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1、外研社版学术英语综合Unit6译文第六单元 数学Text A应用数学的新风向菲利普 J戴维斯请将以下句子补充完整，“这是一个 _的时代？”你会怎么填？每个时代的作家不仅会在空格处填下自己的时代，还会选择过去的某个时代。 1947 年，诗人 W.H. 奥登曾经写下，这是一个“焦虑的时代”。大约在 1970年，拥有占星信仰的作词人认为这是“宝瓶座的时代”，充满爱与人类的善意。而最近，心理医生丹尼尔 弗里曼写下这是一个 “偏执的时代 ”，到处充满了怀疑与监视器。我们对这个问题的回答，取决于我们所经历的事情。我认为，这是一个计算机的时代， 或者更加严格地说， 这是一个数学化的时代。计算机占据主导地位，

2、 引领着这个时代的运行机制， 而在每一个计算机程序中都会存在某种数学结构。 在当前这个时代， 应用数学化给我们每个人都带来或好或坏或一般的影响。而这些影响都需要一段时间才会显现。如今数学的应用范围之广，以至于不只在一个科系里存在数学授课。CAD/CAM（计算机辅助设计 /计算机辅助制造） 已经被运用到牙医学之中。 那么，牙医学的发展是否需要工程学的才能呢？工程学是否也要教授牙医技术？应用数学家或者计算机科学家的基本训练课程应该有哪些呢？这确实需要人们思考。在我的职业生涯中， 有相当一段时间是在所谓的 “应用数学的传统科系 ”度过的。这里的 “传统 ”指的是这个科系强调的是作为物理现象模型的数学

3、，或者在较小的程度上，通过数据来为社会现象塑造模型。 “传统 ”这个词也可以体现在这个科系中所教授的专业课程上。 例如，在我任教的布朗大学， 应用数学系的研究生课程包括生物物理学模型，基因组学，运筹学，推论统计学，动力系统，以及流体动力学。这种设置反映了半个世纪以来的变化， 因为我们的科系曾是非常有名的固体力学研究中心，研究弹力，可塑性，流变学等等。而“传统 ”这个词也可以体现在以下著名的词形变化序列中：描述 预测 比较 再次修补描述但是在另外一种应用数学中运用的是另外一种模型：规定 采用 监管与社会评估 重新制定规定此处有配定式数学的一些简单的例子， 有只含数字的，也有非常复杂的系统：高速公

4、路上的速度限制特殊职业的法定退休年龄足球得分系统决定大学权势等级的运算法则用以决定抵押贷款实施的老的 “分数系统 ”美利坚合众国总统选举系统国家税务系统国家及国际金融系统类似的例子不胜枚举。社会可能采用了数学规定， 但是和牛顿力学相比较， 社会对它的接受度却只是暂时的。但是还有一种数学规定主要以人类的行为为基础， 是具有相当一定数量的职业的产 物，又被美国记者及调 查员 斯蒂 芬 贝 克称之 为 “数 字 精英 ”（ theNumerati ）。那么谁是 “数字精英 ”呢？一个秘密社团吗？不是，他们是数学家，计算机科学家， 工程师，物理学家，经济学家，生物学家，心理学家，语言学家，还有数据挖掘

5、者。 实际上，只要有人有意地设计或者使用演算法从个人的行为中提取模式，不管是个人的还是集体的， 而这种模式又对其个人生活产生了直接影响，这个人就是 “数字精英 ”。当然，这样的描述很模糊，但是我在这里列举几个贝克所写的例子，这个概念就会逐渐清晰起来：一家做姓名识别的公司运用语言学分析就能告诉你 Chang 先生和Tchang，或者 Tchung 先生是否是同一个人。一家公司持有大概 2 亿美国人的购物与生活方式数据。他们从别处购入关于我们的每个小数据，并且再选择性地卖出。另一家公司默默地收集法院裁定， 税收与不动产交易， 出生与死亡通知，并且和其他措施一起， 目的在于推进法律与儿童援助的落实，

6、 促进公共安全与健康保健事业。而还有一家公司根据选民的投票模式特征将其分成十组，用以帮助各政党将独立选举人吸引到他们的宣传车上来。其实一些数据的汇集与分析， 即使是现在，也在自动地悄无声息地在进行着。当我们每天傻傻地坐在屏幕前上网，或者使用信用卡来买一星期的食物的时候，我们都在不断地被人收集数据。 “数字精英 ”所能做到的事情可以是对社会有良性影响以及有用的， 也可能是非常令人担忧甚至是可怕的。 最主要的担心就是失去个人隐私。要想数字化到达这样的程度需要哪些正规地数学知识呢？这个范围涵盖了最简单的到非常高级的知识。从技术层面讲，这里的状况是学习 /计算机统计学的一部分，后者也是应用数学和计算机

