微分中值定理的证明推广以及应用.docx

1、微分中值定理的证明推广以及应用标签:标题篇一：微分中值定理的证明及应用 微分中值定理的证明及应用 摘要： 文章首先介绍了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法，即通过构造辅助函数来达到罗尔定理的条件以便利用罗尔定理来证明其他微分中值定理，并且就用这种方法证明了拉格朗日中值定理和柯西中值定理。然后分类列举微分中值定理在证明等式、不等式、求极限以及在讨论方程根的存在性方面的应用，而且微分中值定理即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理在不同的解题应用方面是各有优劣的，又是相互互补渗透的，因此我们在解题时也要学会综合运用它们。 关键词： 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理

2、辅助函数 我们知道微分中值定理是整个微分学的理论基础，并且它在数学分析中也占有重要地位作用，它也是连接函数与导数的纽带与桥梁，而我们知道函数在某一点的导数是一种局部性质。在实际研究中我们有时需要从函数的整体出发考虑其全局性质，因而正式微分中值定理可以解决这种由局部到全局或者有全局到局部的问题。笔者在学习中借鉴和总结了微分中值定理证明时的一种规律性简明方法，并且简单地讨论了微分中值定理的各种应用。 1. 微分中值定理的证明 1.1对Lagrange中值定理1的简单证明 分析：拉格朗日中值定理的证明要用到罗尔定理，但是定理所给出的已知条件不能够满足罗尔定理条件中的f(a)?f(b). 故此我们需要

3、构造一个新的函数，不妨记为F(x)使它满足罗尔定理的全部条件，为此设 K? f(b)?f(a)b?a 则 f(b)?f(a)?K(b?a) 即 f(b)?Kb?f(a)?Ka （1） 由（1）可构造新函数F(x)?f(x)?Kx, 有题设可知F(x)在a,b上连续，在（a,b）内可导，且F(a)?F(b), 因此F(x)满足罗尔定理的全部条件。所以函数 F(x)?f(x)?Kx , 即我们要构造的函数。证明：构造辅助函数F(x)?f(x)?Kx, 其中K? f(b)?f(a)b?a 根据已知条件和连续函数的性质，我们可以知道F(x)在闭区间a,b上是连续的，在开区间（a,b）内是可导的，并且还

4、有F(a)?F(b), 所以我们可以根据罗尔定理就可以得到函数F(x)在(a,b)内至少存在一点?, 使得 F?(?)?f?(?)?K?0 即f?(?)? f(b)?f(a) b?a , 故证得f(b)?f(a)?f?(?)(b?a). 1.2 对Canchy中值定理1的简单证明 分析：若用Rolle定理证明这个定理，需要构造一个辅助函数并且使它满足Rolle定理的条件，不妨设 K? f(b)?f(a)g(b)?g(a) , 可变形为 f(b)?Kg(b)?f(a)?Kg(a) （2） 由（2）可构造辅助函数L(x)?f(x)?Kg(x), 有题设可知L(x)在a,b上连续，(a,b)内可导且

5、L(a)?L(b), 因而L(x)满足Rolle定理的条件，即L(x)?f(x)?Kg(x)为所要构造的函数。 证明：构造辅助函数L(x)?f(x)?Kg(x), 其中K? f(b)?f(a)g(b)?g(a) 根据提舍得已知条件和连续函数的性质，我们可以知道函数L?x?在闭区间a,b上是连续的，在开区间(a,b)内是可导的，而且还有L(a)?L(b), 所以我们根据Rolle定理就可以知道在(a,b)内一定存在一点?, 可以使得L?(?)?f?(?)?Kg?(?)?0 即 K? f?(?)g?(?) , 故证得 f?(x)g?(x) ? f(b)?f(a)g(b)?g(a) . 2 微分中值

6、定理的应用 2.1 证明等式 例1 假设f(x)在闭区间0,2?上连续，在开区间(0,2?)内可导，并且f(0)?1, 分析：构造辅助函数，转化所证 f?(?)?f(?)cos?0?f?(x)?f(x)cosx?0 ? f?(x)f(x) 积分 ?cosx?0?lnf(x)?sinx?lnc x ?f(x)esin?c. （c为常数） 检验相应条件 令F(x)?f(x)esinx, 则F(0)?1, F(2?)?2, F(?)?3. 可由介值定理在(0,?)内取数a, 使得F(a)?2. 然后在a,2?上使用Rolle定理 证明：构造函数F(x)?f(x)esinx. 则F(x)在0,2?上是

7、连续的，在(0,2?)内是可导的，又F(0)?1, F(?)?3. 则可由介值定理得到，对于m?2必存在a?(0,?), 使得F(a)?m?2. 又因为F(2?)?2, 故可以在a,2?上应用Rolle定理，则必存在 ?(a,2?)?(0,2?). 使得F?(?)?0. 即 f?(?)?f(?)cos?0. 例2 已知函数f(x)在0,1上连续，在（0,1）内可导，并且f(0)=0, f(1)=0, 证： （i）存在?0,1?使得f(?)?1? （）存在两个不同的?1'?2?0,1?, 使得f?(?1)f?(?2)?1 分析：f(?)?1?y?f(x)与y?1?x在（0,1）内有交点?

