专题13整式的乘除精讲精练知识梳理+典例剖析+变式训练七年级下学期期末考试解析版浙教版.docx

1、专题13整式的乘除精讲精练知识梳理+典例剖析+变式训练七年级下学期期末考试解析版浙教版2020-2021学年七年级下学期期末考试高分直通车【浙教版】专题1.3整式的乘除精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【目标导航】【知识梳理】一幂的运算1.同底数幂的乘法：（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加（m，n是正整数）（2）推广：（m，n，p都是正整数）2.幂的乘方与积的乘方：（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘（m，n是正整数）注意：幂的乘方的底数指的是幂的底数；性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别（2）积的乘方法

2、则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘（n是正整数）注意：因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果3.同底数幂的除法：同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减（a0，m，n是正整数，mn）4.零指数幂与负整数指数幂：零指数幂：a0=1（a0） 负整数指数幂：（a0，p为正整数）二整式的乘法1.单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式2.单项式乘多项式：（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的

3、积相加（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；注意确定积的符号3.多项式乘多项式：（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加（2）运用法则时应注意以下两点：相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积三整式的除法1.单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式关注：

4、从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：系数相除；同底数幂相除；对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式2.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式多项式除以单项式的结果仍是一个多项式四乘法公式1.完全平方公式：（1）完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”（2）完全平方公式有以下几个特征：左边是两个数的和的平方；右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同（3）应用完全平方公式时，要注意：公式中的

5、a，b可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式2.平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差（a+b）（a-b）=a2-b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方；公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便【典例剖析】考点1 同底数幂的乘法【例1】

6、（2020秋封开县期末）若xm3，xn6，求xm+n的值为18【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可【解析】因为xm3，xn6，所以xm+nxmxn3618故答案为：18【变式1-1】（2020秋鼓楼区校级期中）已知xm5，xn3，则xm+n的值为15【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加；据此解答即可【解析】xm5，xn3，xm+nxmxn5315故答案为：15【变式1-2】（2020春江干区期末）若2x+y20则52x5y25【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加【解析】2x+y20，52x5y52x+y5225故答案

7、为：25【变式1-3】（2021春毕节市月考）若xm+n18，xm3，求xn的值为6【分析】根据同底数幂乘法的逆运算，将xm+n变形为xmxn，然后代入计算即可【解析】xm+nxmxn18，xm3，xn6故答案为：6【变式1-4】（2020秋费县期末）已知2x8，则2x+3的值为64【分析】根据同底数幂乘法的法则进行计算即可【解析】2x+32x238864，故答案为：64考点2 幂的乘方与积的乘方【例2】（2020春上虞区期末）若axa3（a2）3，则x3【分析】根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则解答即可【解析】axa3ax+3（a2）3a6，x+36，解得x3故答案为：3【变式2-1

8、】（2019春西湖区校级月考）已知m2n44，那么（2mn2）364【分析】先根据算术平方根的定义得出mn22，再根据积的乘方法则计算即可【解析】m2n44，（2mn2）3（22）3（4）364或（2mn2）32（2）34364故答案为：64【变式2-2】（2020春杭州期末）若m，n均为正整数，且3m19n243，则m+n的值是4或5【分析】根据同底数幂的乘法法则以及幂的乘法运算法则解答即可【解析】3m19n3m132n24335，m1+2n5，即m+2n6，m，n均为正整数，或，m+n4或5故答案为：4或5【变式2-3】（2019春乐清市期中）（0.125）7888【分析】先转化为同底数的

9、幂相乘，再根据积的乘方，底数不变指数相乘求解即可【解析】（0.125）788，（0.125）7878，（0.1258）78，8【考点3】同底数幂的除法【例3】（2020春宁波期末）已知3x5，3y10，则3xy的值为【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可，同底数幂相除，底数不变，指数相减【解析】3x5，3y10，3xy3x3y故答案为：【变式3-1】（2020春北仑区期末）已知3x2y30，求23x22y8【分析】把3x2y30变形为3x2y3，再根据同底数幂的除法法则计算即可【解析】由3x2y30得3x2y3，23x22y23x2y238故答案为：8【变式3-2】（2020秋乌海期末）如果1