7、科学非常热门的一个领域。 正规的有用的知识训练包括以下内容： 在数学方面，有线性代数， 多变量微积分， 优化组合，概率，统计学。如果是计算机科学的层面讲，则包括算法以及数据库理论。诚然，特殊领域的专业知识也是必要的。 在一定程度上，数学的所有应用最终都是一种规定，但是在此我所关心的是数学一旦变成一种规定， 就会开创一种全新的环境， 这和用数学来描述现实实际存在的物质环境，以及数学建模相比，是完全不同的。法国诗人保罗 瓦莱里十分博学， 他曾在 1946 年一篇十分有洞察力的文章中指出，自从意大利物理学家伏特于 1800 年发现了电流，发明了电池之后，科学迈入了一个全新的阶段， 它将会创造和描述一

8、个全新现象， 而不是之前存在的现象。同样地，应用数学迄今为止一直关注早前存在的现象，现在通过 “数字精英 ”的工作，也在创造一个新的， 更社会化的现象。 这进一步论证了社会建构主义者对数学的看法，关于这点，美国著名数学教育家保罗 欧内斯特在他的很多本著作中都有提及。这些年以来，我已经很好地训练了应用数学的学生们， 他们学习得非常快乐，也小有成果，获益匪浅，也加入到 “数字精英 ”之中。在数字化领域可以获得丰厚的报酬，年轻人当然也认识到了这点。 容易进入的工程学也许已经饱和了， 如果继续创造足够大量的清洁能源也可能很困难， 但是开发成功的新数据挖掘者程序确实相对简单。而且我们必须承担由此带来的不

9、少意外的后果。数学是一种适应性很强， 被广泛使用的语言。正因为如此它应该被谨慎对待。未来数学教育的一部分应该是加强对谨慎使用这种语言的教育， 以免我们像暴风雨的奴仆卡列班那般抱怨： “你教给我语言，而我得到的益处只是我知道怎样咒骂。 1”1 译者注：此译文选自梁实秋译莎士比亚全集Text B大学数学教育鲁本 赫什 ,薇拉 约翰斯坦纳如果一个人在大学阶段并不能认识到数学思维及其对科学的重要性， 就不能算是受到过良好的教育。 然而，高校中的大学数学设置却并不以此为目的。 很多学生都必须遵循一个特定顺序，首先修完学习微积分前的必修课程，也就是说，复习高中学过的代数及三角学， 即使大部分学生都止步于此

10、， 并没有继续学习微积分。在那些确实学过微积分的学生中， 大部分都是仅仅因为微积分是医学院或者商学院入学必修的课程而已。 因此，我认为法学院， 医学院或者建筑学院的这种入学先决条件也需重新考量。当我们询问这些学院的教职员 “你希望你的学生学习微积分的哪些知识呢？ ”，他们通常会回复我们， “那不重要！ ”当然，这种“用数学筛选 ”的方法也许是有好处的，可以让学生更加客观，更好地避免偏见或者主观倾向。但是，如果医学院或商学院能够根据更符合其未来的职业方向来对学生的能力与决心进行设置的话， 考核就会更加合理与公平。 例如，大部分的医生都需要具备诊断疾病的能力。 因此，他们需要从病人那里探查病情，

11、去掌握及运用医学研究的成果，进而得出治疗方法，并予以跟进监管。因此，比起微积分知识，语言表达水平、 人际沟通能力， 以及科学兴趣对于想要取得医学成就的人来说要重要得多。 在筛选医学院学生的时候， 我们需要注重的是他们的学习历程档案，早期实习经历， 交代详尽的工作内容记录， 以及审查他们对所选职业的进取心，而用微积分作为筛选标准却是南辕北辙之举。 物理学家或者企业家真正希望使用的数学知识， 如基本统计， 比例和比率的运算， 不论是在本科还是在职业的水平，都可以专门为他们量身设计课程。以下这则广为流传的趣闻不一定真实发生过，但是十分启发人心：一位有些名气的美国数学家刚从国外归来， 正要过海关。美国

