初中平面几何一题多变.docx

1、初中平面几何一题多变平面几何一题多变在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，必将使人受益匪浅。“一题多变”的常用方法有：1、变换命题的条件与结论；2、保留条件，深化结论；3、减弱条件，加强结论；4、探讨命题的推广；5、考查命题的特例；6、生根伸枝，图形变换；7、接力赛，一变再变；8、解法的多变等。19、（增加题1的条件）AE平分BAC交BC于E，求证：CE：EB=CD：CB20、（增加题1的条件）CE平分BCD，AF平分BAC

2、交BC于F求证：（1）BFCE= BEDF （2）AECF （3）设AE与CD交于Q，则FQBC21、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F，求证： CE：BC=CF：AC（注意本题和16题有无联系）22、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F，求证： EF是O1和O2的一条外公切线23、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2，求证：点A到圆O2的切线长和AC相等（AT=AC）24、已知，ABC中，ACB=90度，CDA

3、B，D为垂足，E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，求证：DF：CF=BC：AC25、如图，O1与O2外切与点D，公切线DO交外公切线EF于点O，求证：OD是两圆半径的比例中项。题14解答：因为CD2=ADDB AC2=ADAB BC2=BDAB所以1/AC2+1/BC2=1/（ADAB）+1/（BDAB）=（AD+DB）/（ADBDAB）=AB/ADBDAB=1/ADBD=1/CD215题解答：因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DMAC2-BC2=AD*AB-DB*AB =(AD-DB)AB =2DM*AB26、（在19题基础上增加一条

4、平行线）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，FGAB交BC于点G，求证：CE=BG27、（在19题基础上增加一条平行线）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，FGBC交AB于点G，连结EG，求证：四边形CEGF是菱形28、（对19题增加一个结论）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E、交CD于F，求证：CE=CF29、（在23题中去掉一个圆）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1， 求证：过点D的圆O1的切线平分BC

5、30、（在19题中增加一个圆）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BAC交BC于E，交CD于F，求证：CED平分线段AF31、（在题1中增加一个条件）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，A=30度，求证：BD=AB/4（沪科版八年级数学第117页第3题）32、（在18题基础上增加一条直线）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作BCE=BCDP为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N求证：PQ/PN=QM/MN32题证明：作NSCD交直线AC与点S，则PQ/PN=CQ/SN又BCE=BCDQM/MN=CQ/CN（三角形角

6、平分线性质定理）BCE+NCS=BCD +ACDNSCD，NSC=ACDNSC=NCSSN=CNPQ/PN=QM/MN题33在“题一中”，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：DEAB= AEBE题33证明CB2= BDAB因EB=CBEB2= BDABEB：BD=AB：BE又EBD=ABEEBDABEEB：AB=DE：AEDEAB= AEBE题34（在19题基础上增加一条垂线）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分CD于F，EGAB交AB于点G，求证：EG2= BEEC证明：延长AC、GE，设交点为H，EBGEHCEB：EH=EG：ECEHEG= BEEC又

7、HGCD，CF=FDEH=EGEG2= BEEC题35（在题19中增加点F）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分BCA交BC于点E，交CD于F，求证：2CFFD = AFEF题36、（在题16中，减弱条件，删除ACB=90度这个条件）已知，ABC中， CDAB，D为垂足，DEAC于E，DFBC于F，求证：CE/BC=CF/AC题37（在题17中，删除ACB=90度和CDAB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，满足ACD=ABC）已知，ABC中，D是AB上一点，满足ACD=ABC，又CE平分BCD求证：AE2= ADAB题38已知，ABC中，ACB=90度，CDAB

8、，D为垂足，PC为ABC的切线求证：PA/AD=PB/BD 题39（在题19中点E“该为E为BC上任意一点”）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为BC上任意一点，连结AE，CFAE，F为垂足，连结DF，求证：ADFAEB题40：已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足求证：SADC：SBDC=AD：DB题41已知，如图，ABC中， CDAB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD， 求ACB的度数。题42 已知，CD是ABC的AB边上的高， D为垂足，且AD/CD=CD/BD， 则ACB一定是90度吗？为什么？题43：已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足