10、0x7，10y21，那么102xy【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘【解析】10x7，10y21，102xy102x10y（10x）210y7221故答案为：【变式3-3】（2020春瑞安市期中）已知2m3，2n5，则2mn，22m+n45【分析】利用同底数幂的除法和乘法进行计算即可【解析】2m3，2n5，2mn2m2n35，22m+n22m2n（2m）22n9545，故答案为：；45【变式3-4】（2019春西湖区校级月考）若5x3y20，则25x8y4【分析】根据5x3y20和

11、同底数幂的除法可以求得所求式子的值，本题得以解决【解析】5x3y20，5x3y2，25x8y25x23y25x3y224，故答案为：4【考点4】零指数幂与负整数指数幂【例4】（2019春金华期中）若（m+1）2m21，则m1，0，2【分析】直接利用m+11或m+11或2m20分别分析得出答案【解析】当m+11，解得：m0，此时（m+1）2m21，当m+11，解得：m2，此时（m+1）2m21，当2m20，解得：m1，此时（m+1）2m21，综上所述：m的值为：1，0，2故答案为：1，0，2【变式4-1】（2020春越城区校级期中）若（1x）13x1，则x的取值有2个【分析】直接利用零指数幂的性

12、质以及有理数的乘方运算法则得出答案【解析】（1x）13x1，当13x0时，原式1，当x0时，原式111，故x的取值有2个故答案为：2【变式4-2】（2019春西湖区校级月考）（2017）0+（1）20190【分析】依据零指数幂的运算法则以及乘方的符号法则进行计算即可【解析】（2017）0+（1）20191+（1）0，故答案为：0【变式4-3】（2020春北仑区期末）（2）0（）12【分析】利用零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则计算即可【解析】（2）0（）1122故答案为：2考点5单项式乘单项式【例5】（2020秋江北区校级期中）计算（9a2b3）8ab272a3b5【分析】直接利用单项

13、式乘单项式运算法则计算得出答案【解析】（9a2b3）8ab298a2ab3b272a3b5故答案为：72a3b5【变式5-1】（2020春渌口区期末）计算式子（1.5105）（0.38103）的结果用科学记数法表示为5.7107【分析】原式各项利用单项式乘单项式法则计算，结果化为科学记数法即可【解析】（1.5105）（0.38103）0.571085.7107故答案是：5.7107【变式5-2】（2020春相城区期中）已知单项式3x2y3与5x2y2的积为mx4yn，那么mn20【分析】将两单项式相乘后利用待定系数即可取出m与n的值【解析】3x2y3（5x2y2）15x4y5，mx4yn15x

14、4y5，m15，n5mn15520故答案为：20【变式5-3】（2020春建湖县期中）计算3ab2a2b的结果为6a3b2【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案【解析】3ab2a2b6a3b2故答案为：6a3b2考点6单项式乘多项式【例6】（2020永康市模拟）已知x24x10，则代数式x（x4）+1的值为（）A2 B1 C0 D1【分析】由条件可得x24x1，再把代数式x（x4）+1展开计算可得答案【解析】x24x10，x24x1，x（x4）+1x24x+11+12，故选：A【变式6-1】（2020春嘉兴期末）已知，a+b2，bc3，则代数式ac+b（cab）的值是（）A5 B

15、5 C6 D6【分析】先利用整式的混合计算化简，再代入数值解答即可【解析】ac+b（cab）ac+bcabb2c（a+b）b（a+b）（a+b）（cb），把a+b2，bc3代入（a+b）（cb）236，故选：C【变式6-2】（2020秋天津期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：3x（2x2+3x1）6x3+3x，“”的地方被墨水污染了，你认为“”内应填写（）A9x2 B9x2 C9x D9x【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则计算可得出答案【解析】3x（2x2+3x1）6x39x2+3x，故选：B【变式6-3】（2020秋历下区期末）当

