华科微积分辅导书习题答案4.docx

1、华科微积分辅导书习题答案4习题4解答(编写：金建华)sin3 X(2)函数= lim2x-Sin2x=lim 邺X X(用到x-sinxx3，据台劳公式)；6 3 6y =x3 -3x2 在是单调减少。1、填空题：，八2xsin2x(1) lim2解 y=3x 6x =3x(x 2) 0= 0x0二 x(m,咼)为所求(5)函数f(X)=4+8x3 -3x4的极大值是解f(X)= 24X - 12x =12X (2-X)在X=2两侧变号，左正右负，X = 2为极大值点，极大值为f(2) =20。(6)函数ax(a0, a工1)的n阶麦克劳林多项式是解 a =exlna在X =0的Taylor多

2、项式由ex的展式来写:11aX=1+xl na+x2l n2a 十+ xn l nna2! n!(7)曲线y=xln(e-1/x)的斜渐近方程为解 k =l i m =l i m ne丄)=1，1 11 ln( e-)-1 ne ln (1-一)1/xb =lim(y-x) =lim x(ln(e-1) -1) =lim x = lim exY X 1/x 1/x1故所求为y = X - 一。ey“(2) = 2，儿 k = 2 o解 y，= 4-2x, y =丄，顶点处 x=2 , y(2)=0 ,(9)四J1 + x + (1 -X -2=lim 2E2 = 1 lim J口一(石42x.

3、”Jlim 2xJ1 - X寸1 + X 4(注，用J1 +x十1xx22 8+ o(x2)更好:此时，分子=1 +丄X21 2 2 1 2-x2 + o(x2)-2 -X2.)8 4(10)若lm fg- f匕)=2 (n为正整数)Xf(X Xo),则当n为奇数时，f (x)在x= x0处当n为偶数时，f (x)在X = x。处解条件=分式最终为正(极限的保号性)。于是 n偶时，f(x) f(x0)O, f(x0)极小；n奇时,f(X)- f(xo)与X-Xo同号.f (xo)非极值.(11)曲线y= xe的拐点为，且该曲线在区间上凹，在区间解 y-X W c-X 丄 一X 人” Cz口 c

4、=e -xe , y = -2e +xe，令 y =0，得 x=2 o当xc2时，y2时，y:0，曲线为凹的；拐点为 (2,2e)(12)若f(X)在0,a 上二阶可导，且 f (X)M，又知f(x)在(0，a)内取得极大值,则必有f (0) + f (a)设在点X0极大，则f (X0)= 0,于是厂(0) = f(O)-f(X0)=X0 ,f (a) = f (a) - f (x。)= f y)a-X0 ,于是f (0) + 厂(a) = f e X0 + f ”(y)a-x0 兰 M(x 0 + a-x0) = Ma2.选择题(1)函数=x2+1和g(x) =2x+1，在区间0,1】上满足

5、柯西定理的E等于()(A)121 2(B)(A)罗尔定理中的三个条件:f(x)在a,b 上连续，在(a,b )内可导，且f(a)= f(b)是f (x)在(a,b )内至少存在一点，使得f()=0成立的(A )必要条件(C)充要条件(B )充分条件(D)既非充分也非必要条件。解充分条件(B)(3)下列函数中在1,e上满足拉格朗定理条件的是(A) ln(ln x)(B)In x(C)p1-(D) In(2 X)。In x在l,e满足(B)(A)设lim f (x)为未定型，则 xTo g(x)必要条件 (B )充要条件lim3xof (x)存在是lim g(x) fgd)f(x)(C)充分条件

6、(D)也存在的()既非充分也非必要条充分 (C)(5)若在区间(a,b)函数 f (x)的 f (X)aO, f (X)0，则f (x)在(a,b)内是()(A )单调减少，曲线上凹(C)单调增加，曲线上凹(B)单调减少,(D)单调增加,曲线下凹曲线下凹解 fo对应单增， 厂0，若f (0) =0，则在(0,丘)内有()(B) f(x)A0(A) f(x)X0设 Xima faF=1，则在 x=a 处()f (x)的导数不存在(A) f(x)的导数存在，且 心)工0 ( B)(C) f (x)取得极小值(D)f (x)取得极大值极小值，同1 (10),选(C)(8)函数 y =x -2x3有(

7、)(A) 一个极大值和一个极小值(C)两个极小值 (D)(B)两个极大值一个极小值，无极大值y = x(x-2)， 一个极小值(D)图形如右设g(x)在(-召畑)上严格单调减少，f (x)在X = x0处有极值，则()(A)g f (x) I在 X = Xo处有极小值(B)g f (x) I在 X = Xo处有极大值(C)g f (x) I在X = Xo处有最小值(D)g f (x) I在 X = xo处既无极大值，也无最小值f(x) g(f (xo)，故为极小值.(A)Xe(10)曲线 y = 1 +x(A)有一个拐点(B)有两个拐点(C)有三个拐点(D)无拐点X2 e ,1 +x (1 +