9、，ADC的切圆O1，BDC的切圆O2，求证：SO1：SO2=AD：DB题44：已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，ADC的切圆O1的半径R1，BDC的切圆O2的半径R2，ABC的切圆O的半径R，求证：R1+R2+R=CD 题45、已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD为直径的圆O2，设O1和O2在ABC交于P求证： PAD的面积和PBC的面积相等题45解：CAP=CDP=DBP（圆周角、弦切角）RtAPCRtBPDAPPD= BPPC又APD和CPB互补（APC+BPD=180度）S PAD=1/2APPDsinAPDS PBD=1

10、/2BPPCsinCPBS PAD= S PBD题46（在题38的基础上变一下）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，PC为ABC的切线，又CE平分ACB交ABC与E，交AB与D ， 若PA=5，PC=10，求 CDCE的值题47在题46中，求sinPCA题48（由题19而变）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，AE平分ACB交BC于E，EGAB交AB于点G，求证：（1）AC=AG（2）、AG2= ADAB（3）、G在DCB的平分线上（4）、FGBC（5）、四边形CEFG是菱形题49题49解答：题目50（题33再变）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂

11、足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，如果此时AC=EC，求证： AF= 2FE题50解：过点E作EMCF，M为垂足，则AD：DB=AC2：CB2=4：1又DB：EM=1：2所以，AD：EM=2：1ADFEMFAF：EF=AD：EM=2：1AF=2EF题目51（题50中连一线）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，连结FB，如果此时AC=EC，求证： ABC=EBF（题51的几种解法）解法1、作ACB的平分线交AB于点G，易证ACGCEFCG=EF证CBGEBFABC=EBF题51解法2作ACB的平分线

12、交AB于点G，交AE于点P，则点G 为ACE的垂心，GFCE又AEC=GCE，四边形CGFE为等腰梯形CG=EF再证CBGEBFABC=EBF题51解法3作ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，则点G 为ACE的垂心，易证APGCPF（AAS）PG=PF又GPB=FPB，PB=PBPBGFBP（SAS）PBG=FBPABC=EBF题51解法4（原题图）由题50得，AF=2EFAF：EF=AC：BE=2又CAF=BEF=45度ACFEBFACF=EBF又ACF=CBAABC=EBF题51解法5作MECE交CD的延长线于M，证ABCCME（ASA）ABC=M再证MEFBEF（SAS）EBM=M

13、ABC=EBF题51解法6作点B关于点C的对称点N，连结AN，则NB=2BE，又由题50，AF=2EF，BFANEBM=N又ABC=N（对称点）ABC=EBF题51解法7过点C作CHBF交AB于M，B为CE的中点， F为HE的中点又由题50，AF=2EF，H为AF的中点又CHBFM为AB的中点MCB=MBC又EBM=MCBABC=EBF题目52（题50、51结论的引伸）已知，ABE中，AC=EC，ACE=90度，CDAB交斜边AB于F，D为垂足，B为CE的中点，连结FB， 求证：（1）、AF=2EF（2）、ABC=EBF（3）、EBF= E+BAE（4）、ABF=2DAC（5）、AB：BF=A

14、E：EF（6）、CD：DF=AE：AF（7）、AD：DB=2AF：EF（8）、CD/DFFA/AEEB/BC=1题目53 （题52的一部分） 已知如图，、AC=CE、ACCE、CB=BE、CFAB求证：、AF=2EF、ABC=EBF（题53的14个逆命题中，是真命题的请给出证明）题目54（题53的逆命题1）已知如图，、AF=2EF、ACCE、CB=BE、CFAB求证：、AC=CE、ABC=EBF平面几何一题多变题目55（题53的逆命题2）已知如图，、AC=CE、AF=2EF、CB=BE、CFAB求证：、ACCE、ABC=EBF题目56（题53的逆命题3）已知如图，、AC=CE、ACCE、AF=