16、a2b2时，则代数式4a8b6的值为（）A14 B2 C4 D2【分析】根据添括号法则把原式变形，把a2b2代入计算，得到答案【解析】4a8b64（a2b）6，当a2b2时，原式4262，故选：D【变式6-4】（2020秋岳麓区校级月考）若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x4，则长方体的体积为（）A3x34x2 B6x28x C6x38x2 D6x38x【分析】根据长方体的体积长宽高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可【解析】由题意知，V长方体（3x4）2xx6x38x2故选：C考点7多项式乘多项式【例7】（2020春北仑区期末）若（x1）（x+3）x2+mx+n，那么m

17、，n的值分别是（）Am1，n3 Bm4，n5 Cm2，n3 Dm2，n3【分析】运用多项式与多项式相乘的法则将等式左边展开，通过比较左右两边的对应项系数，将问题转化为关于m，n的方程来确定m，n的值【解析】（x1）（x+3）x2+2x3x2+mx+n，m2，n3故选：C【变式7-1】（2020秋兴宁区校级期中）关于x的代数式（3ax）（3+2x）的化简结果中不含x的一次项，则a的值为（）A1 B2 C3 D4【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x的一次项，求出a的值即可【解析】原式9+6x3ax2ax22ax2+（63a）x+9，由结果不含x的一次项，得到63a0，解得：a2

18、故选：B【变式7-2】（2020春东阳市期末）已知（x2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（）Am2，n4 Bm3，n6 Cm2，n4 Dm3，n6【分析】多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；不含某一项就是说这一项的系数为0；依此即可求解【解析】原式x3+（m2）x2+（n2m）x2n，又乘积项中不含x2和x项，m20，n2m0，解得m2，n4故选：A【变式7-3】（2020秋江汉区期中）若（x+2）（x+a）的积中不含x的一次项，则常数a的值为（）A0 B1 C2 D2【分析】先运用多项式的乘法法则计算，再合并同

19、类项，因积中不含x的一次项，所以让一次项的系数等于0，得a的等式，再求解【解析】（x+2）（x+a），x2+ax+2x+2a，x2+（a+2）x+2a，积中不含x的一次项，a+20，解得a2常数a的值为2；故选：D【变式7-4】（2019春西湖区校级月考）若（x+1）（2x2ax+1）的运算结果中，x2的系数为6，那么a的值是（）A4 B4 C8 D8【分析】先运用多项式的乘法法则进行计算，再根据运算结果中x2的系数是6，列出关于a的等式求解即可【解析】（x+1）（2x2ax+1）2x3ax2+x+2x2ax+12x3+（a+2）x2+（1a）x+1；运算结果中x2的系数是6，a+26，解得a

20、8，故选：C考点8完全平方公式【例8】（2021滨江区一模）已知a+b3，且ab1，则a2+b25【分析】根据完全平方公式把已知条件的两多项式平方，然后相加即可得到a2+b2的值【解析】a+b3，ab1，a2+2ab+b29，a22ab+b21，+得，2（a2+b2）9+110，a2+b25故应填5【变式8-1】（2020秋镇原县期末）已知a+b5，ab3则（ab）2的值为13【分析】先根据完全平方公式进行变形，再整体代入，即可求出答案【解析】a+b5，ab3，（ab）2（a+b）24ab524313故答案为：13【变式8-2】（2020秋金昌期末）已知a3，则a2的值是7【分析】把已知条件两

21、边平方，然后整理即可求解完全平方公式：（ab）2a22ab+b2【解析】a3，a2+29，a2927故答案为：7【变式8-3】（2020春九江期末）已知（x+y）21，（xy）249，则x2+y2的值为25【分析】根据完全平方公式把（x+y）2和（xy）2展开，然后相加即可求出x2+y2的值【解析】由题意知：（x+y）2x2+y2+2xy1，（xy）2x2+y22xy49，+得：（x+y）2+（xy）2，x2+y2+2xy+x2+y22xy，2（x2+y2），49+1，50，x2+y225；故答案为：25考点9平方差公式【例9】（2020春奉化区期中）若a+m200，am4，则a2m2800【

