高中数学必修15知识点总结.docx

1、高中数学必修15知识点总结高中数学必修15知识点总结【篇一：高中数学必修15知识点总结】按住 ctrl 键单击鼠标左打开配套名师教学视频动画播放 必修 1 数学知识点 第一章、 集合与函数概念 1.1.1、 集合 1、 把研究的对象统称为元素， 把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素： 确定性、 互异性、 无序性。2、 只要构成两个集合的元素是一样的， 就称这两个集合相等。3、 常见集合： 正整数集合：*n 或?n ， 整数集合： z ， 有理数集合： q ， 实数集合： r . 4、 集合的表示方法： 列举法、 描述法. 1.1.2、 集合间的基本关系 1、 一般地， 对于两个集合 a、

2、b， 如果集合 a 中任意一个元素都是集合 b 中的元素， 则称集合 a 是集合 b 的子集。记作ba ?. 2、 如果集合ba ?， 但存在元素bx?， 且ax?， 则称集合 a 是集合 b 的真子集. 记作： a b. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作： ? .并规定： 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合 a 中含有 n 个元素， 则集合 a 有n2 个子集. 1.1.3、 集合间的基本运算 1、 一般地， 由所有属于集合 a 或集合 b 的元素组成的集合， 称为集合 a 与 b 的并集. 记作：2、 一般地， 由属于集合 a 且属于集合 b 的所有元素组成的集合， 称为 a

3、 与 b 的交集. 记作：bba ?a ?. . 3、 全集、 补集？ |x x,uc auxu?且 1.2.1、 函数的概念 1、 设 a、 b 是非空的数集， 如果按照某种确定的对应关系 f ， 使对于集合 a 中的任意一个数 x ， 在集合 b 中都有惟一确定的数 ? ? xfbaf?:2、 一个函数的构成要素为： 定义域、 对应关系、 值域. 如果两个函数的定义域相同， 并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. 1.2.2、 函数的表示法 和它对应， 那么就称为集合 a到集合 b 的一个函数， 记作：? ?xaxfy?,. 1、 函数的三种表示方法： 解析法、 图象法、 列表法. 1

4、.3.1、 单调性与最大（小） 值 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解： 设? b,axx,21?且21xx ?， 则：? ?x? ?x21ff?= 1.3.2、 奇偶性 1、 一般地， 如果对于函数 ? ? xf的定义域内任意一个 x ， 都有 ? ? xfxf?， 那么就称函数 ? ? xf为偶函数.偶函数图象关于 y 轴对称. 2、 一般地， 如果对于函数 ? ? xf的定义域内任意一个 x ， 都有 ? ? xfxf?， 那么就称函数 ? ? xf为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、 基本初等函数（ ） 2.1.1、 指数与指数幂的运算 1、 一般地， 如果axn?， 那

5、么 x 叫做a 的 n 次方根。其中?nnn, 1. 2、 当 n 为奇数时，aann?； 当 n 为偶数时，aann?. 3、 我们规定： mnmnaa? ? 1, 0*?mnnma； ? 01?naann； 4、 运算性质： ?qsraaaasrsr?, 0； ? ?qsraaarssr?, 0； ?qrbabaabrrr?, 0, 0. 2.1.2、 指数函数及其性质 1、 记住图象：? 1, 0?aaayx 2.2.1、 对数与对数运算 1、xnnaax?log； 2、aana?log. 3、01log?a，1log?aa. 4、 当0, 0, 1, 0?nmaa时： ?nmmnaaa

6、logloglog?； nmnmaaalogloglog?； mnmanaloglog?. 5、 换底公式：abbccalogloglog? ? 0, 1, 0, 1, 0?bccaa. 6、abbalog1log? ? 2.2.2、 对数函数及其性质 ? 1, 0, 1, 0?bbaa. 1、 记住图象：? 1, 0log?aaxya 2.3、 幂函数 1、 几种幂函数的图象： 第三章、 函数的应用 3.1.1、 方程的根与函数的零点 1、 方程 ? ?0?xf有实根 ? 函数? ? xfy ?的图象与 x 轴有交点 ? 函数? ? xfy ?有零点. 2、 性质： 如果函数? ? xfy

