法都是与实数进行类比的设计意图：明确了通过推广以后角的定义，知道了角是“转”出来的，关键是对旋转方向的量化可以通过类比实数，用符号表示方向练习1：你能分别作出210、-150、750、-660吗？预设的师生活动：学生作图，教师用Geogebra展示动画作图过程预设答案：如图3（1）（2）（3）（4）设计意图：

7、熟悉正角、负角的定义，理解“符号”与“方向”之间的关系，从数到形的认识追问1：你知道什么是两角相等？两角相加又是怎样规定的？预设的师生活动：学生回答预设答案：如果两角的旋转方向相同且旋转量相等，就称两角相等；规定：把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是+设计意图：定义了一个具有数量特征的数学概念之后，紧接着需要研究的就是两个这种数学对象之间的关系以及运算问题追问2：你知道什么是互为相反角？两角怎样相减？预设的师生活动：学生回答预设答案：如果两角的旋转方向不同且旋转量相等，就称两角互为相反角；类比实数减法，我们有=+（）设计意图：类比实数，得到相反角的定义及两个任意角之间的减法运算练习2：你能用

8、作图的方式反映出30与-30；30+120与150；30-120与-90的关系吗？预设的师生活动：学生分别作图并说明预设答案：如图5（1）（2）（3）追问：对于一般的呢，你能类比实数给出相应说明吗？预设答案：对于一般的，如果，则0；如果=，则=0；如果，则0从图形上看，就是把角的终边旋转角（若0，则顺时针旋转；若0，则逆时针旋转；若=0，则不作旋转），这时终边所对应的角是设计意图：通过具体例子加强学生对相等角、相反角、角的加法、减法的理解，并能推广到一般情形，这里体现了具体与抽象、特殊与一般的数学思想方法2象限角问题5：在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置是如何规定的？根据其终边位置的不同

9、，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？预设的师生活动：学生互相交流后，再回答预设答案：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合；根据角终边所在象限，将角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角；在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律设计意图：让学生明确在直角坐标系中讨论角需要有一个统一的标准在这个统一前提下，才能对象限角进行定义另外，终边落在坐标轴上是一种“边界”状态，因此规定它不属于任何一个象限更方便这样讨论角的好处就是：在同一“参照系”下，可以使角的讨论得到简化，由此还能使角的终边位置“周而复始”现象得到有效表示练习3：教材第

10、171页第1、2、3题预设的师生活动：由学生逐题给出答案预设答案：1锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角是终边落在y轴非负半轴上的角，终边落在y轴非负半轴上的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角2三，三，五3（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角设计意图：检验学生对象限角的理解情况3终边相同的角问题6：在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么与32角终边重合的角还有哪些？有多少个？它们与32角有什么关系？能不能用集合的形式将它们表达出来？将32推广到一般角，结论应该是什么？预设的师生活动：教师演示（链

11、接Geogebra动画），学生观察并思考后，再举手回答预设答案：还有392、328、688等等；有无数个；相差360的整数倍；32k360，kZ；k360，kZ；设计意图：通过动画演示与回答问题，使学生明确：（1）终边相同的角不一定相等；（2）终边相同的角有无数个，这些角有“始边、终边都相同”的共同特征；（3）这无数多个终边相同的角在数量上都是相差360的整数倍例1 在0360范围内，找出与95012角终边相同的角，并判定它是第几象限角预设的师生活动：先由学生独立计算，再回答追问：与95012角终边相同的角都有什么共同点？预设答案：相差360的整数倍；与95012角终边相同的角可以写成9501

12、2k360，kZ，当k=3时，12948，它是第二象限角设计意图：熟悉终边相同的角的表示，并会在0360范围内找出与已知角终边相同的角，判定其为第几象限角，为以后证明恒等式、化简及利用诱导公式求三角函数的值等奠定基础例2 写出终边在y轴上的角的集合预设的师生活动：学生先独立完成，再相互交流追问：这些角终边在几条射线上？终边落在每条射线上的角如何表示？这两条射线上的角都相差多少度？能不能用一个集合表示这所有的角？预设答案：两条；y轴正、负半轴上的角的集合分别为90k360，kZ、270k360，kZ；相差180的整数倍；90k180，kZ设计意图：此题是终边在坐标轴上的角的表示应引导学生体会用集

13、合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式另外，分析终边与y轴的正半轴、负半轴分别重合的两个角的集合的联系，可以简化集合的表示，实质是“终边组成一条直线”的代数解释：“两个集合中的元素相差180的整数倍”设计意图：让学生熟悉简化角的集合的表示方法例3 写出终边在直线上的角的集合中适合不等式360720的元素有哪些？预设的师生活动：由学生独立完成后，让学生代表进行展示追问：在求出角之前，你能判断满足条件角的个数吗？判断的根据是什么？预设答案：六个；所求角的范围包含了三周；S=45k180，kZ；315、135、45、225、405、585设计意图：此题主要是巩固终边相同的角的表示

14、为了使学生顺利完成相应的集合运算，可以先让学生用日常语言描述一下集合的特征（三）归纳小结问题5：通过本节课的学习，你能说出本章将要学习什么内容？其作用是什么？其基本的研究方法是什么？本节课关于角的概念出现了几个定义？分别是怎样规定的？你能从数与形两个角度进行描述吗？能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容？预设的师生活动：学生自主总结，展示交流预设答案：三角函数；刻画周期现象；与其它基本初等函数一样，先抽象出定义，再由定义作出图象，观察图象研究性质，最后是其初步应用；角的概念主要是任意角、象限角、终边相同的角，规定：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的

15、角叫做负角如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限就称角为第几象限角在直角坐标系中，将角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S=|=+k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和从形上看，终边相同的角就是“终边旋转整数周回到原来的位置”设计意图：帮助学生梳理基本知识，提升数学抽象素养（四）布置作业（1）分别写出终边在第一、二、三、四象限的角的集合；（2）预习5.1.2弧度制的内容；（3）第175页习题5.1复习巩固1、2（五）目标检测设计1写出终边在轴与坐标轴上的角的集合2写出与下列各角度终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式720360的元素（教科书第171页练习第5题）：（1）130318；（2）225设计意图：检验学生对任意角、终边相同角和象限角的理解情况参考答案：1k180，kZ；k90，kZ；终边在轴上的角相差180的整数倍，而终边在坐标轴上的角相差90的整数倍2（1）130318k360，kZ，49642，13642，22318；（2）225k360，kZ，585，225，135