不定方程的解法教学资料.docx

1、不定方程的解法教学资料不定方程的解法基本介绍编辑本段不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。2发展历史编辑本段不定方程是数论中最古老的分支之一。古希腊的丢番图早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方

2、程。Diophantus，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为Diophantus方程，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是算术，当中包含了189个问题及其答案，而许多都是不定方程组 （变量的个数大于方程的个数）或不定方程式 （两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。研究不定方程要解决三个问题：判断何时有解。有解时决定解的个数。求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5世纪的 张丘建算经中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。

3、秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？”。设x，y，z分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。3常见类型编辑本段求不定方程的解；判定不定方程是否有解；判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）。4方程相关编辑本段4.1一次不定方程二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c。其中 a，b，c 是整数，ab 0。此方程有整数解的充分必要条件是a、b的最大公约数整除c。若a、b互质，即它们的最大公约数为1，（x0，y0）是所给方程的一个

4、解， 则此方程的解可表为(x=x0-bt，y=y0+at）|t为任意整数。S（2）元一次不定方程的一般形式为a1x1+a2x2+asxs=n0a1，as，n为整数，且a1as0。此方程有整数解的充分必要条件是a1，as的最大公约数整除n。埃拉托塞尼筛法产生的素数普遍公式是一次不定方程公元前300年，古希腊数学家欧几里得就发现了数论的本质是素数，他自己证明了有无穷多个素数，公元前250年古希腊数学家埃拉托塞尼发明了一种筛法：一“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2-N中将不大于N的素数的倍数全部划去即可”。二后来人们将上面的内容等价转换：“如果N是合数，则它有一个因子d满足1dN”。（基

5、础数论13页，U杜德利著，上海科技出版社）.三再将二的内容等价转换：“若自然数N不能被不大于（根号）N的任何素数整除，则N是一个素数”。见（代数学辞典上海教育出版社1985年。屉部贞世朗编。259页）。四上面这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：N=p1m1+a1=p2m2+a2=.=pkmk+ak。其中p1，p2，.，pk表示顺序素数2，3，5，。a0。即N不能是2m+0，3m+0，5m+0，.，pkm+0形。若N2时，xn+yn=zn没有非平凡的整数解 ，即著名的费马大定理 ，历经3个世纪 ，已由英国数学家安德鲁 维尔斯证明完全可以成立。有一些高次方程同样无解：4.5多元高次不

6、定方程多元高次不定方程没有一般的解法，任何一种解法都只能解决一些特殊的不定方程，如利用二次域来讨论一些特殊的不定方程的整数解常用的解法代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；无穷递推法。4.6特殊求解方法一二元一次不定方程（组）定义1. 形如 ax + by = c ( a，b，cZ，a，b不同时为零）的方程称为二元一次不定方程。定理1. 方程 ax +

7、 by = c 有解的充要是 ( a,b ) | c；定理2. 若（ a,b ) = 1，且 x_0，y_0为 ax + by = c 的一个解，则方程的一切解都可以表示成|定理3. n元一次不定方程 a_1x_1 + a_2x_2 + a_nx_n = c，（ a_1，a_2，a_n，cN ）有解的充要条件是：（ a_1，a_2，a_n ) | c.方法与技巧：1解二元一次不定方程通常先判定方程有无解。若有解，可先求 ax + by = c 一个特解，从而写出通解。当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易得其特解为止；2解n元一次不定方程 a_1x

8、_1 + a_2x_2 + a_nx_n = c 时，可先顺次求出 ( a_1，a_2 ) = d_2，（ d_2，a_3 ) = d_3，（ d_(n-1），a_n ) = d_n. 若c不能被 d_n 整除，则方程无解；若c可以被 d_n 整除，则方程有解，作方程组：|求出最后一个方程的一切解，然后把 t_(n-1) 的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，这样下去即可得方程的一切解。3m个n元一次不定方程组成的方程组，其中 m n，可以消去 m-1 个未知数，从而消去了 m-1 个不定方程，将方程组转化为一个 n-m+1 元的一次不定方程。二高次不定方程（组）及其解法1因式分解法：

9、对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；2同余法：如果不定方程 F( x_1，x_2，x_n ) = 0 有整数解，则对于任意 mN，其整数解 ( x_1，x_2，x_n ) 满足 F( x_1，x_2，x_n ) 0 ( modm ），利用这一条件，同余可以作为探究不定方程整数解的一块试金石；3不等式估计法：利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围，再分别求解；4无限递降法：若关于正整数n的命题 P(n) 对某些正整数成立，设 n_0 是使 P(n) 成立的最小正整数，可以推出：存在正整数n，使得 n_1 b 0，（a，b) = 1， 且a，b为一

