三角形的证明讲义.docx

1、三角形的证明讲义小巨人学科教师辅导讲义 学生: 谢仲铖 教师: 赵常巨 日期: 2015/3/14 家长签名： 课 题三角形的证明教学目标1. 能够证明与三角形,线段的垂直平分线，角平分线等有关的性质及判定定理。2. 理解逆命题的概念，会识别互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立。3. 尺规作图等腰三角形，角平分线，线段的垂直平分线。重点、难点1. 重点是探索证明的思路和方法；2. 难点是准确地表达推理证明的过程或相关计算。考点及考试要求本章内容在历年中考中主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，线段的垂直平分线，角平分线的性质。这些内容还常常与三角形全等，相似等内容结合在一起综合考

2、查，主要以证明题的形式出现。教学内容1、两边及其_对应相等的两个三角形全等（SAS）；2、两角及其_对应相等的两个三角形全等（ASA）；3、_对应相等的两个三角形全等（SSS）；4、_及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）；5、全等三角形的对应边_,对应角_。6、有_的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做_，两腰的夹角叫做_，腰与底边的夹角叫做_，_的三角形叫做等边三角形。回顾课本已知：ABC是等腰三角形，AB=AC 求证：B=C (提示：利用三角形全等证明。你能想到哪些方法？)归纳：1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角”）； 推理格式：AB=AC，_（等边对等角） 2、推

3、论（三线合一）： ；推理格式：AB=AC,ADBC, AB=AC, BD=DC, AB=AC,_平分_, BD=DC,AD平分_, _,_平分_, _,1、等腰三角形的两边分别是7 cm和3 cm，则周长为 _ 。2、如图在ABC中，AB = AC，ADAC，BAC = 100。求：1、B的度数。3、如图，已知D =C，A =B，且AE = BF。求证：AD = BC。4、如图，在ABC中，D为AC上一点，并且AB = AD，DB = DC，若C = 29，求A。5.如图，在ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，且DEAB，DFAC。 求证：1 =2。总结一下：1、等腰三角形性质定理：

4、 （简称“等边对等角”）；2、推论（三线合一）： 第二篇章1、 如图，E是ABC内的一点，AB = AC，连接AE、BE、CE，且BE = CE，延长AE，交BC边于点D。求证：ADBC。2、已知：如图，点D,E在三角形ABC的边BC上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE3、已知：如图，在ABC中，B=C,求证：AB=AC （提示：构造两个全等三角形证明）归纳：1、有两个角相等的三角形是_三角形。（简称“等角对等边”） 推理格式：B=C,_(等角对等边)2、反证法证明问题的一般步骤：从结论的 _ 出发，先假设命题的结论 _ ，然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相 _ 的结果，从而证

5、明命题的结论一定成立。这种证明方法称为 _ 。1、用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60。2.如图，在ABC中，AB = AC，DEBC，求证：ADE是等腰三角形。3.如图，在中，ABC的平分线交AC于点D，DEBC。求证：EBD是等腰三角形。4、如图，一艘船从A处出发，以18节的速度向正北航行，经过10时到达B处。分别从A、B望灯塔C，测得NAC=42，NBC=84。求 B处到灯塔C 的距离。5、已知：如图，在三角形ABC中，AB=AC,D是AB上的一点，E是AC延长线上的一点且DB=CE,DE交BC于M.求证：MD=ME.6、用反证法证明：一个三角形中不能有两个直角。回

6、顾课本1、三条边都_的三角形是等边三角形 。2、三个_都相等的三角形是等边三角形 。3、有一个角等于_的等腰三角形是等边三角形。4、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的_。5、直角三角形：有一个角是_的三角形叫做直角三角形。6、勾股定理的逆定理：AB2+AC2=BC2，_=90（ABC是直角三角形）7、互逆命题：在两个命题中，如果一个命题的_和_分别是另一个命题的_和_，那么这两个命题称为_，其中一个命题称为另一个命题的_。8、互逆定理：一个命题是真命题，它的逆命题却_是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为_，其中一个定

7、理称为另一个定理的_。9.斜边和一条_对应相等的两个_三角形全等。（“斜边、直角边”或“_”）1.已知：如图，ABC中，CDAB于D，AC=4，BC=3，DB=。（1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长；（4）求证：ABC是直角三角形.2.、某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，ACB90，AC80米，BC60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？3、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。（1）如果ab=0,那么a=0,b=0；（2）初三（6）班有62位同学；（3）等

8、边对等角；4.、找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它写出来。（1）如果，则（2）全等三角形对应角相等（3）对顶角相等1、直角三角形的两直角边为9、12，则斜边为 ；直角三角形的两边分别为13和 5，则另一条边为 。如果三角形的三边长是6、10、8，则这个三角形是 三角形。2、如图，ABBC，DCBC，E是BC上一点，BAE=DEC=60，AB=3，CE=4，求：AD3.如图，AD是BAC的角平分线，DEAB，DFAC，BD = CD。求证：EB = FC。线段的垂直平分线线段的垂直平分线：垂直且_一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。线段垂直平分线上的_到这条线段两个端点的距离_。定理：到一条

