随机信号分析实验.docx

1、随机信号分析实验实验一 随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法；2、实现随机序列的数字特征估计。二、实验原理1. 随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(

2、0，1)均匀分布指的是在0，1区间上的均匀分布，即U(0，1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下： （1.1）序列为产生的(0，1)均匀分布随机数。下面给出了上式的3组常用参数：(1) ；(2) （IBM 随机数发生器）；(3) （ran0）；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。定理1.1 若随机变量X具有连续分布函数FX(x)，而R为(0，1)均匀分布随机变量，则有 （1.2）由这一定理可知，分布函数为FX (x)的随机数可以由(0，1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。2. MATLAB 中产生

3、随机序列的函数(1) (0，1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生mn 的均匀分布随机数矩阵。(2) 正态分布的随机序列函数：randn用法：x = randn(m,n)功能：产生mn 的标准正态分布随机数矩阵。如果要产生服从分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。(3) 其他分布的随机序列MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，下表列出了部分函数。MATLAB 中产生随机数的一些函数表1.1 MATLAB中产生随机数的一些函数3、随机序列的数字特征估计对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定

4、随机序列X (n)为遍历过程，样本函数为x(n)，其中n=0,1,2，N-1。那么，X (n)的均值、方差和自相关函数的估计为利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。(1) 均值函数函数：mean用法：m = mean(x)功能：返回按上面第一式估计X (n)的均值，其中x为样本序列x(n)。(2) 方差函数函数：var用法：sigma2 = var(x)功能：返回按上面第二式估计X (n)的方差，其中x为样本序列x(n)，这一估计为无偏估计。(3) 互相关函数函数：xcorr用法：c = xcorr(x,y) c = xcorr(x) c = xcorr(x,y,opit

5、ion) c = xcorr(x,opition)功能：xcorr(x,y)计算X (n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X (n)的自相关。option 选项可以设定为：biased 有偏估计，即 (1.6)unbiased 无偏估计，即按(1.5)式估计。coeff m = 0 时的相关函数值归一化为1。none 不做归一化处理。三、实验内容1. 采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。改变样本个数重新计算。实验代码：num=input(Num=);N=231;k=216+3;Y=zeros(1,num);X=zeros(1,num)

6、;Y(1)=1;for i=2:numY(i)=mod(k*Y(i-1),N);endX=Y/N;a=0;b=1;m0=(a+b)/2;sigma0=(b-a)2/12;m=mean(X);sigma=var(X);delta_m=abs(m-m0);delta_sigma=abs(sigma-sigma0);plot(X,k);xlabel(n);ylabel(X(n);实验结果：(1) Num=1000时：delta_m=0.0110，delta_sigma=0.0011(2) Num=5000时：delta_m =2.6620e-04，delta_sigma =0.0020实验结果分析：

7、样本越大，误差越小，实际值越接近理论值。2. 参数为的指数分布的分布函数为利用反函数法产生参数为0.5 的指数分布随机数1000 个，测试其方差和相关函数。实验代码：R=rand(1,1000);lambda=0.5;X=-log(1-R)/lambda;DX=var(X);Rm,m=xcorr(X);subplot(211);plot(X,k);xlabel(n);ylabel(X(n);subplot(212);plot(m,Rm,k);xlabel(m);ylabel(R(m);实验结果：实验结果分析：方差的实际值为4.1201，理论值为1/(0.52)=4，基本一致。3. 产生一组N(

8、1，4)分布的高斯随机数（1 000个样本），估计该序列的均值、方差和相关函数。实验代码：X=normrnd(1,2,1,1000);Mx=mean(X);Dx=var(X);Rm,m=xcorr(X);subplot(211);plot(X,k);xlabel(n);ylabel(X(n);subplot(212);plot(m,Rm,k);xlabel(m);ylabel(R(m);实验结果：实验结果分析：实验中的均值为0.9937，方差为3.8938。理论上均值为1，基本一致。四、实验心得体会通过这次实验，我学习和掌握了随机数的产生方法、实现随机序列的数字特征估计，并用MATLAB产生相

