排列组合的基本理论和公式.docx

1、排列组合的基本理论和公式排列组 合的基本理论和 公式排列与元 素的顺序有关,组合与顺序无关.如 231与 213是两个排列 , 2+3+1的和 与 2+1+3的和是一个组合.(一 两 个基本原理是排 列和组合的基础(1加法原理:做一件事,完成它可以 有 n 类 办法,在第一类办法中有 m1种不 同的方法,在第二类 办法中有 m2种不 同的方法, ,在第 n 类办 法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N =m1+m2+m3+mn 种 不同方法.(2乘法原理:做一件事 ,完成它需要分成 n 个步骤,做 第一步有 m1种不同的方法 ,做第二步有 m2种不同的方法,做 第 n 步有 mn

2、种不 同的方法,那 么完成这件事共有 N =m1m2m3mn种不同的方法. 这里要注 意区分两个原理,要做一件事, 完成它若是有 n 类办法,是 分类问题,第 一类中的方法都是独立的,因此 用加法原理;做一件事,需 要分 n 个步骤 ,步与步之间是连续的,只有将 分成的若干个互相联系的步 骤,依次相继 完成,这件事才算完成,因此用 乘法原理.这样完成 一件事的分“类”和“步”是有 本质区别的,因此也将两个 原理区分开来 .(二 排 列和排列数(1排列:从 n 个不同元 素中,任取 m(mn个元素,按照一定 的顺序 排成一列,叫 做从 n 个不同元素中取 出 m 个元 素的一个排列.从排列的 意

3、义可知,如果两个排列相同, 不仅这两个排列的元素必须 完全相同,而 且排列的顺序必须完全相同,这 就告诉了我们如何判断两个 排列是否相同 的方法.(2排列数公式:从 n 个 不同元素中取出 m(mn个元素的所有 排列 当 m =n 时,为全排 列 Pnn=n(n-1(n-2321=n !(三 组 合和组合数(1组合:从 n 个 不同元素中, 任 取 m(m n个元 素并成一组, 叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个组合.从组合的 定义 知,如果两个组合中的元素 完全相同,不管元素的顺序 如何,都是相 同的组合;只有当两个组合中的 元素不完全相同时,才是不 同的组合.(2组合数:从

4、n 个不同 元素中取出 m(mn个元素的所有组合 的个这里要注 意排列和组合的区别和联系 , 从 n 个不同元素中 , 任取 m(mn 个元素,“按 照一定的顺序排成一列”与“不 管怎样的顺序并成一组”这 是有本质区别 的.一、排 列组合部分是中 学数学中的难点之 一原因在于(1从千差万别的实际问 题中抽象出几种特定的数学模型 ,需要较强的 抽象思维能力 ;(2限制条件有时比较隐 晦,需要我们对问题中的关键性 词 (特别是逻 辑关联词和量 词 准确理解;(3计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理 的计算方案时需 要的思维量较 大;(4计算方案是否正确,往往不可用直观 方法来检验,要求我们

5、搞清概 念、原理,并 具有较强的 分析能力 。二、两 个基本计数原理 及应用(1加法原理和分类计数 法1.加法原理2.加法原理的集合形式3.分类的要求每一类中 的每一种方法都可以独立地完成 此任务;两类不同办法中的 具体方法,互 不相同 (即分类 不重 ;完成此任 务的任何一种方法,都属于 某一类 (即分类不漏 (2乘法原理和分步计数 法1.乘法原理2.合理分步的要求任何一步 的一种方法都不能完成此任务, 必须且只须连续完成 这 n 步 才能完成此任 务;各步计数相互独立;只要有 一步中所采取的方法不同, 则对应的完成 此事的方法也不同编辑本 段 例题 分析 排列 组合 思维 方法选讲1.首先

