中考数学基础题型提分讲练专题22以特殊的平行四边形为背景的证明与计算doc.docx

1、中考数学基础题型提分讲练专题22以特殊的平行四边形为背景的证明与计算doc专题 22 以特殊的平行四边形为背景的证明与计算考点分析【例 1】（2020安徽初三） （已知：如图所示的一张矩形纸片点 C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD边于点 E，交 BC边于点ABCD（ ADAB），将纸片折叠一次，使点F，分别连结 AF 和 CEA 与（1）求证：四边形 AFCE是菱形；（2）若 AE=10cm， ABF 的面积为 24cm2，求 ABF 的周长；（3）在线段 AC上是否存在一点 P，使得 2AE2=ACAP？若存在，请说明点 P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由【答案】 (1) 证明

2、见解析；（ 2） 24cm；（ 3）存在，过 E 作 EPAD 交 AC于 P，则 P 就是所求的点，证明见解析.【解析】解：（ 1）四边形 ABCD是矩形，ADBC， EAO=FCO，由折叠的性质可得： OA=OC，ACEF，在 AOE和 COF中，EAO FCO OA OC ，AOE COF AOE COF（ ASA），AE=CF，四边形 AFCE是平行四边形，ACEF，四边形 AFCE是菱形；（2）四边形 AFCE是菱形，AF=AE=10cm，四边形 ABCD是矩形， B=90，12SABF=AB? BF=24cm，2AB? BF=48（ cm2），2 2 ）2 2 2 2AB +BF

3、=（ AB+BF -2AB? BF=（ AB+BF） - 248=AF =100（ cm），AB+BF=14（ cm） ABF 的周长为： AB+BF+AF=14+10=24（ cm）（3）证明：过 E 作 EPAD 交 AC于 P，则 P 就是所求的点当顶点 A 与 C 重合时，折痕 EF 垂直平分 AC，OA=OC， AOE=COF=90，在平行四边形 ABCD中， ADBC， EAO=FCO， AOE COF，OE=OF四边形 AFCE是菱形 AOE=90，又 EAO=EAP，由作法得 AEP=90， AOE AEP，AEAO2AE，则 AE=AO? AP，AP四边形AFCE是菱形，AO

4、 1 AC，2AE2= 1 AC? AP，22AE2=AC? AP【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题） ；菱形的判定；矩形的性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，掌握相关性质定理，正确推理论证是解题关键【例 2】（2019江苏泰州中学附属初中初三月考）如图，正方形 ABCD的边长为 6，把一个含 30的直角三角形 BEF放在正方形上，其中 FBE30， BEF90， BE BC，绕 B 点转动 FBE，在旋转过程中，（1）如图 1，当 F 点落在边 AD上时，求 EDC 的度数；（2）如图 2，设 EF 与边 AD交于点 M， FE的延长线交 DC于 G，当 AM 2 时，求 EG的长；（

5、3）如图 3，设 EF 与边 AD交于点 N，当 ta nECD 1 时，求 NED 的面积3【答案】（ 1）15；（2） 3；（ 3） 185【解析】解：（ 1）如图 1 中，作 EHBC 于 H，EMCD 于 M则四边形 EMCH是矩形四边形 ABCD是正方形，BA BCCD， ABC BCD90，BC BE，AB BECD，BF BF在 RtBFA 和 RtBFE 中， ，AB BERtBFA RtBFE（ HL）， ABF EBF30， ABC90， EBC30，EH MC 1 BE 1 CD，2 2DM CM，EMCD，ED EC， BCE 1 （180 30） 75，2 EDC E

6、CD15（2）如图 2 中，连接 BM、 BGAM 2，DM ADAM 4，由（ 1）可知 BMA BME， BGE BGC，AM EM2， EG CG，设 EG CG x，则 DG 6 x2 2 2在 RtDMG中， MG DG+DM，2 2 2（ 2+x） （ 6 x） +4 ，EG 3（3）如图 3 中，连接 BN，延长 FE 交 CD于 G，连接 BGAN NE， EG CG，BE BC，BG垂直平分 CE， ECG+BCG90， GBC+ECB90， ECD GCB，tan GBCtan ECD1 ，CG 1，3BC3CG 1BC 2，3CD 6，DG CDCG 4，设 AN ENy

7、，则 DN 6 y，在 RtDNG中，（ 6y） 2+42（ 2+y） 2，解得： y 3，AN NE3， DN 3， NG 5，S NED3? S 3134185DNG525【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题考点集训1（2020陕西初三期中）问题：如图，在等边三角形ABC内有一点 P，且 PA 2， PB=3， PC 1，6求 BPC的度数和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是： 将 BPC绕点 B 逆时针旋转60，画出旋转

8、后的图形 ( 如图 ) ，连接 PP，可得 PPB是等边三角形，而 PPA 又是直角三角形 ( 由勾股定理的逆定理可证 ) ，可得 APB，所以 BPC APB，还可证得 ABP 是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为，问题得到解决（1）根据李明同学的思路填空：APB， BPC APB， 等边三角形 ABC的边长为（2）探究并解决下列问题：如图，在正方形ABCD内有一点 P，且 PA 5 ， PB2 ， PC1. 求 BPC的度数和正方形 ABCD的边长【答案】（ 1）APB150， BPC APB150， 等边三角形 ABC的边长为 7 ；（2）BPC135，正方形 ABCD的边长为

