离散数学课后习题答案左孝凌版1229225640.docx

1、离散数学课后习题答案左孝凌版1229225640习题 1-5（1） 证明：a)(P (P Q) Q(P ( P Q) Q(P P) (P Q)Q(P Q) Q(P Q)QP QQPTTb) P (P Q)P ( PQ)(P P) QT QTc)(P Q) (Q R) (P R) 因为 (P Q) (Q R) (P R)所以 (P Q)(QR)为重言式。d) (a b) (b c) (c a) (a b) (b c) (c a)因为(a b) (b c) (c a) )(a c) b) (c a)(a c) (c a) (b (c a)(a c) (b c) (b a)所以(a b) (b c)

2、 (c a) (a b) (b c) (c a) 为重言式。（2） 证明：a)(P Q) P (P Q)解法 1：设 PQ为 T（1）若 P为 T，则 Q为 T，所以 P Q为 T，故 P (P Q)为 T（2）若 P为 F，则 Q为 F，所以 P Q为 F， P (P Q)为 T命题得证解法 2：. . .设 P(P Q)为 F ，则 P 为 T，(P Q)为 F ，故必有 P 为 T，Q为 F ，所以 P Q为 F。解法 3：(P Q) (P (P Q)( PQ)( P (P Q)( PQ)( P P) ( PQ)T所以 (P Q) P(P Q)b)(P Q) Q PQ设 PQ为 F，则

3、P为 F，且 Q为 F，故 PQ 为 T， (P Q) Q为 F，所以 (P Q)Q P Q。c)(Q (P P) (R(R(P P) RQ设 RQ为 F，则 R为 T，且 Q为 F，又 P P 为 F所以 Q (P P) 为 T，R(P P)为 F所以 R (R (P P) 为 F，所以 (Q (P P) (R(R(P P) 为 F即 (Q (P P) (R(R(P P) RQ成立。（3） 解：a)P Q表示命题“如果 8 是偶数，那么糖果是甜的” 。b) a) 的逆换式 Q P 表示命题“如果糖果是甜的，那么 8 是偶数”。c)a) 的反换式 P Q表示命题“如果 8 不是偶数，那么糖果不

4、是甜的” 。d) a) 的逆反式 Q P 表示命题“如果糖果不是甜的，那么 8 不是偶数”。（4） 解：a)如果天下雨，我不去。设 P：天下雨。 Q：我不去。 PQ逆换式 QP表示命题 : 如果我不去，则天下雨。逆反式 QP 表示命题 : 如果我去，则天不下雨b)仅当你走我将留下。设 S：你走了。 R：我将留下。 RS逆换式 SR表示命题：如果你走了则我将留下。逆反式 SR 表示命题：如果你不走，则我不留下。c)如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。设 E：我不能获得更多帮助。 H：我不能完成这个任务。 EH逆换式 HE表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。逆反式 HE 表示

5、命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5） 试证明 P Q，Q 逻辑蕴含 P。证明：解法 1：本题要求证明 (P Q) Q P,设(P Q) Q为 T，则 (P Q)为 T，Q为 T，故由 的定义，必有 P为 T。所以(P Q) Q P解法 2：由体题可知，即证 (P Q)Q)P 是永真式。(P Q)Q)P(P Q) ( P Q) Q)P(P Q) (P Q) Q) P( P Q) (P Q) Q) P( Q P Q) (QPQ) P( Q P) T) PQ PPQ TT（6） 解：P：我学习 Q：我数学不及格 R ：我热衷于玩扑克。如果我学习，那么我数学不会不及格： PQ如果我不热衷于玩

6、扑克，那么我将学习 : RP但我数学不及格 : Q因此我热衷于玩扑克。 R即本题符号化为： (PQ)( RP)Q R证：证法 1：(P Q)( RP)Q)R ( P Q) (R P) Q) R(PQ)(R P) QR( Q P) ( Q Q) (R R) (R P) Q P RPT. . .所以，论证有效。证法 2：设(PQ)( RP)Q 为 T，则因 Q为 T，(PQ) 为 T，可得 P 为 F，由( RP)为 T，得到 R为 T。故本题论证有效。（7） 解：P： 6是偶数Q：7被2除尽R ：5 是素数如果6 是偶数，则7被 2除不尽PQ或 5 不是素数，或7被 2除尽RQ5 是素数R所以6

7、 是奇数P即本题符号化为： （PQ）（ RQ）RP证：证法1：(P Q)( RQ)R)P( P Q) (RQ) R) P(P Q) (R Q) R) P( PP) (PQ) ( RR) (R Q)(PQ) (R Q)T所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。证法 2：(PQ)( RQ)R 为 T，则有 R为 T，且 RQ 为 T，故 Q为 T，再由 PQ 为 T，得到P 为 T。（ 8） 证明：a)P ( PQ)设 P 为 T，则 P为 F，故 P Q为 Tb)ABC C假定 ABC为 T，则 C为 T。c)C AB B因为 A B B 为永真，所以 C A B B 成立。d) (A B)