12、海关官员询问他在旅行期间都做了什么。 他回答说去参加了一个数学会议。 接着海关人员将他带走扣留，并问了非常多琐碎无趣的问题， 例如他具体去了哪些地方， 做了哪些事情。数学家一直非常紧张地查看手表， 生怕会错过他要换乘的下一班飞机。 最终，当海关人员问他每天都吃了什么的时候， 我们的数学家终于忍不住挥手抗议道， ”你到底为什么要这么对我？ “海关人员笑了笑说， ”啊！现在你终于知道我当年学微积分的滋味了吧！ “也许这位教授终于了解了这个学生的困境。 但是当年的学生们又有谁了解教授心里的滋味？面对只要 ”及格万岁 “又想快点逃离这些无休止的课程的学生们，数学教授们难道都很享受那种逼迫他们学习的滋味

13、吗？美国数学家保罗 哈尔莫斯就此写到：如果一个班的学生都本着这样的心理来上课的话，我真的觉得伤心，失望因为要保证高效又愉悦的学习过程， 第一个先决条件就是好奇心， 如果连这个都没有的话，那一切都无从谈起。这不仅破坏了教学，还破坏了学习，更破坏了学习的所有乐趣。我梦想中的完美大学，到处都是充满着求知好奇心的学生。选择数学课程的那部分学生正是因为想要了解数学而选他们自愿又自由地来找我，让我来传授他们知识。看，这多快乐啊！如果真的存在这样的大学，那我一定会抓住机会。事实一定要如此吗？就没有别的出路了吗？美国教育家与哲学家内尔 诺丁斯就勇于实现这样的梦想。诺丁斯曾担任了 23 年的小学与中学老师以及新

14、泽西公立学校的行政人员， 之后取得博士学位， 在 1977年至 1998 年任斯坦福大学教育学院的教授。她曾任教育学院的代理院长，并且担任过美国教育哲学学会（ Philosophy of Education Society）以及约翰 杜威学会（the John Dewey Society）的前主席。她自己育有十个孩子， 并且开创了一种与众不同的学习方式， 那就是承认学习者在兴趣，天赋，计划，以及期望的多样性。她写道， “我们都非常不情愿面对这样一个事实，那就是人类的兴趣千差万别，很多高智商的人才都只是对数学没有兴趣而已我不知道在这样的强迫会消磨多少人的天赋和兴趣，打击多少人的自信心，让多少人

15、“谈数学色变 ”；我也不清楚又有多少人仍在编造这种设置的合理性， 而我们这种看似乐于助人的举动又会对下一代产生什么样糟糕的后果。 ”我们认为她说的在理，那种学习 ”路径 ”不应该被抬高或者降低， 而是要保持差异性， 所有诚实的工作都能得到应有的尊重与尊严。除此之外，我们也不应该强迫所有的学生像 “数学家一样去思考 ”。更好的方法是，正如诺丁斯说的一样，让他们去学习，按照他们的目的去应用数学。我们应该避免假设所有人都具备所谓的普遍的通用能力， 并且承认智力上的优势也具有多样性。诺丁斯甚至就此写道， “我不认为那些数学很差的学生，不管他们有多么努力，将永远不会明白代数和三角学是怎么回事， 更重要的

16、是， 他们并不因此就是残缺的，低人一等的，或者需要 “数学英雄 ”的拯救。 ”她问道， “如果一个学生的专业是文学，艺术，戏剧，法律，历史，或者社会工作，他为什么要 学习 代数和三角法呢？逐渐认识到向所有学生教授代数和三角法是浪费时间又缺乏周全考虑的。 ”我们应该将注意力更多地放在那些由衷热爱数学的学生身上， 更多地帮助他们。如此一来，诺丁斯认为，我们甚至可以能够让学生 “更深入地了解自己，探讨在不断地获取更多知识的过程中会有的孤独感， 以及那种取得数学成就后带来的由衷的喜悦。 ”我们赞同她的观点，也认为这样的学生应该明白他们的天赋并不比其他人高级，而是不同而已。诺丁斯站在学生的立场上所诉求的

17、也正是哈尔莫斯作为老师所希望的！ 她告诉我们要获得日常生存及有效推理能力所需的数学技能， 并遵循他们自己的兴趣与优势。对此，我们再同意不过。让学生们利用自身不同的兴趣，在不同学科的知识海洋里遨游，正是教育的重要基础。Text C玛雅数字系统约翰 塔巴克玛雅文明发源于尤卡坦半岛附近的中心地带， 也就是现在的墨西哥。 与美索不达米亚流域或者埃及文化相比，玛雅文化因其少量的记载而更少被世人熟知。众所周知，玛雅的书写语言采用的是象形文字， 同时也有成千上万的图书馆藏书。很不幸地是，自从西班牙在 16 世纪初期占领了玛雅之后，他们企图焚烧所有玛雅的图书，并且几乎成功了。 当今仅存的只有多少算是保存完整的