9、应的图形，更直观的了解了相关的知识。本次实验的难点在于用线性同余法产生随机序列，多次试验后终于攻克了难关。实验二 随机过程的模拟与数字特征一、实验目的1、学习利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法；2、熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。二、实验原理1. 正态分布白噪声序列的产生MATLAB 提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn。函数：randn用法：x = randn(m,n)功能：产生mn的标准正态分布随机数矩阵。如果要产生服从分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。如果XN(0,1)，则。2. 相关函数估计MATLA

10、B提供了函数xcorr用于自相关函数的估计。函数：xcorr用法：c = xcorr(x,y) c = xcorr(x) c = xcorr(x,y,opition) c = xcorr(x,opition)功能：xcorr(x,y)计算X (n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X (n)的自相关。option 选项可以设定为：biased 有偏估计。unbiased 无偏估计。coeff m=0时的相关函数值归一化为1。none 不做归一化处理。3. 功率谱估计对于平稳随机序列X(n)，如果它的相关函数满足 (2.1)那么它的功率谱定义为自相关函数Rx(m)的傅里叶变换： (2.2)

11、功率谱表示随机信号频域的统计特性，有着重要的物理意义。我们实际所能得到的随机信号总是有限的，用有限长度的信号所得的功率谱只是真实功率谱的估计，称为谱估计或谱分析。(1) 自相关法先求自相关函数的估计，然后对自相关函数做傅里叶变换 (2.3)其中N表示用于估计样本序列的样本个数。(2) 周期图法先对样本序列x(n)做傅里叶变换 (2.4)其中，则功率谱估计为 (2.5)MATLAB函数periodogram实现了周期图法的功率谱估计。函数：periodogram用法：Pxx,w = periodogram(x) Pxx,w = periodogram(x,window) Pxx,w = peri

12、odogram(x,window,nfft) Pxx,f = periodogram(x,window,nfft,fs) periodogram(.)功能：实现周期图法的功率谱估计。其中：Pxx为输出的功率谱估计值；f为频率向量；w为归一化的频率向量；window代表窗函数，这种用法对数据进行了加窗，对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差，表2.1列出了产生常用窗函数的MATLAB函数。nfft设定FFT算法的长度；fs表示采样频率；如果不指定输出参量（最后一种用法），则直接会出功率谱估计的波形。三、实验内容1. 按如下模型产生一组随机序列其中是均值为1，方差为4的正态分布

13、白噪声序列。估计过程的自相关函数和功率谱。实验代码：y0=randn(1,500); %产生一长度为500的随机序列y=1+2*y0; x(1)=y(1);n=500;for i=2:1:nx(i)=0.8*x(i-1)+y(i); %按题目要求产生随机序列x(n)endsubplot(311);plot(x);title(x(n);subplot(312);c=xcorr(x); %用xcorr函数求x(n)的自相关函数plot(c);title(R(n);p=periodogram(x); %用periodogram函数求功率谱密度subplot(313);plot(p);title(S(

14、w);实验结果：其中x(n)为样本序列，长度为500；R(n)为x(n)的自相关函数，S(w)为x(n)的功率谱。2. 设信号为其中，为正态分布白噪声序列，试在N =256和N=1024点时，分别产生随机序列x(n)，画出x(n)的波形并估计x(n)的相关函数和功率谱。(1) N=256时：实验代码：N=256;w=randn(1,N); %用randn函数产生长度为256的正态分布白噪声序列n=1:1:N;f1=0.05;f2=0.12;x=sin(2*pi*f1*n)+2*cos(2*pi*f2*n)+w(n); %产生题目所给信号R=xcorr(x); %求x(n)的自相关函数p=per

15、iodogram(x); %求x的功率谱subplot(311);plot(x);title(x(n);subplot(312);plot(R);title(R(n);subplot(313);plot(p);title(S(w);实验结果：其中x(n)为样本序列，长度为256；R(n)为x(n)的自相关函数，S(w)为x(n)的功率谱。(2) N=1024时：实验代码：N=1024; %将N值改为1024w=randn(1,N); %用randn函数产生长度为256的正态分布白噪声序列n=1:1:N;f1=0.05;f2=0.12;x=sin(2*pi*f1*n)+2*cos(2*pi*f2