8、A B设 (A B)为 T，则 AB 为 F。若 A为 T，B为 F，则 A 为 F，B为 T，故 AB为 T。若 A为 F，B为 T，则 A 为 T，B为 F，故 AB为 T。若 A为 F，B为 F，则 A 为 T，B为 T，故 AB为 T。命题得证。e) A (B C)， DE，(DE) A BC设 A(B C)，D E， (D E) A 为 T，则 DE 为 T，(DE) A为 T，所以 A 为 T又 A(B C)为 T，所以 B C为 T。命题得证。f)(A B) C， D， C D A B设 (A B) C， D， CD为 T，则 D为 T， C D为 T，所以 C为 F又 (A B

9、) C为 T，所以 AB 为 F，所以 A B 为 T。命题得证。（9）解：a)如果他有勇气，他将得胜。P：他有勇气 Q：他将得胜原命题： PQ 逆反式： QP 表示：如果他失败了，说明他没勇气。b)仅当他不累他将得胜。P：他不累 Q：他得胜原命题： QP 逆反式： PQ 表示：如果他累，他将失败。习题 1-6(1)解：a)(P Q) P (P P) Q (T Q)b)(P (Q R) PQ( P (Q R) P Q( P P Q) (Q P Q) ( R P Q)(PQ)(PQ)(P RQ) PQ(P Q)b) P Q ( R P)P Q (R P)(P QR)(P QP)(P QR)F.

10、. .P QR(P Q R)(2)解：a) PP Pb)P Q (P Q)(P Q) (P Q)c)P QP Q(P P) (Q Q)(3)解：P( P Q) P (P Q)TPP(P P)(PP)P(P P)P( P Q)P (P Q)TP P(PP)(P P) P)(P P) P) (P P) P)(4)解：PQ(P Q)(P P) (QQ)(P P) (Q Q) (P P) (QQ)(5)证明：(B C)(B C)B C(B C)(B C)B C(5)解：联结词“”和“”不满足结合律。举例如下：a)给出一组指派： P 为 T， Q为 F，R为 F，则 (P Q) R为 T，P(QR)为

11、F故 (P Q)R P (QR).b)给出一组指派： P 为 T， Q为 F，R为 F，则 (P Q) R为 T， P(QR)为 F故 (P Q) R P (Q R).(7)证明：设变元 P， Q，用连结词 , 作用于 P，Q得到： P，Q， P， Q，P Q，P P，Q Q，Q P。但 P Q Q P，P P Q Q，故实际有：P， Q， P， Q， P Q， P P（ T） （A）用作用于（ A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类） ：P，Q， P， Q，（ P Q）， T ，F， P Q （B）用 作用于（ A）类，得到：PQ，P P F，P Q（ P Q），P （P Q）Q，P （P

12、P） P，QP （PQ），Q Q F，Q （P Q） P，QT Q,PQP Q， P （P Q） Q， P T P,Q（PQ）P， QT Q,（PQ）（ PQ）PQ.因此，（ A）类使用运算后，仍在（ B）类中。对（ B）类使用运算得：P， Q，P，Q， P Q， F ，T，（ P Q），仍在（ B）类中。对（ B）类使用 运算得：P Q，P P F，P Q （P Q），P （P Q） Q，P T P，P F P，P （P Q）Q，Q P （P Q），Q Q F，Q （P Q） P，Q T Q,Q F Q， Q （P Q）P，P Q P Q，P （P Q） Q， P T P, P F P,P

13、（P Q） Q，Q （ P Q） P， Q T Q, Q T Q,Q （P Q） P，（P Q） T （P Q），（P Q） F P Q，（P Q） （P Q） FT F F，T （P Q） P Q. . .F （P Q） （P Q）（PQ）（PQ）PQ.故由（ B）类使用 运算后，结果仍在（ B）中。由上证明： 用 , 两个连结词， 反复作用在两个变元的公式中， 结果只能产生 （ B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故 , 不是功能完备的，更不能是最小联结词组。已证 , 不是最小联结词组，又因为 P Q （ P Q），故任何命题公式中的联结词，如仅用 , 表达，则必可用 , 表达，其逆亦真

14、。故 , 也必不是最小联结词组。(8)证明 ， 和 不是最小联结词组。证明：若 ， 和 是最小联结词，则P （ PP ）P （ PP ）P P (P (P )对所有命题变元指派 T，则等价式左边为 F，右边为 T，与等价表达式矛盾。所以 ，和 不是最小联结词。(9) 证明 , 和 , c 是最小联结词组。证明：因为 , 为最小联结词组，且 P Q P Q所以 , 是功能完备的联结词组，又 , 都不是功能完备的联结词组。所以 , 是最小联结词组。又因为 P Q (P cQ) ，所以 , c 是功能完备的联结词组，又 , c 不是功能完备的 联结词组，所以 , c 是最小联结词组。习题 1-7(1

