完整word高中数学必修二直线与圆的综合问题doc.docx

1、完整word高中数学必修二直线与圆的综合问题doc直线与圆一解答题（共 10 小题）1已知直线 x y+3=0 与圆心为（ 3，4）的圆 C 相交，截得的弦长为 2 （1）求圆 C 的方程；（2）设 Q 点的坐标为（ 2，3），且动点 M 到圆 C 的切线长与 | MQ| 的比值为常数 k（k 0）若动点 M 的轨迹是一条直线，试确定相应的 k 值，并求出该直线的方程2已知直线 l： y=x+2 被圆 C：（x 3） 2+（ y2） 2=r2（ r 0）截得的弦 AB 的长等于该圆的半径（1）求圆 C 的方程；（2）已知直线 m：y=x+n 被圆 C：（x3）2+（ y2）2 =r2（ r 0

2、）截得的弦与圆心构成三角形 CDE若 CDE的面积有最大值，求出直线 m：y=x+n 的方程；若 CDE的面积没有最大值，说明理由3已知 M （4， 0）， N（ 1，0），曲线 C上的任意一点 P 满足： ? =6| |（ ）求点 P 的轨迹方程；（ ）过点 N（1，0）的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，交 y 轴于 H 点，设 =1 ， =2 ，试问 1+2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由4已知动圆 P 与圆 F1 ：（x+2）2+y2=49 相切，且与圆 F2 ：（ x 2）2+y2=1 相内切，记圆心P 的轨迹为曲线 C（ ）求曲线 C 的方程；（

3、）设 Q 为曲线 C 上的一个不在 x 轴上的动点， O 为坐标原点，过点 F2 作 OQ 的平行线交曲线 C 于 M，N 两个不同的点，求 QMN 面积的最大值第 1页（共 13页）5已知动圆 P 过定点 且与圆 N： 相切，记动圆圆心 P 的轨迹为曲线C（ ）求曲线 C 的方程；（ ）过点 D（ 3，0）且斜率不为零的直线交曲线 C 于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在定点 Q，使得直线AQ， BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由6如图所示，在 ABC中， AB 的中点为 O，且 OA=1，点 D 在 AB 的延长线上，且 固定边 AB，在平面内移动顶点

4、 C，使得圆 M 与边 BC，边 AC 的延长线相切，并始终与 AB 的延长线相切于点 D，记顶点C 的轨迹为曲线 以 AB 所在直线为 x 轴， O 为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系（ ）求曲线 的方程；（ ）设动直线 l 交曲线 于 E、 F 两点，且以 EF为直径的圆经过点 O，求 OEF面积的取值范围7已知 ABC的顶点 A（1， 0），点 B 在 x 轴上移动， | AB| =| AC| ，且 BC 的中点在 y 轴上（ ）求 C 点的轨迹 的方程；（ ）已知过 P（ 0， 2）的直线 l 交轨迹 于不同两点 M， N，求证： Q（ 1，2）与 M， N 两点连线 QM， QN

5、的斜率之积为定值第 2页（共 13页）8已知圆 M： x2+y2 +2y 7=0 和点 N（0， 1），动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切，圆心 P 的轨迹为曲线 E（1）求曲线 E 的方程；（2）点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点， 点 B、C 在曲线 E 上，若直线 AB、AC的斜率 k1，k2 ，满足 k1k2=4，求 ABC面积的最大值9已知过点 A（ 0， 1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：（x 2）2+（ y3） 2=1 交于点 M，N 两点（1）求 k 的取值范围；（2）请问是否存在实数 k 使得 （其中 O 为坐标原点），如果存在请求出 k 的值，并求 | M

6、N | ；如果不存在，请说明理由10已知 O 为坐标原点，抛物线 C： y2=nx（n 0）在第一象限内的点 P（2， t）到焦点的距离为 ，C 在点P 处的切线交 x 轴于点 Q，直线 l1 经过点 Q 且垂直于 x 轴（1）求线段 OQ 的长；（2）设不经过点 P 和 Q 的动直线 l2 ：x=my+b 交 C 交点 A 和 B，交 l1 于点 E，若直线 PA， PB 的斜率依次成等差数列，试问： l2 是否过定点？请说明理由第 3页（共 13页）直线与圆参考答案与试题解析一解答题（共 10 小题）1已知直线 x y+3=0 与圆心为（ 3，4）的圆 C 相交，截得的弦长为 2 （1）求