6、明确任 务的意义例 1. 从 1、 2、 3、 20这二十个数中任取三个不 同的数组成 等差 数列 ,这样的 不同等差数列有 _个。分析:首 先要把复杂的生活背景或其它数 学背景转化为一个明确的排 列组合问题。设 a,b,c 成等差, 2b=a+c, 可 知 b 由 a,c 决定,又 2b 是偶数, a,c 同奇或同偶,即:分 别从 1, 3, 5, 19或 2, 4, 6, 8, 20这十个数中选出两个数进行 排列,由此就可确定 等差数列, C (2,10 *2*P(2,2,因而本题 为 180。例 2. 某城市有 4条东西街道和 6条南北的街道 , 街道之间的间距相同 , 如图。若规定 只

7、能向东或向北两个方向沿图中 路线前进,则从 M 到 N 有多 少种不同的走 法 ?分析:对 实际背景的分析可以逐层深入(一 从 M 到 N 必须向上走三步,向右走 五步,共走八步。(二每 一步是向上还是向右,决定了不 同的走法。(三事 实上,当把向上的步骤决定后, 剩下的步骤只能向右。从而,任 务可叙述为:从八个步骤中选出 哪三步是向上走,就可以确 定走法数, 本题 答案为:=56。2.分析是分类 还是分步,是排 列还是组合注意加法 原理与乘法原理的特点,分析是 分类还是分步,是排列还是 组合例 3.在一块并排 的 10垄田地中 ,选择二垄分别种植 A , B 两种作物, 每种种植一垄, 为

8、有利于作物生长, 要求 A , B 两种作物的间隔不少 于 6垄 , 不同的选法共 有 _种。分析:条件中“要 求 A 、 B 两种作物的间隔不少 于 6垄 ”这个条件不容 易用一个包含 排列数,组合数的式子表示,因 而采取分类的方法。第一类:A 在第一 垄, B 有 3种选择;第二类:A 在第二 垄, B 有 2种选择;第三类:A 在第三 垄, B 有一种选择,同 理 A 、 B 位置互换 , 共 12种。例 4. 从 6双不同颜色的手套中任 取 4只, 其中恰好有 一双同色的取法 有 _。(A240 (B180 (C120 (D60分析:显 然本题应分步解决。(一 从 6双中选出一双同色的

9、手套, 有 6种方法;(二从 剩下的十只手套中任选一只, 有 10种方法。(三从 除前所涉及的两双手套之外的八 只手套中任选一只, 有 8种 方法;(四由 于选取与顺序无关,因(二(三中的选法重复一次,因 而共 240种。例 5. 身高互不相同的 6个人排 成 2横行 3纵列, 在第 一行的每一个人 都比他同列的 身后的人个子矮,则所有不同的 排法种数为 _。分析:每 一纵列中的两人只要选定,则他 们只有一种站位方法,因而 每一纵列的排 队方法只与人的选法有关系,共 有三纵列,从而有 =90种。 例 6.在 11名工人中, 有 5人只 能当钳工, 4人只能当车工,另 外 2人能当钳工也 能当车

10、工。现从 11人中选出 4人当钳工, 4人当车工 ,问共 有多少种不同 的选法 ?分析:采 用加法原理首先要做到分类不重 不漏,如何做到这一点?分 类的标准必须 前后统一。以两个全 能的工人为分类的对象,考虑以 他们当中有几个去当钳工为 分类标准。第一类:这两个人都去当钳工, 有 10种;第二类:这两人有一个去当钳工, 有 100种;第三类:这两人都不去当钳工, 有 75种。因而共 有 185种。例 7.现有印 着 0, l , 3, 5, 7, 9的六张卡片,如果允 许 9可 以作 6用,那么从中 任意抽出三张可以组成多少个不 同的三位数 ?分析 :有同学认为只要 把 0, l , 3, 5

11、, 7, 9的排法数乘以 2即为所求 , 但实际上抽出 的三个数中有 9的话才可能 用 6替换,因而必须分类。抽出的三 数含 0, 含 9, 有 32种方法;抽出的三 数含 0不含 9,有 24种 方法;抽出的三 数含 9不含 0,有 72种 方法;抽出的三 数不含 9也不含 0,有 24种方法。因此共 有 32+24+72+24=152种方法。例 8.停车场划一 排 12个停车位 置,今有 8辆车需要停放,要 求空车 位连在一起, 不同的停车方法是 _种。分析:把 空车位看成一个元素, 和 8辆车 共九个元素排列,因而共有 362880种停车方法。3.特殊优先特殊元素 ,优先处理;特殊位置,