9、 5 .【解析】（1）等边 ABC， ABC=60，将 BPC绕点 B 逆时针旋转 60得出 ABP，AP=CP=1，BP=BP= 3 ， PBC=PBA， APB=BPC， PBC+ABP=ABC=60， ABP+ABP=ABC=60， BPP是等边三角形，PP= 3 ， BPP=60，AP=1， AP=2，AP 2+PP 2=AP2， APP=90， BPC=APB=90+60=150，过点 B 作 BMAP，交 AP的延长线于点 M，3 MPB=30， BM= ，3由勾股定理得： PM= ，AM=1+3 = ，522由勾股定理得： AB= AM 2 BM 2 = 7 ，故答案为： 150

10、， 7 （2）将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 90得到 AEB，与（ 1）类似：可得： AE=PC=1， BE=BP= 2 ， BPC=AEB， ABE=PBC， EBP=EBA+ABP=ABC=90，1 BEP= （180 - 90） =45，2由勾股定理得： EP=2，AE=1， AP= 5 ， EP=2，AE2+PE2=AP2， AEP=90， BPC=AEB=90+45=135，过点 B 作 BFAE，交 AE 的延长线于点 F； FEB=45，FE=BF=1，AF=2；在 RtABF 中，由勾股定理，得AB=5 ； BPC=135，正方形边长为5 答： BPC的度数是135，正方形

11、ABCD的边长是5 【点睛】本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含 30 度角的 直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键2（2019云南初三月考）如图，矩形 ABCD中， AB4， AD 3， E 是边 AB上一点，将 CBE 沿直线 CE对折，得到 CFE，连接DF（1）当 D、 E、F 三点共线时，证明： DECD；（2）当 BE 1 时，求 CDF 的面积；（3）若射线 DF交线段 AB 于点 P，求 BP 的最大值【答案】（ 1）见解析；（ 2） 24 ；（ 3） 4 75【解

12、析】证明：（ 1）四边形 ABCD是矩形AB CD4， AD BC 3，ABCD， DCE CEB CBE翻折得到 CFE FEC CEB DCE FECDE CD（2）如图 1，延长 EF 交 CD的延长线于点 G，四边形 ABCD是矩形AB CD4， AD BC 3，ABCD， DCE CEB CBE翻折得到 CFE FEC CEB， CFBC 3，EF BE1， CFE 90 DCE FEC， CFG90CG EG，GF GEEF CG1222在 RtCGF中， CGCF +GF，22，CG 9+（ CG 1）解得： CG5 CDF与 CGF分别以 CD、CG为底时，高相等SVCDFCD

13、4CG5SVCGFSCDF 4 SCGF 413 4 245525（3）如图 2，过点 C 作 CHDP 于点 H，连接 CP，CDAB CDP APD，且 A CHD90 ADP HCDCD CHDH，DP AD APCHCF， CF BCAD 3CH3当点 H 与点 F 重合时，CH最大， DH最小， AP最小， BP最大，此时，在 ADP 与 HCDAPD CDPACHD 90 AD CH ADP HCD（ AAS）CD DP4， AP DFAP DP 2AD 2 7BP 的最大值为 47 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知矩形的性质、勾股定理及相似三角形的判定

14、与性质3（2019江苏初二期末）如图 1，正方形 ABCD的边长为 4，对角线 AC、 BD交于点 M（1）直接写出AM=；（2） P 是射线AM上的一点， Q是 AP的中点，设 PQ=xAP=， AQ=；以 PQ为对角线作正方形，设所作正方形与ABD公共部分的面积为S，用含 x 的代数式表示S，并写出相应的 x 的取值范围 ( 直接写出，不需要写过程)【答案】（ 1） 2 2 ；（ 2）2x， x； Sx22 2x (0 x 2 2 ) 【解析】解：（ 1）正方形 ABCD的边长为 4，对角线 AC2AB2 42 ，12 2 又 AMAC2故答案为： 22 （2）Q是 AP的中点，设 PQ=

15、x，AP=2PQ=2x， AQ=x故答案为： 2x； x如图：以 PQ为对角线作正方形， GQM=FQM=45正方形 ABCD对角线 AC、 BD交于点 M， FMQ=GMQ=90， FMQ和 GMQ均为等腰直角三角形，FM=QM=MGQM=AM AQ=2 2x，S1FG? QM12 2 2 x x ，22Sx22 2x ，x0依题意得： ，22 x00x2 2 ，综上所述： S x2 2 2x (0 x2 2 ) ，【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角解答本题要充分利用等腰直角三角形性质解答4（