7、圆 C 的方程；（2）设 Q 点的坐标为（ 2，3），且动点 M 到圆 C 的切线长与 | MQ| 的比值为常数 k（k 0）若动点 M 的轨迹是一条直线，试确定相应的 k 值，并求出该直线的方程【分析】（1）求出圆心 C 到直线 l 的距离，利用截得的弦长为 2 求得半径的值，可得圆 C 的方程；（2）设动点 M（ x，y），则由题意可得 =k，即 =k，化简可得 （k2 1） ?x2+（k21） ?y2+（6 4k2） x+（86k2）y+13k2 9=0，若动点 M 的轨迹方程是直线，则k21=0，即可得出结论【解答】 解：（1）圆心 C 到直线 l 的距离为=，截得的弦长为 2，半径为

8、 2，圆 C：（x 3） 2+（ y4） 2=4；（2）设动点 M （x， y），则由题意可得=k，即=k，化简可得 （ k2 1）?x2+（ k2 1）?y2+（ 64k2）x+（8 6k2） y+13k2 21=0，若动点 M 的轨迹方程是直线，则 k2 1=0， k=1，直线的方程为 x+y4=0【点评】 本小题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，圆的一般式方程，属于中档题2已知直线 l： y=x+2 被圆 C：（x 3） 2+（ y2） 2=r2（ r 0）截得的弦 AB 的长等于该圆的半径（1）求圆 C 的方程；（2）已知直线 m：y=x+n 被圆 C：（x3）2+（ y2）

9、2 =r2（ r 0）截得的弦与圆心构成三角形 CDE若 CDE的面积有最大值，求出直线 m：y=x+n 的方程；若 CDE的面积没有最大值，说明理由【分析】（1）根据直线和圆相交得到的弦长公式求出圆的半径即可求圆 C 的方程；（2）根据直线和圆相交的位置关系，结合CDE的面积公式即可得到结论【解答】 解：（1）设直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点直线 l ：y=x+2 被圆 C：（x 3）2 +（y 2）2=r2（ r0）截得的弦长等于该圆的半径， CAB为正三角形，第 4页（共 13页）三角形的高等于边长的 ，圆心 C 到直线 l 的距离等于边长的 直线方程为 xy+2=0，圆心的坐

10、标为（ 3， 2），圆心到直线的距离 d= = ，r= ，圆 C 的方程为：（ x3）2+（y 2）2=6（2）设圆心 C 到直线 m 的距离为 h， H 为 DE的中点，连结 CD，CH，CE在 CDE中，DE= ， = ，当且仅当 h2=6h 2，即 h2=3，解得 h= 时， CDE的面积最大CH= ，| n+1| = ，n= ，存在 n 的值，使得 CDE的面积最大值为 3，此时直线 m 的方程为 y=x 【点评】 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据弦长公式是解决本题的关键3已知 M （4， 0）， N（ 1，0），曲线 C上的任意一点 P 满足： ? =6| |（ ）求点 P

11、 的轨迹方程；（ ）过点 N（1，0）的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，交 y 轴于 H 点，设 =1 ， =2 ，试问 1+2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由【分析】（ ）求出向量的坐标，利用条件化简，即可求点 P 的轨迹方程；（ ）分类讨论，利用 =1 ， =2 ，结合韦达定理，即可得出结论【解答】 解：（ ）设 P（ x，y），则 =（ 3，0）， =（ x 4，y）， =（1x， y） ? =6| | ， 3（ x 4）+0 y=6 ，化简得 =1 为所求点 P 的轨迹方程 .4 分（ ）设 A（x1 ，y1 ）， B（ x2， y2）当直线 l 与