7、?在区间? ba, 上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有 ? ? ?b0?faf， 那么，函数? ? xfy ?在区间? ba,内有零点， 即存在? b,ac?， 使得 ? ?0?cf， 这个c 也就是方程 ? ?0?xf的根. 3.1.2、 用二分法求方程的近似解 1、 掌握二分法. 3.2.1、 几类不同增长的函数模型 3.2.2、 函数模型的应用举例 1、 解决问题的常规方法： 先画散点图， 再用适当的函数拟合， 最后检验. 必修 2 数学知识点 1、 空间几何体的结构 常见的多面体有： 棱柱、 棱锥、 棱台； 常见的旋转体有： 圆柱、 圆锥、 圆台、 球。棱柱： 有两个面互相平行，

8、其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面 体叫做棱柱。棱台： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面与截面之间的部分， 这样的多面体叫做棱台。2、 空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影， 中心投影的投影线交于一点； 把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。3、 空间几何体的表面积与体积 圆柱侧面积；lrs? ?2侧面 圆锥侧面积：lrs? ?侧面 圆台侧面积：lrlrs?侧面 体积公式： hsv?柱体；hsv?31锥体； ?hssssv下下上上台体?31 球的表面积和体积： 32344?rv

9、rs?球球，. 第二章： 点、 直线、 平面之间的位置关系 1、 公理 1： 如果一条直线上两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内。2、 公理 2： 过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面。3、 公理 3： 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线。4、 公理 4： 平行于同一条直线的两条直线平行. 5、 定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补。6、 线线位置关系： 平行、 相交、 异面。7、 线面位置关系： 直线在平面内、 直线和平面平行、 直线和平面相交。8、 面面位置关系： 平行、 相交。9、 线面平行： 判定： 平面

10、外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行。性质： 一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。10、 面面平行： 判定： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行。性质： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交， 那么它们的交线平行。11、 线面垂直： 定义： 如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线， 那么就说这条直线和这个平面垂直。判定： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直。性质： 垂直于同一个平面的两条直线平行。12、 面面垂直： 定义： 两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，

11、就说这两个平面互相垂直。判定： 一个平面经过另一个平面的一条垂线， 则这两个平面垂直。性质： 两个平面互相垂直， 则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。第三章： 直线与方程 1、 倾斜角与斜率：1212tanxxyyk? 2、 直线方程： 点斜式：?00xxkyy? 斜截式：bkxy? 两点式：121121xxxxyyyy? 一般式：0?cbyax 3、 对于直线： 222111:,:bxkylbxkyl?有： ?212121/lbbkkl； 1l 和2l 相交12kk?； 1l 和2l 重合?2121bbkk； 12121?kkll. 4、 对于直线： 0:, 0:22221111?

12、cybxalcybxal有： ?1221122121/lcbcbbabal； 1l 和2l 相交1221baba?； 1l 和2l 重合?12211221cbcbbaba； 0212121?bbaall. 5、 两点间距离公式： ?21221221yyxxpp? 6、 点到直线距离公式： 2200bacbyaxd? 第四章： 圆与方程 1、 圆的方程： 标准方程： ?222rbyax? 一般方程：022?feydxyx. 2、 两圆位置关系：21ood ? 外离：rrdrrrrrrrddrdd?； ； ?； . 外切：相交：rr?； 内切：内含：3、 空间中两点间距离公式： ?21221221

13、221zzyyxxpp? 必修 3 数学知识点 第一章： 算法 1、 算法三种语言： 自然语言、 流程图、 程序语言； 2、 算法的三种基本结构： 顺序结构、 选择结构、 循环结构 3、 流程图中的图框： 起止框、 输入输出框、 处理框、 判断框、 流程线等规范表示方法； 4、 循环结构中常见的两种结构： 当型循环结构、 直到型循环结构 5、 基本算法语句： 赋值语句： = （有时也用 ） 输入输出语句： input print 条件语句： if then else end if 循环语句： do 语句 do until end while 语句 while wend 算法案例： 辗转相除法

14、同余思想 第二章： 统计 1、 抽样方法： 简单随机抽样（总体个数较少） 系统抽样（总体个数较多） 分层抽样（总体中差异明显） 注意： 在 n 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本， 每个个体被抽到的机会（概率） 均为nn。2、 总体分布的估计： 一表二图： 频率分布表 数据详实 频率分布直方图 分布直观 频率分布折线图 便于观察总体分布趋势 注： 总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。茎叶图： 茎叶图适用于数据较少的情况， 从中便于看出数据的分布， 以及中位数、 众位数等。个位数为叶， 十位数为茎， 右侧数据按照从小到大书写， 相同的药重复写。3、 总体特征数的估计： xxxxx?；