9、线段两个端点距离_的点，在这条线段的_线上。推理格式：AB = AC，_点在线段BC的 _。定理：线段垂直平分线上的_到这条线段两个端点的距离_。推理格式:PCAB，AC=_(点P在线段AB的垂直平分线MN上), =PB教材精读5、已知：如图，在ABC中，设AB、BC的垂直平分线相交于点P，求证：AB，BC，AC的垂直平分线相交于点P，且AP=BP=CP。证明：连接AP、BP、CP，点P在线段AB的垂直平分线上，PA=_（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等）点P在线段BC的垂直平分线上，归纳：三角形三条边的_线相交于_，并且这一点到三个_的距离相等。推理格式：点P是ABC的三条边的

10、垂直平分线的交点， PA=_=_. 教材精读1、已知：如图，OC是AOB的角平分线，点P在OC上，PDOB，PEOA,垂足分别为D，E，求证：PD=PE证明:PDOB，PEOA,垂足分别为D，E， PDO=_=90 OC是AOB的角平分线，归纳：角平分线上的_到这个角的两边的距离_。(证明两条线段相等)推理格式：点P在AOB的角平分线上，PEOA，PDOB，PD= _ 2、已知：如图，点P为AOB内一点，PEOA，PDOB，且PD = PE，求证：OP平分AOB。归纳：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的_，在这个角的平分线上（证明角相等）推理格式：PEOA，PDOB，且PD = PE， 点

11、P平分 。3.如图，在ABC中，AC = BC，C = 90，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E。（1）已知CD = 4cm，求AC的长；（2）求证：AB = AC + CD。4.如右图，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD。求证：AD平分BAC。5、如图，在ABC中，BEAC，ADBC，AD、BE相交于点P，AE = BD。求证：P在ACB的角平分线上。告诉你个秘密1、角平分线上的_到这个角的两边的距离_。(证明两条线段相等)2、在一个角的内部，且到角的两边距离相等的_，在这个角的平分线上.（证明角相等）教材精读1.、已知：点P是ABC的两条角平分线BM

12、、CN的交点，求证：A的平分线经过点P，且PD=PE=PF。 证明：过点P作PEBC于E，PFAC于F，PDAB于D， CN是ABC的角分线，点P为CN上一点， PE=_( ) BM是ABC的角分线，点P为BM上一点， PE=_( )归纳：三角形三条角平分线相交于一_，并且这一点到三角形三条_的距离_。推理格式：点P是ABC的三条角平分线的交点，且PEBC，PFAC，PDAB， PD=_=_. 实践练习：（1）如图4，点P为ABC三条角平分线交点，PDAB，PEBC，PFAC，则PD_PE_PF.（2）如图5，P是AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是_

13、. 图4 图5 7、已知：如图在ABC中，C=90，AD平分BAC，交BC于D，若BC=32，BDCD=97，求：D到AB边的距离.1、三角形三条角平分线相交于一_，并且这一点到三角形三条_的距离_。回顾思考【学习目标】1、在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等。2、发展初步的演绎推理能力，进一步掌握综合法的证明方法，提高用规范的数学语言表达论证过程的能力。复习反馈1、等腰三角形的性质：（边） （角） 三线合一： 2、等边三角形的性质：（边） ；（角） 3、判定等腰三角形的方法有：（边） ；（角） 。4、判定等边三角形的方法有：（边） ；（角

14、） 。5、线段垂直平分线的性质定理： 。逆定理： 。三角形的垂直平分线性质： 。6、角的性质定理： 。逆定理： 。三角形的角平分线性质： 。7、三角形全等的判定方法有： 。8、30锐角的直角三角形的性质： 。9、方法总结：（1）证明线段相等的方法：1）可证明它们所在的两个三角形全等；2）角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；3）等角对等边；4）等腰三角形三线合一的性质；5）中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（2）证明两角相等的方法：1）同角的余角相等；2）平行线性质；3）对顶角相等；4）全等三角形对应角相等；5）等边对等角；6）角平分线的性质定理和逆

15、定理。（3）证明垂直的方法：1）证邻补角相等；2）证和已知直角三角形全等；3）利用等腰三角形的三线合一性质；4）勾股定理的逆定理。（4）等腰三角形的证明：主要用等腰三角形的两腰相等，两底角相等和三线合一性质解题。1、填空：（1）ABC中，ABC=123，最小边BC=4 cm，最长边AB= 。（2）直角三角形两直角边分别是5 cm、12 cm，其斜边上的高是 。（3）若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是 三角形。（4）三角形三边分别为a、b、c，且a2bc=a(bc)，则这个三角形（按边分类）一定是_2、已知：如图，D是ABC的BC边上的中点，DEAC，DFAB，垂足

16、分别是E、F，且DE=DF。 求证：ABC是等腰三角形。3、如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点E，已知BCE的周长为8，ACBC=2. 求AB与BC的长.4、已知，在ABC中，AD垂直平分BC，且CA = CE，点B、D、C、E在同一条直线上。求证： AB + DB = DE1、等腰三角形的底角为15,腰上的高为16,那么腰长为_ _2、如图1，在ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，BCE的周长等于50，则BC的长为 。3、如图2，在ABC中，ACB=90,BE平分ABC，EDAB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于 。图24、 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是_.它是一个_命题。等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是_，这个逆命题是_命题.5、如图，AC平分BAD，CEAB，CFAF，E、F是垂足，且BC = CD。求证：（1）BCEDCF； （2）DF = EB。