12、 x 轴不重合时，设直线 l 的方程为 x=my+1（ m 0），则 H（ 0， ）第 5页（共 13页）从而 =（ x ， y + ）， =（ 1 x ， y ），由 = 得（ x ，y + ）=（1 x ， y ），1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1+1同理由得 ，2=1+ （ 1+2） =2+由直 与 方程 立，可得（ 4+3m2） y2+6my 9=0，y1+y2= ， y1y 2=代入得（ +） =2+ = ，1 2+1 2=当直 l 与 x 重合 ， A（ 2，0），B（2，0），H（0， 0）， ，1=2= 2+分1 2=11 上， 1+2 定 .12 分【点 】 本

13、考 迹方程，考 向量知 的运用，考 直 与 位置关系的运用，考 分 的数学思想，属于中档 4已知 P 与 F1 ：（x+2）2+y2=49 相切，且与 F2 ：（ x 2）2+y2=1 相内切， 心P 的 迹 曲 C（ ）求曲 C 的方程；（ ） Q 曲 C 上的一个不在 x 上的 点， O 坐 原点， 点 F2 作 OQ 的平行 交曲 C 于 M，N 两个不同的点，求 QMN 面 的最大 【分析】（I ）由已知条件推 出 | PF1|+| PF2| =8 | F1F2| =6，从而得到 心 P 的 迹 以 F1，F2 焦点的 ，由此能求出 心 P 的 迹 C 的方程（II）由 MN OQ，知

14、 QMN 的面 = OMN 的面 ，由此能求出 QMN 的面 的最大 【解答】 解：（ ） P 的半径 R， 心 P 的坐 （ x，y），由于 P 与 F1：（ x+2） 2+y2 =49 相切，且与 F2：（ x 2）2+y2=1 相内切，所以 P 与 F1 只能内切 （ 1 分）所以 | PF1|+| PF2 | =7 R+R 1=6 | F1F2| =4 （3 分）所以 心 心 P 的 迹 以 F1，F2 焦点的 ，其中 2a=6，2c=4， a=3， c=2， b2=a2 c2=5所以曲 C 的方程 =1（4 分）第 6 （共 13 ）（ ） M （x1， y1 ）， N（ x2， y

15、2）， Q（x3，y3），直 MN 的方程 x=my+2，由 可得：（5m 2+9） y2+20my 25=0，y 1+y2 = ， y1y2 = （ 5 分）所以 | MN | = = （ 7 分）因 MN OQ， QMN 的面 =OMN 的面 ，O 到直 MN ：x=my+2 的距离 d= （ 9 分）所以 QMN 的面 （ 10 分）令 =t， m2=t2 1（t 0），S= = ， 因 t 1，所以 所以 ，在 1， +）上 增所以当 t=1 ， f（ t ）取得最小 ，其 9 （ 11 分）所以 QMN 的面 的最大 （ 12 分）【点 】 本 考 的 准方程、直 、 、与 等 知

16、，考 推理 能力、运算求解能力，考 函数与方程思想、化 与 化思想、数形 合思想等5已知 P 定点且与 N：相切， 心P 的 迹 曲 C（ ）求曲 C 的方程；（ ） 点 D（ 3，0）且斜率不 零的直 交曲 C 于 A，B 两点，在 x 上是否存在定点Q，使得直 AQ， BQ的斜率之 非零常数？若存在，求出定点的坐 ；若不存在， 明理由【分析】（ ）由 意可知丨PM 丨+丨 PN 丨 =4丨 MN 丨 =2， P 的 迹 C 是以 M ，N 焦点， 4 的 ， a=4， c=，b2=a2 c2=1，即可求得 方程；第 7 （共 13 ）（ ）将直线方程代入椭圆方程，考查韦达定理，直线的斜率公

17、式，当且仅当 ，解得 t= 2，代入即可求得，定点的坐标【解答】 解：（ ）设动圆 P 的半径为 r，由 N： 及 ，知点 M 在圆 N内，则有 ，从而丨 PM 丨 +丨 PN 丨=4丨 MN 丨=2 ，P 的轨迹 C 是以 M ，N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，设曲线 C 的方程为： （ab 0），则 2a=4， a=4，c= ，b2=a2c2=1故曲线 C 的轨迹方程为 ；（ ）依题意可设直线 AB 的方程为 x=my+3，A（ x1，y1），B（x2， y2 ），由 ，整理得：（ 4+m2）y2+6my+5=0，则 =36m2 45（ 4+m2） 0，即 m2 4，解得： m2 或 m