16、*n)+w(n); %产生题目所给信号R=xcorr(x); %求x(n)的自相关函数p=periodogram(x); %求x的功率谱subplot(311);plot(x);title(x(n);subplot(312);plot(R);title(R(n);subplot(313);plot(p);title(S(w);实验结果：其中x(n)为样本序列，长度为1024；R(n)为x(n)的自相关函数，S(w)为x(n)的功率谱。四、实验心得体会这次实验学会了在MATLAB中求解并绘制随机序列的自相关函数和功率谱密度的方法。用MATLAB可以用具体的函数来求自相关函数和功率谱，极大的方便了

17、学习过程。通过本次实验，我学会了利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法并且熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。实验三 随机过程通过线性系统的分析一、实验目的1、理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。2、学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。二、实验原理1. 白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为H(w)或H(s)，输入白噪声的功率谱密度为SX(w)=N0/2，那么系统输出的功率谱密度为 (3.1)输出自相关函数为 (3.2)输出相关系数为 (3.3)输出相关时间为 (3.4)输出平均功率为 (3.5)上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白

18、噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性|H(w)|决定，不再是常数。2. 等效噪声带宽在实际中， 常常用一个理想系统等效代替实际系统的H(w)，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。实际系统的等效噪声带宽为 (3.6)或 (3.7)3. 线性系统输出端随机过程的概率分布(1) 正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。(2) 随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。任意

19、分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。三、实验内容1. 仿真一个平均功率为1的白噪声带通系统，白噪声为高斯分布，带通系统的两个截止频率分别为3kHz和4kHz，估计输出的自相关函数和功率谱密度函数。（假设采样频率为10kHz，同时在系统仿真时为了得到统计的结果，可以进行多次实验，并取多次实验的平均结果作为统计结果）实验代码：Fs=10000; %抽样频率为10kHzx=randn(1000,1); %产生随机序列，模拟高斯白噪声 figure(1);subplot(3,1,1);plot(x);grid on;xlabel(t);subpl

20、ot(3,1,2);x_corr=xcorr(x,unbiased); %计算高斯白噪声的自相关函数plot(x_corr);grid on;subplot(3,1,3);Pxx,w=periodogram(x); %计算功率谱密度x_Px=Pxx;plot(x_Px);grid on; figure(2);subplot(2,1,1);x_pdf,x1=ksdensity(x); %高斯白噪声一维概率密度函数plot(x1,x_pdf);grid on; subplot(2,1,2);f=(0:999)/1000*Fs;X=fft(x);mag=abs(X); %随机序列的频谱plot(f(

21、1:1000/2),mag(1:1000/2);grid on;xlabel(f / Hz); figure(3);subplot(3,1,1);b,a=ellip(10,0.5,50,3000,4000*2/Fs);H,w=freqz(b,a); %带通滤波器plot(w*Fs/(2*pi),abs(H);grid on;xlabel(f / Hz);ylabel( H(w);subplot(3,1,2);y=filter(b,a,x);y_pdf,y1=ksdensity(y); %滤波后的概率密度函数plot(y1,y_pdf);grid on;y_corr=xcorr(y,unbias

22、ed); %滤波后自相关函数subplot(3,1,3);plot(y_corr);grid on;figure(4);Y=fft(y);magY=abs(Y); %随机序列滤波后频谱subplot(2,1,1);plot(f(1:1000/2),magY(1:1000/2);grid on;xlabel(f / Hz);subplot(2,1,2);nfft=1024;index=0:round(nfft/2-1);ky=index.*Fs./nfft;window=boxcar(length(y_corr);Pyy,fy=periodogram(y_corr,window,nfft,Fs)

23、; %滤波后高斯白噪声功率谱y_Py=Pyy(index+1);plot(ky,y_Py);grid on;实验结果：下图分别为高斯白噪声序列、高斯白噪声自相关函数、高斯白噪声功率谱密度。下图分别为高斯白噪声一维概率密度函数、模拟高斯白噪声序列频谱。下图分别为带通滤波器、带通滤波后一维概率密度函数、限带高斯白噪声自相关函数。2. 设白噪声通过下图所示的RC电路，分析输出的统计特性。(1) 试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。(2) 采用MATLAB模拟正态分布白噪声通过上述RC电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声的概率密度。(3) 模拟产生均匀分布的白噪声