15、 平均数：nn?321取值为n xxx,21?的频率分别为nppp,21?， 则其平均数为nnpxpxpx?2211； 注意： 频率分布表计算平均数要取组中值。方差与标准差： 一组样本数据n xxx,21? 方差：212)(1?in?nixxs； 标准差：21)(1?in?nixxs 注： 方差与标准差越小， 说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平； 方差与标准差反映数据的稳定水平。线性回归方程 变量之间的两类关系： 函数关系与相关关系； 制作散点图， 判断线性相关关系 线性回归方程：abxy?（最小二乘法） 122i1niiinix ynxybxnxaybx? 注意： 线性回归直线经过定

16、点),(yx。第三章： 概率 1、 随机事件及其概率： 事件： 试验的每一种可能的结果， 用大写英文字母表示； 必然事件、 不可能事件、 随机事件的特点； 随机事件 a 的概率：1)(0 ,)(?apnmap； 2、 古典概型： 基本事件： 一次试验中可能出现的每一个基本结果； 古典概型的特点： 所有的基本事件只有有限个； 每个基本事件都是等可能发生。古典概型概率计算公式： 一次试验的等可能基本事件共有 n 个， 事件 a 包含了其中的 m 个基本事件， 则事件a 发生的概率nmap?)(。3、 几何概型： 几何概型的特点： 所有的基本事件是无限个； 每个基本事件都是等可能发生。几何概型概率计

17、算公式：的测度的测度ddap?)(； 其中测度根据题目确定， 一般为线段、 角度、 面积、 体积等。4、 互斥事件： 不能同时发生的两个事件称为互斥事件； 如果事件aaa,21?n任意两个都是互斥事件， 则称事件naaa,21?彼此互斥。如果事件 a， b 互斥， 那么事件 a+b 发生的概率， 等于事件 a， b 发生的概率的和， 即：)()()(bpapbap? 如果事件naaa,21?彼此互斥， 则有： )()()()(2121nnapapapaaap? 对立事件： 两个互斥事件中必有一个要发生， 则称这两个事件为对立事件。事件 a 的对立事件记作 a )(1)(, 1)()(apapa

18、pap? 对立事件一定是互斥事件， 互斥事件未必是对立事件。必修 4 数学知识点 第一章、 三角函数 1.1.1、 任意角 1、 正角 、 负 角 、 零角 、 象限角 的概念. 2、 与角? 终边相同的角的集合： ?zkk?,2 ?. 1.1.2、 弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角 . l?. 2、 r3、 弧长公式：rrn?l?180. 4、 扇形面积公式：lrrn?s213602?. 1.2.1、 任意角的三角函数 1、 设? 是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点 ? yxp ,， 那么： xyxy?tan,cos,sin. 2、 设点 ?00, yxa

19、为角? 终边上任意一点， 那么： （设2020yxr?） ry0sin?，rx0cos?，00tanxy?. 3、 4、 诱导公式一： ?sin，?cos，?tan在四个象限的符号和三角函数线的画法. ?.tan2tan,cos2cos,sin2sin?k?k?k?（其中：zk ?） 5、 特殊角 0 ， 30 ， 45 ， 60 ， 90 ， 180 ， 270 的三角函数值. ? 6? 4? 3? ?sincos tan 1.2.2、 同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系：1cossin22?. 2、 商数关系：?cossintan?. 1. 3、 三角函数的诱导公式 1、 诱导公式二

20、： ?.tantan,coscos,sinsin? 2、 诱导公式三： ?.tantan,coscos,sinsin? 3、 诱导公式四： ?.tantan,coscos,sinsin? 4、 诱导公式五： .sin2cos,cos2sin? 5、 诱导公式六： .sin2cos,cos2sin? 1. 4. 1、 正弦、 余弦函数的图象 1、 记住正弦、 余弦函数图象： 2、 能够对照图象讲出正弦、 余弦函数的相关性质： 定义域、 值域、 最大最小值、 对称轴、 对称中心、 奇偶性、单调性、 周期性. 3、 会用五点法作图. 1. 4. 2、 正弦、 余弦函数的性质 1、 周 期函数定义：

21、对于函数 ? ? xf， 如果存在一个非零常数 t， 使得当 x 取定义域内的每一个值时， 都有? ? xftxf?， 那么函数 ? ? xf就叫做周期函数， 非零常数 t 叫做这个函数的周期. 1. 4. 3、 正切函数的图象与性质 1、 记住正切函数的图象： 2、 能够对照图象讲出正切函数的相关性质： 定义域、 值域、 对称中心、 奇偶性、 单调性、 周期性. 1. 5、 函数? ?x?aysin的图象 1、 能够讲出函数xysin?的图象和函数? b?xay?sin的图象之间的平移伸缩变换关系. 2、 对于函数： ? 0, 0sin?abxay有： 振幅 a， 周期?2?t， 初相? ，