18、四本， 分别是德累斯顿抄本，巴黎抄本，马德里抄本，还有格罗里抄本，但可惜没有一本保存完好。玛雅图书与我们所熟知的图书不同， 它们是类似纸一样材料做成的长卷， 像扇子一样打开合上。 通过长卷的开合读者可以翻页阅读。 在之前四本里面， 内容含有最多数学知识的文本就是德累斯顿抄本， 但可惜的是，第二次世界大战后期它在德国德累斯顿的爆炸中被毁。我们可以从西班牙占领玛雅时期所记录的文本中获得一些关于玛雅的第一手信息，尽管这些文本有时是鼓动人心的成分多于提供信息。 但不管怎样， 早在西班牙入侵的几百年之前， 即在古典时期， 玛雅文化改革最辉煌的时期就已经结束了。古典时期从大约 250 年持续到 900 年

19、，那时玛雅人经历了长时间的极度干旱，不少大城市都荒无人烟了。尽管困难重重， 但因其独特又精密的特性， 玛雅数字系统还是非常值得研究的。玛雅人之所以会开创这样一个精密的数字系统， 很大程度上是源于他们对天文学与历法的兴趣。他们热衷于预测天文现象，例如日、月食现象，同时也尽力确保其历法的准确性。 而玛雅历本身非常复杂， 但至少比同时期任何一种历法都要准确。通常一提到玛雅数字系统，人们就会说它是基于 20 进制的。这当然是不太正确的。因为玛雅人其实保有两种数字系统。一种具有宗教意义，采用的是 20的倍数和 360 的倍数的集合。 尽管这个系统对玛雅人来说非常重要， 但在西班牙的文本中记载当时的玛雅还

20、存在另外一个常用系统。这个 “常用系统 ”就是 20 进制系统，也是我们现在集中探讨的重点。玛雅人会将 19 颗卵石放在表示 1 的那堆里，当加到第 20 颗卵石的时候， 他们就会把第一堆清空， 然后在表示 20 的那堆里增加一颗卵石。 于是，在第一堆里的一颗石头代表的是 1 个单位，在第二堆里的一颗石头代表的是 20 个单位。第三堆里的石头代表 400 个单位 20 * 20=400 如此类推，第四堆的一颗石头代表 8000 个单位（ 8000=20*20*20），正如我们的系统是以 10 次幂来分类的， 玛雅的数字系统普遍是以 20 次幂来算。以20 为基数的数字系统也叫做二十进位系统。玛

21、雅人通过真实的位置计数法在以上提到的第二种系统中或者常用系统中表示数字。在表示 1-19 的符号之外，他们还有表示 0 的数字符号。能够有远见意识到在数学中需要和使用一个表示 “无 ”的符号，这在历史上是十分罕见的。 玛雅人曾经用来表示数字的符号见于在 125 页的示例中。可以看出，表示 0 的是一个椭圆形的符号，类似一个贝壳的形状。其他 19 个符号都是点和线的集合。每条线代表 5，每个点代表 1。这些符号垂直设计，如此一来做加法的话，就是直接把接下来的几个位置的数字相加，如果有必要的话，会进一位。很显然，玛雅人非常擅长这种运算， 仅用几把豆子就可以进行大量的算术。 正是玛雅人的这种高超的数

22、字能力让西班牙殖民者印象深刻（看插图就知道了） 。因为他们的数字系统对所有数字运算都是非常便捷的。玛雅人建立这个数学系统花费了很长一段时间。 令人惊讶的是， 他们的天文计算也是相当准确的。例如他们算出 149 个农历月是 4400 天，这也是他们如何估算出一个农历月是多久。如果我们将 4400 天除以 149 的话，得出的结果就和现代社会中农历的长度是极其相近的。玛雅人对农历月的估算和（现代所知的）准确值之间的误差只有一分钟， 这简直是一样不可思议的成就。 特别是考虑到他们当时并没有现代的测量仪器， 而且没有使用分数进行运算。 目前，没有证据显示玛雅人在他们的 20 进制系统里使用过任何一种分数记法。然而，他们创立的这个系统对于他们当时想要进行的运算显然是非常足够的。