15、)解：P(PQ)P(PQ)(P P)(PQ)P(PQ)(P(QQ) (PQ)(P Q)(PQ)(PQ)(2)解：a)( PQ)Rd)(PQ)R(PQ)R(PQ)RP QR(P Q)R(P Q) (P Q) ( Q R) ( Q R) (R P) (R P)(PR)(QR)b)P(QR)S)e)( PQ)(PQ)P(QR)S)(PP)(P Q)(QP)(Q Q) P Q RS( P Q) (Q P)(PQ)(P Q) (QR)(Q R)(RS)(R S)(SP)(4) 解：(SP)a)( PQ)(PQ)c)(PQ)(ST)(P Q) (P Q)(PQ)(ST)(PQ) (P Q)(PQ)(PQ

16、S)(PQT)1， 2，3d) (PQ)RPQ= 0(PQ)Rb)Q(PQ)(P Q)R(P Q) (Q Q)(PR)(QR)PQ= 3e)(PQ)(PQ)0， 1，2(P Q)(PQ)(P Q) (P Q)(PQ)(PP)(PQ)(QP)(QQ)c)P( P(Q( QR)(PQ)(QP)P (P (Q (Q R)(3)解：PQR= 0a) P( PQR)1 ， 2， 3,4,5,6,7(P P)(PQ)(PR)=(PQR) ( PQR) ( PQR) (PQR) (PQR)(PQ)(PR)(PQR)(PQR)b) (PQ)(PQ)d)(P(QR) ) ( P( QR)(PQ)(PQ)(P(Q

17、R) (P(Q R)(P Q) (P Q)(P P) (P(QR) ( Q R) P) ( Q R) (QR)(PPQ)(QPQ)(PQR) (P Q R) = 0,7c) (PQ)1， 2， 3,4,5,6(PQ)(P Q R)(P QR) (P Q R) (PQR) (PQ R)PQ( PQR)(P Q) (P Q) ( Q P)e)P(P(QP).P(P(QP)(PP)(P QP)T(T Q) T0,1,2,3 = ( PQ) ( PQ) (PQ) (PQ)f)(QP) ( PQ)(QP) PQ(QP) (P Q) F0,1 ， 2， 3= (P Q) (PQ) ( PQ) ( PQ)(

18、5)证明：a)(AB) (AC)(AB) (AC)A(BC)A(BC)(AB) (AC)b)(AB) (AB)(AB) (AB) (A B) (AB)A (B B)ATA( AB) (BA)(AB) (BA)A (B B)AFAc)AB( AB)(A A)(A B) BA B BF. . .AB(AB)( AA)(AB) B A BBFd)A(A(A B)A A (A B)TAB(AB)(AB) (AB)T(6) 解： A R(Q(RP), 则 A* R(Q(RP)AR(Q(RP)(R (Q (R P)R Q (R P)(R Q) (R P) A* R(Q(RP)(R (Q (R P)R Q

19、(R P)(R Q) (R P)(7)解：设 A： A 去出差。 B：B 去出差。 C： C去出差。 D：D去出差。若 A 去则 C和 D中要去一个。 A(C V D)B 和 C不能都去。 (BC)C去则 D要留下。 CD按题意应有： A(C V D)，(BC)，CD 必须同时成立。因为 C V D (CD) (DC)故(A(C V D) (BC) (CD)(A(C D) (D C) (BC) (C D)( A (C D) (D C)(B C) (C D)(6) P(3)(5)T,I( A(CD) (DC)( B C) (B D)(C D) C)b)J (M N)， (H G) J， HG M

20、 N( A BC) ( A BD) ( A CD) ( AC)(1)(HG) JP(BCD) ( CDBD) ( CD CD)(2)(H G)P( CD C) ( DC BC) ( DC BD)(3)J(1)(2)T,I( DC CD) ( DC C)(4)J (MN)P在上述的析取式中，有些（画线的）不符合题意，舍弃，得(5)M N(3)(4)T,I( AC) ( BCD) （ CD）( DCB)c)B C， (B C)(HG)G H故分派的方法为： BD , 或 DA,或 CA。(1) B CP(8) 解：设 P： A 是第一。 Q：B 是第二。 R：C 是第二。 S： D 是第四。 E：

21、A 是第二。(2) B(1)T,I由题意得 (P V Q) (R V S) (E V S)(3)C(1)T,I(4)B C(2)T,I(P Q) (PQ)(R S) (RS) (E S) (ES)(5)C B(3)T,I(P Q R S) (P Q R S) ( P Q R S)(6)C B(4)T,E( PQRS) (E S)( ES)(7)B C(5)T,E因为(PQRS)与( PQRS)不合题意，所以原式可化为(8)BC(6)(7)T,E(P QRS) ( PQRS) (E S) ( ES)(9)(BC) (H G)P(P Q R S E S) (P Q R S E S)(10) H G(8)(9)T,I( PQRSES)( PQRSES)d)P Q， ( QR) R， ( PS) S