12、优先考 虑例 9.六人站成一 排,求(1甲不在排头,乙不在 排尾的排列数(2甲不在排头,乙不在 排尾,且甲乙不相邻的排法数分析:(1先考虑排头,排尾,但这两个要求相 互有影响,因而考虑 分类。第一类:乙在排头,有 p(5,5种 站法。第二类:乙不在排头,当然他也不能在排 尾,有 4X4XP(4,4种 站法, 共 p(5,5+4X4XP(4,4种站法。(2第一类:甲在排尾 ,乙在排头,有 P(4,4种方法。第二类:甲在排尾,乙不在排头, 有 3XP(4,4种方法。第三类:乙在排头,甲不在排头, 有 4XP(4,4种方法。第四类:甲不在排尾,乙不在排头, 有 P(3,3XP(4,4种方法。共 P(

13、4,4+3XP(4,4+4XP(4,4+P(3,3XP(4,4=312种。例 10.对某件产品的 6件不同正 品和 4件不同次品进行一一测 试,至 区分出所有次 品为止。若所有次品恰好在第五 次测试时被全部发现,则这 样的测试方法 有多少种可能 ?分析:本题意指第五次 测试的产品一定是次品,并且是最后一个次品 , 因而第五次测 试应算是特殊位置了,分步完成 。第一步:第五次测试的有 C(4.1种可能;第二步:前四次有一件正品有 C(6.1中可能。第三步:前四次有 P(4.4种可能 。 共有 种可能。4.捆绑与插空例 11. 8人排成一队(1甲乙必须相邻 (2甲乙不相邻(3甲乙必须相邻且与丙 不

14、相邻 (4甲乙 必须相邻,丙丁必须相邻 (5甲乙不相邻,丙丁不 相邻分析:(1甲乙必须相邻,就是把甲乙 捆绑 (甲乙可交换 和 7人排 列 P(7.7*2(2甲乙不相邻, P(8.8-P(7.7*2。(3甲乙必须相邻且与 丙不相邻,先求甲乙必须相邻且 与丙相邻 P(6.6*2*2甲乙必须 相邻且与丙不相邻 P(7.7*2-P(6.6*2*2(4甲乙必须相邻,丙 丁必须相邻 P(6.6*2*2(5甲乙不相邻,丙丁 不相邻, P(8.8-P(7.7*2*2+P(6.6*2*2 例 12. 某人射 击 8枪,命中 4枪,恰好有三枪 连续命中,有多少种不 同的情况 ?分析 : 连续命中的三枪与单 独命

15、中的一枪不能相邻 ,因而这是一个 插空问题。另 外没有命中的之间没有区别,不 必计数。即在四发空枪之间 形成的 5个空 中选出 2个的排列,即 P(5.2。例 13. 马路上有编号为 l，2，3，10 十个路灯，为节约用电又 看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只， 在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有多少种? 分析：即关掉的灯不能相邻，也不能在两端。又因为灯与灯之间没有 区别，因而问题为在 7 盏亮着的灯形成的不包含两端的 6 个空中选出 3 个 空放置熄灭的灯。 共 C(6.3=20 种方法。 5 间接计数法 .(1排除法 例 14. 三行三列共

16、九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形? 分析：有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。 所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数， 共种。 例 15正方体 8 个顶点中取出 4 个，可组成多少个四面体? 分析：所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数， 共 C(8.4-12=70-12=58 个。 例 16. l，2，3，9 中取出两个分别作为对数的底数和真数，可 组成多少个不同数值的对数? 分析：由于底数不能为 1。 （1）当 1 选上时，1 必为真数， 有一种情况。 （2）当不选 1 时，从 2-9 中任取两个分别作为底数，真数，共，其 中 log2 为

17、底 4=log3 为底 9，log4 为底 2=log9 为底 3, log2 为底 3=log4 为底 9, log3 为底 2=log9 为底 4. 因而一共有 53 个。 (3补上一个阶段，转化为熟悉的问题 例 17. 六人排成一排，要求甲在乙的前面，(不一定相邻，共有多少 种不同的方法? 如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢? 分析：（一）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称， 具有相同的排法数。因而有=360 种。 （二）先考虑六人全排列；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序 站位，因而前面的排法数重复了种， 共=120 种。 例 185 男 4 女排成一排，要求男生必须按从