8、函数 F(x)?f(x)?x?1在（0,1）内有零点? 证明：（）构造函数F(x)?f(x)?x?1 则F(x)在0,1上连续，在（0,1）内可导,并且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,由零点定理得在（0,1）内存在一点?使得F(?)?0即 f(?)?1? ?，1?上分别连续，在?0,?, ?,1?内分别可导，则由（）f(x)在?0,?、Lagrange中值定理得存在?1?0,?、?2?,1?，分别使得 f?(?1)? f(?)?f(0) ?f?(?1)? f(?) ?0f(1)?f(?)1? ? f?(?2)?又f?1?, 故 ?f?(?2)? 1?f(?)1? f?(?1

9、)f?(?2)? 1?1?1? ?1. ?1? 即存在两个不同的?1、?2?0,1?, 使得f?(?1)f?(?2)?1. 2.2 证明不等式 例3 设f为a,b上二阶可导函数，f(a)=f(b)=0, 并存在c?a,b?使得f(c)>0,试证：至少存在一点?a,b?使得f?(?)<0 证明：因为在fa,b上二阶可导，则可知f在a,c、c,b上均二阶可导，由Lagrange中值定理得 存在?a,c?使得f?(?1)? 1存在?c,b?使得f?(?2)? 2而f?(x)在?1,?2?a,b?, 同样推得 f?(?)? tanxx f?(?2)?f?(?1) f?c?f?a?c?af?

10、b?f?c?b?c >0 <0 ?2?1 xsinx <0 ? 例4 证明不等式： ? , x?0, ? ? ?. 2? 证明：构造函数f(x)?sinxtanx?x2, x?0, ? ? ? ?2? 则知f(0)?0并且 f?(x)?sinx?sinxsecx?2x, f?(0)?0?2 f?(x)?cosx?secx?2sinxsecxtanx?0, x?0, ? ? ? 2? 故f?(x)在? ?0, ? ? 上严格递增，即对任意的x?0,?2?2 ? ?有f?(x)?f?(0)?0? , 从而f(x) ?2 在?上严格递增，即对任意的x?0,?, 都有f(x)?sin

11、xtanx?x?f(0)?0. 0,? 2? ? 2? 从而有 tanxx ? xsinx , x?0, ? ? ? ?. 2? 2.3 求极限问题 例5 设f(x)在?,?内可导，且 ?x?c? limf?(x)?e, lim?lim?f(x)?f(x?1)? x?x?x?cx? ? x 求常数c ?x?1? ?x?c?lim?解： lim x?x?cx? ?1? ? c? ?e2c c?x? x lim?f(x)?f(x?1)?limf?(?)?e, 其中x?1?x x? x? 即e2x?e, 从而c? 12 . 2.4 探讨方程根的存在性 例6 设函数f(x)在区间?a,?上连续，并且x

12、数，又f(a)<0, 试证方程f(x)=0在区间?a,a? ? ?a 时f?(x)?m?0, 其中m为常 f?a? ?内有唯一的实根。 m? f?a? 上可应用?m? 证明：由题设可知对函数f(x)在?a,a?则 Lagrange中值定理，篇二：微分中值定理的证明及其应用 微分中值定理的证明及其应用 牛锦波 （数学与计算科学系09专升本班） 指导教师：李超 摘要：微分中值定理在数学分析中具有重要作用，通过它我们可以研究函数的性态。本文主要探讨了微分中值定理及其详尽证明，并揭示了三种中值定理之间的关系以及微分中值定理的求解方法与应用。通过本文的讨论，旨在深刻分析三种中值定理之间的关联以及它

13、们在相关命题中的重要应用。 关键字：微分中值定理、证明、关系、方法、应用 The mid-value theorems of proof and its application NiuJinBo （Department of Mathematics and Computer Science Top-09 classes) Instructor: Li Chao Abstract:：This paper describes the differential mean value theorem and give detailed proof, then revealed the three re

14、lationships between the mean value theorem and the Mean Value Theorem and its solution method in solving problems in the application. Keywords: differential mean value theorem, proof, relation, method, application 1.绪论 在数学分析中，微分中值定理扮演了极其重要的角色。在近几年的数学类硕士研究生考试中，有关微分中值定理的命题也屡见不鲜。因而探究这类问题不仅能使我们对微分中值定理理论

15、有进一步的理解与认识，而且对于我们的解题来说也极有必要。 微分中值定理主要包括：Rolle定理、lagrange定理和cauchy定理。它们是微分学的三个基本定理，也是微分学理论的基础。通过微分中值定理，我们可以研究出函数的性态（单调性，凹凸性等）。这三个定理的共同点是：在一定条件下，可以肯定它们在所给开区间内至少存在某一点，使得所研究的函数在该点具有一定的微分性质。 本文将从四个方面研究微分中值定理。首先将论述并证明这三个中值定理；接着将指出了它们之间的内在联系；进而将继续探讨微分中值定理的求解方法；最后将给出微分中值定理在几个相关命题中的应用。全文大体分为着四个部分，旨在对微分中值定理能有一个更为深刻的探究。 2.微分