15、2EF、CFAB求证：、CB=BE、ABC=EBF题目57（题53的逆命题4）已知如图，、AC=CE、ACCE、AF=2EF、CB=BE求证：、CFAB、ABC=EBF题目58（题53的逆命题5）已知如图，、CB=BE、ABC=EBF、ACCE、CFAB求证：、AF=2EF、AC=CE题目59（题53的逆命题6）已知如图，、AC=CE、CFAB、CB=BE、ABC=EBF求证：、AF=2EF、ACCE题目60（题53的逆命题7）已知如图，、AC=CE、ACCE、ABC=EBF、CFAB求证：、AF=2EF、CB=BE题目61（题53的逆命题8）已知如图，、AC=CE、ACCE、CB=BE、AB

16、C=EBF求证：、AF=2EF、CFAB题目62（题53的逆命题9）已知如图，、AF=2EF、CFAB、CB=BE、ABC=EBF求证：、AC=CE、ACCE题目63（题53的逆命题10）已知如图，、ACCE、AF=2EF、CFAB、ABC=EBF求证：、AC=CE、CB=BE题目64（题53的逆命题11）已知如图，、CB=BE、ABC=EBF、ACCE、AF=2EF求证：、AC=CE、CFAB题目65（题53的逆命题12）已知如图，、AC=CE、AF=2EF、CFAB、ABC=EBF求证：、ACCE、CB=BE题目66（题53的逆命题13）已知如图，、AC=CE、AF=2EF、CB=BE、A

17、BC=EBF求证：、ACCE、CFAB题目67（题53的逆命题14）已知如图，、AC=CE、ACCE、AF=2EF、ABC=EBF求证：、CB=BE、CFAB题目68已知如图，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，CM平分ACB，如果SACM=30，SDCM=6，求SBCD=？（题68解答）解：设SBCD=x,则SACM/ SCMB=30/（6+ x）=AM/MBSACD/ SCDB=36/ x=AD/DB又AC2= ADABBC2= BDABAC2/ BC2=AD/BDCM平分ACB（AM/ BM）2=AD/BD30/(6+x)2=36/x解方程得x=4或x=9SBCD=4或SBCD

18、=9题目69已知如图，ABC中，ACB=90度，D 为斜边AB上一点，满足AC2= ADAB求证：CDAB题目70已知如图，ABC中，ACBC,ACB=90度，CM平分ACB，且CM+CB=AC，求证：1/AC-1/BC=2 题70证明：过点M作MDBC，D为垂足，作MDAC，E为垂足，设ME=x,AC=b,BC=a,则CM=2 x，AE=b-x,由AE/AC=ME/BC，得(b-x)/b=x/a,x=ab/(a+b)又CM+CB=AC2 x+a=b,ab/(a+b)=(b-a)/ 2整理得：b2-a2=2ab两边都除以ab,1/AC-1/BC=2题目71(依题68变)已知如图，ABC中（AC

19、BC），ACB=90度，CDAB，D为垂足，CM平分ACB,且BC、AC是方程x2-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长。题目71解：显然，方程x2-14x+48=0的两根为6和8，又ACBCAC=8，BC=6由勾股定理AB=10ACDABC，得AC2= ADABAD=6.4CM平分ACBAM/MB=AC/CB解得，AM=40/7MD=AD-AM=24/35题目72已知如图，ABC中，ACB=90度，AB=2AC，现在将它折成如右图的形状，这时顶点A正好落在BC上，而且AMN是正三角形，求AMN与ABC的面积之比。题72解：ACB=90度，AB=2ACB=30度由题意，四边形AMAN是菱

20、形，ABMABCAM/AC=BM/AB设AM=x, AB=2AC=2ax/a=(2a-x)/2ax=2a/3由三角形面积公式，得SAMN：SABC=2：9题目73已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足求证：AB+CDAC+BC题73的证明：由三角形面积公式，得ABCD=ACBC2ABCD=2ACBC又勾股定理，得AB2=AC2+BC2AB2+2ABCD =AC2+BC2+2ACBC(等式性质)AB2+2ABCD =（AC+BC）2AB2+2ABCD+CD2 （AC+BC）2(AB+CD)2 （AC+BC）2又AB、CD、AC、BC均大于零AB+CDAC+BC题目74已知，ABC中，