18、高到矮的顺序，共有多 少种不同的方法? 分析：首先不考虑男生的站位要求，共 P(9.9种；男生从左至右按从 高到矮的顺序，只有一种站法，因而上述站法重复了次。因而有 =9876=3024 种。 若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法， 同理也有 3024 种，综上，有 6048 种。 例 19. 三个相同的红球和两个不同的白球排成一行，共有多少种不同 的方法? 分析：先认为三个红球互不相同，共种方法。而由于三个红球所占位 置相同的情况下，共有变化，因而共=20 种。 6 挡板的使用 例 2010 个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同 的分配方法? 分析： 10 个名额看成

19、十个元素， 把 在这十个元素之间形成的九个空中， 选出七个位置放置档板，则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而 共 36 种。 注意排列组合的区别与联系： 7 注意排列组合的区别与联系 ： 所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；同样，组合如补充 一个阶段(排序可转化为排列问题。 例 21. 从 0，l，2，9 中取出 2 个偶数数字，3 个奇数数字，可 组成多少个无重复数字的五位数? 分析：先选后排。另外还要考虑特殊元素 0 的选取。 （一）两个选出的偶数含 0，则有种。 （二）两个选出的偶数字不含 0，则有种。 例 22. 电梯有 7 位乘客，在 10 层楼房的每一层停留，如果三位

20、乘客从 同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有 多少种不同的下楼方法? 分析：（一）先把 7 位乘客分成 3 人，2 人，一人，一人四组，有种。 （二）选择 10 层中的四层下楼有种。 共有种。 例 23. 用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位数， (1可组成多少个不同的四位数? (2可组成多少个不同的四位偶数? (3可组成多少个能被 3 整除的四位数? (4将(1中的四位数按从小到大的顺序排成一数列， 问第 85 项是什么? 分析：（1）有个。 （2）分为两类：0 在末位，则有种：0 不在末位，则有种。 共+种。 （3）先把四个相加能被 3 整除的

21、四个数从小到大列举出来，即先选 0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它们排列出来的数一定可以被 3 整除，再排列，有：4(+=96 种。 （4）首位为 1 的有=60 个。 前两位为 20 的有=12 个。 前两位为 21 的有=12 个。 因而第 85 项是前两位为 23 的最小数，即为 2301。 8 分组问题 例 24. 6 本不同的书 (1 分给甲乙丙三人，每人两本，有多少种不同的分法? (2 分成三堆，每堆两本，有多少种不同的分法？ (3 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本，有多少种不同的分 法？ (4 甲一本，乙两本，丙三本，有多少种

22、不同的分法? (5 分给甲乙丙三人，其中一人一本，一人两本，第三人三本，有多 少种不同的分法? 分析：（1）有中。 （2）即在（1）的基础上除去顺序，有种。 （3）有种。由于这是不平均分组，因而不包含顺序。 （4）有种。同（3），原因是甲，乙，丙持有量确定。 （5）有种。 例 25. 6 人分乘两辆不同的车，每车最多乘 4 人，则不同的乘车方法 为_。 分析：（一）考虑先把 6 人分成 2 人和 4 人，3 人和 3 人各两组。 第一类：平均分成 3 人一组，有种方法。 第二类：分成 2 人，4 人各一组，有种方法。 （二）再考虑分别上两辆不同的车。 综合（一）（二），有种。 例 26. 5 名学生分配到 4 个不同的科技小组参加活动，每个科技小组 至少有一名学生参加，则分配方法共有_种. 分析：（一）先把 5 个学生分成二人，一人，一人，一人各一组。 其中涉及到平均分成四组，有 C（5，3）种分组方法。 可以看成 5 个 元素三个板不空的隔板法 （二）再考虑分配到四个不同的科技小组，有 A(4,4种， 由（一）（二）可知，共=240 种。 在八卦中，亦运用到了排列组合