10、奇一偶。推论：勾股数方程的全部正整数解（x，y的顺序不加区别）可表示为：|其中 a b 0 是互质的奇偶性不同的一对正整数，d是一个整数。勾股数不定方程的整数解的问题主要依据定理来解决。3定义3.方程 x2 - dy2 = 1，4 ( x，yZ，正整数d不是平方数） 是 x2 - dy2 = c 的一种特殊情况，称为沛尔（Pell）方程。这种二元二次方程比较复杂，它们本质上归结为双曲线方程 x2 - dy2 = c 的研究，其中c，d都是整数，d 0 且非平方数，而 c 0。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具体的d可用尝试法求出一组成正整数解。如果上述pell方程有正整数解（x，y），

11、则称使 x + yd0.5 的最小的正整数解为它的最小解。定理4.Pell方程 x2 - dy2 = 1 ( x，yZ，正整数d不是平方数）必有正整数解，且若设它的最小解为（x_1，y_1），则它的全部解可以表示成：|上面的公式也可以写成以下几种形式：|定理5.Pell方程x2 - dy2 = -1 ( x，yZ，正整数d不是平方数）要么无正整数解，要么有无穷多组正整数解，且在后一种情况下，设它的最小解为（x_1，y_1），则它的全部解可以表示为|定理6. （费尔马（Fermat）大定理）方程 xn + yn = zn (n3且为整数）无正整数解。费尔马（Fermat）大定理的证明一直以来是数

12、学界的难题，但是在1994年6月，美国普林斯顿大学的数学教授A.Wiles完全解决了这一难题。至此，这一困扰了人们四百多年的数学难题终于露出了庐山真面目，脱去了其神秘面纱。5相关介绍编辑本段5.1简单例题例1 求11x+15y=7的整数解解法1 将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2 先考察11x+15y=1，通过观察易得11（-4)+15=1，所以11（-47)+15（37)=7，可取x0=-28，y0=21从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定

13、方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式例2 求方程6x+22y=90的非负整数解解 因为（6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45 由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 的一组整数解，从而方程的一组整数解为由定理，可得方程的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由，得15t16，所以只有t=15，t=16两种可能当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3所以原方程的非负整数解是例3 求方程7x+19y=213的所有正整数解分析 这个方程的系数较大，用观察法去求其

14、特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解解 用方程7x+19y=213 的最小系数7除方程的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3T儆*5除此式的两边得2u+5v=3 由观察知u=-1，v=1是方程的一组解将u=-1，v=1代入得y=2y=2代入得x=25于是方程有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明例4 求方程37x+107y=25的整数解解 107=

15、237+33，37=133+4，33=84+1为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-84=37-4-84=37-94=37-9（37-33)=933-837=9（107-237)837=9107-2637=37（-26)+1079由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解于是x0=25（-26)=-650，y0=259=225是方程37x+107y=25的一组整数解所以原方程的一切整数解为例5 某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解 设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. 所

16、以由于7x142，所以x20，并且由上式知5|2(x-1）因为（5，2)=1，所以5|x-1，从而x=1，6，11，16，的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式说明 当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程例6 求方程9x+24y-5z=1000的整数解解 设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000于是原方程可化为用前面的方法可以求得的解为的解为消去t，得大约1500年以前，中国古代数学家张丘建在他编写的张丘建算经里，曾经提出并解决了“百钱买

17、百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例例7 今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解 设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组化简得 15x+9y+z=300 -得 14x+8y=200，即 7x+4y=100解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0x，y，z100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公

18、鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡5.2不定方程与代数几何对于多项式不定方程， 我们相当于求解某个代数簇上的有理点或整点等等。这样， 一个数论问题就转化为某种几何问题。这种观点将数论与代数几何联系起来，是一种重要的数学思想。对于代数曲线来说， 相应的不定方程是否有解的以及是否有无限个解， 都与曲线的亏格密切相关。这就是著名的莫代尔猜想（由法尔廷斯 证明）所包含的内容。亏格零的曲线就是直线和二次曲线， 他们就对应了上述的一次和二次不定方程。亏格1的是椭圆曲线， 它的算术性质和代数几何性质极为丰富。它将数论、复分析、代数几何、表示论等等都联系起来， 是当代数学最重要的研究对象之一。与此相关的是千禧年七大数学难题 之一的BSD猜想。著名的费马大定理的证明也与此相关。5.3进展与学科联系近年来，这个领域更有重要进展。但从整体上来说，对于高于二次的多元不定方程，人们知道得不多。另一方面，不定方程与数学的其他分支如代数数论、代数几何、组合数学等有着紧密的联系，在有限群论和最优设计中也常常提出不定方程的问题，这就使得不定方程这一古老的分支继续吸引着许多数学家的注意，成为数论中重要的研究课题之一。