16、2019江苏初二期末） （1）如图 1，已知正方形 ABCD，点 M和 N分别是边 BC， CD上的点，且 BM=CN，连接AM和BN，交于点P猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，将图（1）中的 APB 绕着点B 逆时针旋转90o，得到 APB，延长AP交AP于点E，试判断四边形BPEP的形状，并说明理由【答案】（ 1）AMBN，证明见解析； （ 2）四边形 BPEP是正方形，理由见解析 .【解析】（1）AMBN证明：四边形 ABCD是正方形，AB=BC， ABM=BCN=90BM=CN， ABM BCN BAM=CBN CBN+ABN=90， ABN+BAM=90， AP

17、B=90AMBN（2）四边形 BPEP是正方形 .APB 是 APB绕着点 B 逆时针旋转 90o 所得，BP= BP, PBP=90 o .又由（ 1）结论可知 APB=APB=90， BPE=90.所以四边形 BPEP是矩形 .又因为 BP= BP, 所以四边形 BPEP是正方形 .【点睛】此题主要考查特殊平行四边形的性质与判定，解题的关键是熟知正方形的性质与判定.5（2020山东初三期末） 如图，正方形的边在正方形的边上，连接，过点A作 ，ABCDCDECGFCEDGAH DG交于点连接，其中AF交于点BGHHFAFECM（1）求证： AHF为等腰直角三角形（2）若 AB 3，EC 5，

18、求 EM的长【答案】（ 1）见解析；（ 2） EM 54【解析】证明：（ 1）四边形 ABCD，四边形 ECGF都是正方形DA BC，AD CD，FG CG， B CGF90AD BC，AH DG，四边形 AHGD是平行四边形AH DG，AD HGCD，CD HG， ECG CGF90， FG CG， DCG HGF（ SAS），DG HF， HFG HGDAH HF， HGD+ DGF90， HFG+ DGF90DG HF，且 AH DG，AH HF，且 AH HF AHF为等腰直角三角形（2） AB 3， EC5，AD CD3， DE 2， EF 5AD EF， EMEF5，且 DE 2D

19、MAD3EM 54【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例等知识点，综合性较强难度大灵活运用这些知识进行推理是本题的关键6（2020深圳市龙岗区石芽岭学校初三月考）如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C 落在点 A处，点D 落在点E 处，直线MN交BC于点M，交AD于点N（1）求证： CM=CN；（2）若 CMN的面积与 CDN的面积比为3： 1，求的值【答案】 (1) 证明见解析 ;(2) 2 3【解析】解：（ 1）证明：由折叠的性质可得： ANM=CNM，四边形 ABCD是矩形， ADBC ANM=CMN CMN=CNM

20、 CM=CN（2）过点 N 作 NHBC 于点 H，则四边形 NHCD是矩形HC=DN， NH=DC CMN的面积与 CDN的面积比为 3：1， SVCMN1 MC gNHMC23 SVCDN1NDDN gNH2MC=3ND=3HC MH=2HC设 DN=x，则 HC=x， MH=2x， CM=3x=CN在 RtCDN中， DC222 2x ，CNDNHN=2 2x 在 RtMNH中， MNMH 2HN 22 3x ， MN2 3x23 DFx7（2020河南初三） 如下图 1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形 ABCD的顶点 A 重合，三角板的一边交CD 于点

21、F 另一边交 CB 的延长线于点 G （1）观察猜想：线段 EF 与线段 EG 的数量关系是 ；（2）探究证明： 如图 2，移动三角板， 使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变，（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（ 2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB = a、 BCb ，求EF的值EG【答案】（ 1） EF EG ；（ 2）成立，证明过程见解析； （ 3） EF b .EG a【解析】（1） EF EG ，理由如下：ED EB由直角三角板

22、和正方形的性质得D EBC BED GEF 90FED BEF GEB BEF 90DEBG 90FEDGEBFED GEB在 FED 和 GEB 中， ED EBD EBG 90FED GEB (ASA)EF EG ；（2）成立，证明如下：如图，过点 E 分别作 EH BC, EI CD ，垂足分别为 H , I ，则四边形 EHCI 是矩形HEI 90FEI HEF 90 , GEH HEF 90FEI GEH由正方形对角线的性质得， AC 为 BCD 的角平分线则EI EHFEI GEH在 FEI 和 GEH 中， EI EHFIE GHE 90FEI GEH ( ASA)EF EG ；

23、（3）如图，过点E 分别作 EMBC, EN CD ，垂足分别为 M , N同（ 2）可知，FENGEM由长方形性质得：DENC90 , ABCEMC 90 , AD BC bEN /AD , EM /ABCEN CAD , CEM CABENCE,EMCEADCA ABCAENEMENADbAD，即EMABaABFEN GEM在 FEN 和 GEM 中，FNE GME 90FEN GEMEF EN b.EG EM a【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、三角形全等的判定定理与性质、相似三角形的判定定理与性质，较难的是题（ 3），通过作辅助线，构造两个相似三角形是解题关键.8（2020江苏初二期中）如图，长方形纸片ABCD中， AB 8，将纸片折叠，使顶点B 落在边 AD上的 E 点处，折痕的一端 G点在边 BC上（1）如图 1，当折痕的另一端F 在 AB 边上且 AE 4