24、通过上述RC电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声的概率密度。(4) 改变RC电路的参数（电路的RC值），重做(2)和(3)，与之前的结果进行比较。(1) 输出功率谱密度：； 相关函数：； 相关时间：； 等效噪声带宽：。(2) 实验代码：R=100;C=0.01;b=1/(R*C);n=1:1:500;h=b*exp(-n*b); %RC电路的冲击响应x=randn(1,1000); %产生正态分布的白噪声y=conv(x,h);fy y1=ksdensity(y) %求输出噪声的概率密度subplot(3,1,1);plot(x);title(x(n);subplot(3,1,2);pl

25、ot(y);title(y(n);subplot(3,1,3);plot(fy);title(fy);实验结果：(3) 实验代码：R=100;C=0.01;b=1/(R*C);n=1:1:500;h=b*exp(-n*b);x=rand(1,1000); %均匀分布的白噪声y=conv(x,h);fy y1=ksdensity(y);subplot(3,1,1);plot(x);title(x(n);subplot(3,1,2);plot(y);title(y(n);subplot(3,1,3);plot(fy);title(fy);实验结果：(4) R=300，C=0.01，正态分布时：R=

26、300，C=0.01，均匀分布时：R=30，C=0.01，正态分布时：R=30，C=0.01，均匀分布时：实验结果分析：从以上图像中可以看出，系统相关时间与带宽成反比；正态随机过程通过一个线性系统后，输出仍为正态分布；而均匀分布的白噪声通过一个线性系统后，输出也服从正态分布。四、实验心得体会本次实验是关于随机信号通过线性系统的，我发现了白噪声通过线性系统后，输出也服从正态分布，从实践上验证了课本的理论。通过本次实验，我理解了白噪声通过线性系统后输出的特性，学习和掌握了随机过程通过线性系统后的特性，关于随机信号的知识有了更深入的理解。实验四 窄带随机过程的产生及其性能测试一、实验目的1、基于随机

27、过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。二、实验原理1. 窄带随机过程的莱斯表达式任何一个实平稳窄带随机过程X(t)都可以表示为 (4.1)上式称为莱斯表达式，根据上式可以模拟产生窄带随机过程，具体过程如下图所示。图4.1 窄带随机过程的产生2.窄带随机过程包络与相位的概率密度见教材5.3节。3.窄带随机过程包络平方的概率密度见教材5.4节。三、实验内容1. 按图4.1所示结构框图，基于随机过程的莱斯表达式，用MATLAB产生一满足条件的窄带随机过程。实验代码：n=1:1:1000;h=exp(-n);c1=randn(

28、1,1000);a=conv(c1,h);c2=randn(1,1000); %产生两个正态分布的高斯白噪声b=conv(c2,h); %通过低通滤波器fc=10000;x=zeros(1,1000);for i=1:1000 %卷积结果相加，得到窄带随机过程 x(i)=a(i)*cos(2*pi*fc*i)-b(i)*sin(2*pi*fc*i);endplot(x);实验结果：2. 画出该随机过程的若干次实现，观察其形状。实验结果：第一次实现：第二次实现：第三次实现：3. 编写MATLAB程序计算该随机过程的均值函数、自相关函数、功率谱、包络、包络平方及相位的一维概率密度，画出相应的图形并

29、给出解释。实验代码：n=1:1:1000;h=exp(-n);c1=randn(1,1000);a=conv(c1,h);c2=randn(1,1000);b=conv(c2,h);fc=10000;x=zeros(1,1000);for i=1:1000 %得到窄带随机过程 x(i)=a(i)*cos(2*pi*fc*i)-b(i)*sin(2*pi*fc*i);endm=mean(x)figure(1)plot(m);title(均值) %均值函数R=xcorr(x);figure(2)plot(R);title(自相关函数) %自相关函数S,w=periodogram(x);figure(3)plot(S);title(功率谱密度) %功率谱密度函数B=zeros(1,1000);for i=1:1000 B(i)=sqrt(a(i)2+b(i)2);endfB2 j=