21、ACB90度，CDAB，D为垂足求证：AB+CDAC+BC题74证明：如图，作CBAC交AB于B,于是有ABCD=ACBC2ABCD=2ACBC又勾股定理，得AB2=AC2+BC2AB2+2ABCD =AC2+BC2+2ACBC(等式性质)AB2+2ABCD =（AC+BC）2AB2+2ABCD+CD2 （AC+BC）2(AB+CD)2 （AC+BC）2又AB、CD、AC、BC均大于零AB+CDAC+BC在ABB中,BBCB-CB+得AB BB+CDAC+BC CB-CBAB+CDAC+BC题目75已知如图，ABC中， CDAB，D为垂足，CT平分ACB，CM为AB边上的中线，且ACD=DCT

22、=TCM=MCB求证：ACB=90度题目75的证明：延长CT交三角形ABC的外接圆于N，连结MN，则N为弧AB的中点，所以MNAB，又CDAB，MNCDDCT=TNM又DCT=TCMTCM=TNMCM=NMCN的垂直平分线必过点M，又CM为AB边上的中线，MNABAB的垂直平分线必过点M，即M为两条弦的垂直平分线的交点，M为三角形ABC的外接圆的圆心，因此AB为ABC的外接圆的直径。ACB=90度题目76已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，ACB 的平分线CG交AB边上的中垂线于点G ， 求证：MC=MG 题目77已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，CM为AB边

23、上的中线，CD是ACB 的平分线，AC=75cm, BD=80cm,求CD、CM、CE的长题目78已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且弧AC=弧CE，又AE交CD于M，求证：AM=CM题目79（题78再变）已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且弧AC=弧CE，又BC交AE于G，连结BE求证：BG2= ABBE- AGGE题目80已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且直线DC于直线BE交于P，求证：CD2= DMDP题目81已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，

24、且直线DC于直线BE交于P，如果CD平分AE，求证： 2DMDP= BEEP题目82已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，E为ABC上一点，且弧AC=弧CE，又直线AC与直线BE交于H，求证： AB=BH题目83(由题44变)求证：直角三角形两条直角边的和等于斜边与切圆直径的和。题目84已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，MN切ABC与C点求证： BC平分DCN题目85已知，ABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，MN切ABC与C点，AFMN，F为垂足，AEMN，E为垂足，求证：CD=CE=CF 题目86已知，ABC中，ACB=90度， 以BC为直径的圆交A

25、B于点D，以AC为半径的圆交AB于点E， 求证：BCE=DCE题目87（由题38图而变）求证：和两定点距离之比等于定比（不为1）的点的轨迹是一个圆周。（提示：从（1）完备性、（2）纯粹性 两方面来证明。）题目88作图题：已知两线段之和及积，求作这两条线段。已知：两线段m和n求作：两线段x及y,使x+y=m，xy=n2补个图（题88作法参考）AD、BD即为求作线段x、y题目89（由题88变）已知梯形ABCD如图，求作一直线平行于梯形的底边，且平分面积。题目90利用下图，证明：两个正数之和为定值，则这两个数相等时乘积最大。题目89作法：如图，作两腰的延长线交于点O，作PBAB使PB=OA，连结OP

26、，以OP为直径作半圆M，由圆心M作MNOP，交半圆于点N，再以O为圆心ON为半径画弧交AB于点E，作EFBC交CD于F，则EF即为所求线段。 题91(题73变)设a、b、c、d都是正数，满足a/b=c/d,且a最大，求证：a+db+c题92（人教版数学八年级下114页）在RtABC中，ACB=90度，CDAB，D为垂足，ACD=3BCD，E是斜边AB的中点，ECB是多少度？题93（题49变）已知，17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且A、B都是锐角，求A/2+B的值。题目93解：（构造法）分别以17、13为边作ABC，使AC=17，BC=13，CD为AB边上的高，在RtADC中，AD=17 cosA，在RtBDC中，BD=13 cosB，CD=17sinA=13sinB而AB=AD+DB=