22、 相位? ?x， 频率?2?1?tf. 1. 6、 三角函数模型的简单应用 1、 要求熟悉课本例题. 第二章、 平面向量 2.1.1、 向量的物理背景与概念 1、 了解四种常见向量： 力、 位移、 速度、 加速度. 2、 既有大小又有方向的量叫做向量. 2.1.2、 向量的几何表示 1、 带有方向的线段叫做有向线段， 有向线段包含三个要素： 起点、 方向、 长度. 2、 向量 ab 的大小， 也就是向量 ab 的长度（或称模）， 记作 ab ； 长度为零的向量叫做零向量； 长度等于 1个单位的向量叫做单位向量. 3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（ 或共线向量） . 规定： 零向量与任

23、意向量平行. 2. 1. 3、 相等向量与共线向量 1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 2. 2. 1、 向量加法运算及其几何意义 1、 三角 形法则和平行四边形法则. 2、 ba ? ba ?. 2. 2. 2、 向量减法运算及其几何意义 1、 与 a 长度相等方向相反的向量叫做a 的相反向量. 2. 2. 3、 向量数乘运算及其几何意义 1、 规定： 实数? 与向量a 的积是一个向量， 这种运算叫做向量的数乘. 记作：a?， 它的长度和方向规定如下： aa?, 当0?时, a?的方向与 a 的方向相同； 当0?时, a?的方向与 a 的方向相反. 2、 平面向量共线定理： 向量

24、? 2. 3. 1、 平面向量基本定理 ? 0?aa与b 共线， 当且仅当有唯一一个实数? ， 使ab?. 1、 平面向量基本定理： 如果21,ee是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内任一向量a ， 有且只有一对实数21,?， 使2211eea?. 2. 3. 2、 平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ? yxjyi xa,?. 2. 3. 3、 平面向量的坐标运算 1、 设?2211,yxbyxa?， 则： ?2121,yyxxba?， ?2121,yyxxba?， ?11, yx?a? ?， 1221/yxyxba?. 2、 设 ? ?,b?2211,yxyxa， 则： ?1

25、212,yyxxab?. 2. 3. 4、 平面向量共线的坐标表示 1、 设 ? ?,b?332211,yxcyxyxa， 则 线段 ab 中点坐标为?222121,yyxx?， abc 的重心坐标为? 2. 4. 1、 平面向量数量积的物理背景及其含义 ?33321321,yyyxxx?. 1、 ?cosbaba?. 2、 a 在b 方向上的投影为：?cosa. 3、 22aa ?. 4、 2aa ?. 5、 0?baba. 2. 4. 2、 平面向量数量积的坐标表示、 模、 夹角 1、 设?2211,yxbyxa?， 则： 2121yyxxba? 2121yxa? 02121?yyxxba

26、 2、 设 ? ?,b?2211,yxyxa， 则： ?212212yyxxab?. 2. 5. 1、 平面几何中的向量方法 2. 5. 2、 向量在物理中的应用举例 第三章、 三角恒等变换 3. 1. 1、 两角差的余弦公式 1、?sinsincoscoscos? 2、 记住 15 的三角函数值： ? ?sin ?cos ?tan 12? 426? 426? 32 ? 3. 1. 2、 两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式 1、?sinsincoscoscos? 2、?sincoscossinsin? 3、?sincoscossinsin? 4、?tan?tan1tantan?tan?. 5

27、、?tan?tan1tantan?tan?. 3. 1. 3、 二倍角的正弦、 余弦、 正切公式 ?cossin22sin?1、?， 变形：?2?sincossin21?. 2、?222sincoscos? 1cos22? ?2sin21 ?， 变形 1：22?cos1cos2?， 变形 2：22?cos1sin2?. 3、?2?2tan1tan2tan?. 3. 2、 简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、 平方降次. 必修 5 数学知识点 第一章： 解三角形 1、 正弦定理： a?rccbba2sinsinsin2、 余弦定理： ?. .cos2,cos2,cos2222222222cabbacbaccababccba? .2cos,2cos,2cos222222222abcbacacbcabbcacba? 3、 三角形面积公式： 1?bacabccabsabcsin21sin21sin2? 第二章： 数列 1、 数列中n a 与n s 之间的关系： ?n?.1,1,11时当时，当ssnsannn 2、 等差数列： 定义： 如果一个数列从第 2 项起， 每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列。通项公式：dnaan) 1?(1? 求和公式： ?22