18、 2，由 y 1+y2 =，y1y2=， x1+x2=m（y1+y2）+6=，x1x2=（my1 +3）（my2 +3） =m2y1y2+m（y 1+y2）+9= ，假设存在定点 Q（t ，0），使得直线 AQ，BQ 的斜率之积为非零常数，则（x1 t）（ x2t ） =x1 2 t（ x1+x2） +t2=t 2=，x+tkAQ?kBQ= ? = = ，要使 kAQ?kBQ 为非零常数，当且仅当 ，解得 t=2，当 t=2 时，常数为 = ，当 t= 2 时，常数为 = ，第 8页（共 13页）存在两个定点 Q1（2， 0）和 Q2 （ 2， 0），使直 AQ，BQ 的斜率之 常数，当定点

19、Q1（ 2，0） ，常数 ；当定点 Q2（ 2， 0） ，常数 【点 】 本 考 准方程及 几何性 ， 的定 ，考 直 与 的位置关系， 达定理，直 的斜率公式，考 算能力，属于中档 6如 所示，在 ABC中， AB 的中点 O，且 OA=1，点 D 在 AB 的延 上，且 固定 AB，在平面内移 点 C，使得 M 与 BC， AC 的延 相切，并始 与 AB 的延 相切于点 D， 点C 的 迹 曲 以 AB 所在直 x ， O 坐 原点如 所示建立平面直角坐 系（ ）求曲 的方程；（ ） 直 l 交曲 于 E、 F 两点，且以 EF 直径的 点 O，求 OEF面 的取 范 【分析】（ ）确定

20、点 C 迹 是以 A，B 焦点， 4 的 ，且挖去 的两个 点，即可求曲的方程；（ ）可 直 ， 而表示面 ， 即可求 OEF面 的取 范 【解答】 解：（ ）依 意得 AB=2，BD=1， M 与 AC 的延 相切于 T1，与 BC 相切于 T2 ， AD=AT1， BD=BT2， CT1=CT2所以 AD+BD=AT+BT =AC+CT +BT =AC+CT +CT =AC+BC=AB+2BD=4 AB=2（2 分）1 2 1 2 1 2所以点 C 迹 是以 A，B 焦点， 4 的 ，且挖去 的两个 点 曲 的方程 （ 4 分）（ ）由于曲 要挖去 两个 点，所以直 OE， OF 斜率存在

21、且不 0 ，所以可 直 （ 5 分）由 得 ， ，同理可得： ， ；第 9 （共 13 ）所以 ，又 OE OF，所以 （8 分）令 t=k2+1 ， t 1 且 k 2=t 1 ， 所 以=（10 分）又 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 OEF面 的取 范 （ 12 分）【点 】 本 考 迹方程，考 直 与 位置关系的运用，考 三角形面 的 算，考 学生分析解决 的能力，属于中档 7已知 ABC的 点 A（1， 0），点 B 在 x 上移 ， | AB| =| AC| ，且 BC 的中点在 y 上（ ）求 C 点的 迹 的方程；（ ）已知 P（ 0， 2）的直 l 交 迹 于不同两点

22、 M， N，求 ： Q（ 1，2）与 M， N 两点 QM， QN 的斜率之 定 【分析】（ ）利用直接法，求 C 点的 迹 的方程；（ ） 直 l 的方程 y=kx 2，与抛物 方程 立，求出斜率，即可 明 【解答】解：（ ） C（ x，y）（ y 0），因 B 在 x 上且 BC 中点在 y 上，所以 B（ x，0），由| AB| =| AC| ，得（ x+1）2=（x 1） 2+y2，化 得 y 2=4x，所以 C 点的 迹 的方程 y2=4x（y 0）（ ）直 l 的斜率 然存在且不 0， 直 l 的方程 y=kx 2， M （x1， y1 ）， N（ x2， y2），由 得 ky2