22、分析】利用平方差公将所求式子因式分解，然后根据a+m200，am4，即可求得所求式子的值【解析】a+m200，am4，a2m2（a+m）（am）2004800，故答案为：800【变式9-1】（2020春拱墅区月考）计算：（x+y）（xy）x2y2【分析】根据平方差公式求出即可【解析】（）（xy）（x）2y2x2y2，故答案为：x2y2【变式9-2】（2019秋温岭市校级期末）当x1时，ax+b+13，则（a+b1）（1ab）的值为25【分析】由x1时，代数式ax+b+1的值是3，求出a+b的值，将所得的值代入所求的代数式中进行计算即可得解【解析】当x1时，ax+b+1的值为3，a+b+13，a

23、+b4，（a+b1）（1ab）（41）（1+4）25故答案为：25【变式9-3】（2020西湖区一模）已知m29n224，m+3n3，则m3n8【分析】由平方差公式得出m29n2（m+3n）（m3n），代入计算即可得出结果【解析】因为m29n224，m+3n3，m29n2（m+3n）（m3n），所以243（m3n），所以m3n8，故答案为：8考点10整式的混合运算【例10】（2020春绍兴期中）计算：（1）（3a1）（3a+1）（a4）2（2）（15x2y10xy2）（5xy）【分析】（1）直接利用乘法公式进而化简，再合并同类项得出答案；（2）直接利用整式的除法运算法则化简得出答案【解析】（1

24、）原式9a21（a28a+16）9a21a2+8a168a2+8a17；（2）原式（15x2y5xy）+10xy25xy3x+2y【变式10-1】（2020春鄞州区期中）（1）计算：（15x3y+10x2y5xy2）5xy；（2）计算：（3x+y）（x+2y）3x（x+2y）【分析】（1）根据多项式除以单项式法则进行计算便可；（2）先根据多项式乘以多项式法则，单项式乘以单项式法则进行计算，再根据合并同类项法则合并同类项【解析】（1）（15x3y+10x2y5xy2）5xy15x3y5xy+10x2y5xy5xy25xy3x2+2xy；（2）（3x+y）（x+2y）3x（x+2y）3x2+6xy

25、+xy+2y23x26xyxy+2y2【变式10-2】（2019秋确山县期末）计算：（1）（12a36a2+3a）3a（2a1）2（2）（x6）（x+4）+（3x+2）（23x）【分析】（1）首先计算多项式除以单项式和完全平方，然后再合并同类项即可；（2）首先计算多项式乘以多项式，然后再合并同类项即可【解析】（1）原式4a22a+14a2+4a12a；（2）原式x2+4x6x24+49x28x22x20【变式10-3】（2020春江干区期末）如图所示，有一块边长为（m+3n）米和（2m+n）米的长方形土地，现准备在这块土地上修建一个长为（m+2n）米，宽为（m+n）米的游泳池，剩余部分修建成休

26、息区域（1）请用含m和n的代数式表示休息区域的面积；（结果要化简）（2）若m10，n20，求休息区域的面积；（3）若游泳池面积和休息区域面积相等，且n0，求此时游泳池的长与宽的比值【分析】（1）根据图形可知，休息区域的面积长方形土地的面积游泳池的面积，将数值代入计算即可；（2）将m10，n20代入（1）中化简后的式子计算即可；（3）根据游泳池面积和休息区域面积相等列出方程，进而求解即可【解析】（1）由题意可得，休息区域的面积是：（m+3n）（2m+n）（m+2n）（m+n）2m2+7mn+3n2m23mn2n2m2+4mn+n2，即休息区域的面积是：（m2+4mn+n2）平方米；（2）当m10，n20时，m2+4mn+n2102+41020+2021300（平方米），即若m10，n20，则休息区域的面积是1300平方米；（3）由题意可得，（m+2n）（m+n）m2+4mn+n2，m2+3mn+2n2m2+4mn+n2，整理得，n2mn，n0，nm，（m+2n）：（m+n）3m：2m即此时游泳池的长与宽的比值是考点11整式的化简求值【例11】（2020宁波模拟）先化简，再求值：（a2b2ab2b2）b（ab）2，其中a2，b2【分析】直接利用整式的混合运算法则分别化简进而把已知数据代入求出答案【解析】（a2b