23、4y 8=0，第10 （共 13 ）所 以 ， ， ， 同 理 ，所以 Q（1， 2）与 M ，N 两点 的斜率之 定 4【点 】 本 考 迹方程，考 直 与抛物 位置关系的运用，考 学生的 算能力，属于中档 8已知 M： x2+y2 +2y 7=0 和点 N（0， 1）， P 点 N 且与 M 相切， 心 P 的 迹 曲 E（1）求曲 E 的方程；（2）点 A 是曲 E 与 x 正半 的交点， 点 B、C 在曲 E 上，若直 AB、AC的斜率 k1，k2 ， 足 k1k2=4，求 ABC面 的最大 【分析】（1）利用 与 的位置关系，得出曲 E 是 M， N 焦点， 的 ，即可求曲 E的方程

24、；（2） 立方程 得 （ 1+2t2 ）y2+4mty +2m2 2=0，利用 达定理， 合 k1k2 =4，得出直 BC 定点（ 3， 0），表示出面 ，即可求 ABC面 的最大 【解答】 解：（1） M ： x2+y2+2y 7=0 的 心 M（ 0， 1），半径 点 N（ 0， 1）在 M 内，因 P 点 N 且与 M 相切，所以 P 与 M 内切 P 半径 r， r=| PM| 因 P 点 N，所以 r=| PN| ，| MN| ，所以曲 E 是 M， N 焦点， 的 由，得 b2=2 1=1，所以曲 E 的方程 （4 分）（ ）直 BC斜率 0 ，不合 意B（x1 ，y1 ）， C（

25、 x2， y2），直 BC：x=ty+m， 立方程 得 （ 1+2t 2） y2+4mty +2m2 2=0，又k 1k2=4，知 y1y2 =4（x1 1）（x2 1）=4（ty1 +m 1）（ ty2+m 1）= 代入得又 m 1，化 得（ m+1）（ 1 4t2 ）=2（ 4mt 2）+2（m 1）（ 1+2t 2），第11 （共 13 ）解得 m=3，故直 BC 定点（ 3， 0）（8分）由0，解得t24，=（当且 当 取等号） 上， ABC面 的最大 （ 12 分）【点 】 本 考 与 的位置关系，考 的定 与方程，考 直 与 位置关系的运用，考 达定理，属于中档 9已知 点 A（

26、0， 1）且斜率 k 的直 l 与 C：（x 2）2+（ y 3） 2=1 交于点 M，N 两点（1）求 k 的取 范 ；（2） 是否存在 数 k 使得 （其中 O 坐 原点），如果存在 求出 k 的 ，并求 | MN | ；如果不存在， 明理由【分析】（1） 出直 方程，利用直 与 的位置关系，列出不等式求解即可（2） 出 M，N 的坐 ， 利用直 与 的方程 立， 通 达定理， 合向量的数量 ， 求出直 的斜率，然后判断直 与 的位置关系求解 | MN| 即可【解答】 解：（1）由 ，可知直 l 的方程 y=kx+1，因 直 l 与 C 交于两点，由已知可得 C 的 心 C 的坐 （ 2，

27、3），半径 R=1故由 1，解得： k所以 k 的取 范 得（ ， ）（2） M （x1 ，y1），N（x2，y2）将y=kx+1 代入方程：（x 2）2+（y 3） 2=1，整理得（ 1+k2）x2 4（1+k） x+7=0所以 x1+x2=，x1x2 =，? =x1x2+y1y2 =（1+k2）（ x1x2）+k（ x +x ） +1=12，1 2解得 k=1，所以直 l 的方程 y=x+1故 心 C 在直 l 上，所以 | MN | =2【点 】 本 主要考 直 和 的位置关系的 用，以及直 和 相交的弦 公式的 算，考 学生的 算能力，是中档 10已知 O 坐 原点，抛物 C： y2=nx（n 0）在第一象限内的点 P（2， t）到焦点的距离 ，C 在点P 的切