8、x)2ex 2” D 厶 X丄y = e + 31+x(1+x)2 (1 + x)3(1 +x)2 -2(1 +x) + 2 ,(1+x)3 (1 + x)3它在X = -1两侧变号，但X = -1为无定义点，故无拐点(D)(11 )设f(x)在闭区间 匚1,1 上连续，在开区间(-1,1) 上可导，且 f(X)M(B)f (x) M(C) f(x)兰 M选(C)解 f(X)= f(X)- f (0) = f 徉)(12)若 f”(x)0，贝y(1)、f(2)-f(1)的大小关系为( )(A) f(2) f (1) f (2) f(1)(B)f(2)- f(1) f(2)f (1)(C)fT2

9、)Af(2)-f(1)Af1)(D)f (1)f(2)-f(1)f(2)解 f、0 二 r ，故 f (1) vf(2)-f(1)= f 牡)c f 2)选(C)(13)设f(X)有二阶连续导数，且 (0) =0,limf (0)是f(x)的极大值(B)f(0)是f(X)的极小值(C)(0, f (0)是曲线y = f(x)的拐点(D)f (0)不是f(X)的极值，(0, f (0)也不是曲线y = f (X)的拐点B)匸也t10= f ”与X同号，故推出f(x):0.结合f(0)=0，选(2 X2 + X +1(14)曲线y arctan 的渐近线有()(x 1)(x+2)(B) 2 条(A

10、) 1 条(C) 3 条(D) 4 条兀，非垂2(A ) f (X0)=0(B)f (X0)H0(C) f(X0)=0或 f(X0)不存在f(X0) 不存在解 X T 0时，y T处，故得一条垂直渐近线 X = 1 ； X T 1 时arctan(*) t直渐近线，类似X = -2也不是，再XT K时，yT ，得水平渐近线。选(B )4则必有()(15)设函数f(x)在X=X0连续，若X0为f(X)的极值点,解 选(C)这是两种情形:3.求下列极限:(1) limXJ-xhx x (x1)l nx %n(1+x)11-IX(4) limM7丸 X丿(1 )令x 1=t，(分子化简用到：In(1

11、+x) =limnjimi+M+t)xj (x-1)lnx Ttl n(1 +t)二 tmo1 2 2t_(1+t)(t-t2+o(t2)(2)lim- J = limX jn(1+x) T ln(1 +x) X JPxl n(1 +x)1 2x=limT x2(3 )令 u=丄，化简到分式后使用洛必达法则X5050 _u Ulim u e = lim u- ux ut乂 eu50u49u50!，理57(4)令 t -x化简后使用洛必达法则X ln(ln _)也+e x=exp lim0ln ln 1 x+ 1lim 吻2 limt = ea 11 1Inl t=11(3) lim 1/X10

12、0x_0解：使用洛必达法则要结合等式变形或等价变形等化简手段。1 2 2X x +o(x )，下题也是)24已知f (x)在x=0处有三阶导数，且 f(0) =0, f(0)=0,厂(0) =2，厂(0) = 3，求极限limf(x)-x2x3解一：由f(x)在Xi处Taylor公式，得：埠x3+o(x3)，于是1 3 3f(x)-x2 尹 +o(x) 1 lim ( )3 = lim 2 3 =-T X3 X3 2解二：由洛必达法则也可以。注意 0/0型条件的检验。2f(x)X f(x)-2x 1,. (x)2 r. f”(x)-f(0) 1、13x2X0lim = lim = - lim

13、= -lim j =- f (0)=-XT x3 T 3x2 6T X 6xT X0 6 2(注：最后一步极限只可使用导数定义，决不可以用洛必达！因为三阶导函数可以不存在) 5证明下列不等式(1)当 0cx；1 时，e2x c1 +X1 -X解：设 f(X)= (1 x)e2x 一(1 + X)，原不等式 U f(X)c 02x 2xf(x)=e (1 2x) 1, f (X)= 4xe v0= f x)在(o,i)内单调减，且 f(0)=0丁 f(x)c0= f (x)在(0,1)内单调减，又由 f (0)=0,故在(0,1)内 f(x)0(1-x)e2x 1 + x XH1 故ex21 +

14、x0 时，故 f (0) =1是f(x)的极大值，也是最大值(xc1)f(X)=(1 -X)ex f (0) =1，因X 1 即得 1 -X(2)当 X 1 时，eX 0时f(x)c0，当xv0X 2(3)当 X 5时，2 x解：令F(x)二心),XfW22 一 2)因当 X 5时，xln2-2 4In2-2 =ln162 e0，故 F (X) 0，从而 F(X) F (5) 1/. 2x2 (X 5).L 1In (1 + U2)与之大小,1 + J2(4)比较J2 1和In(1 + J2)的大小解：因J2-1 =产，故问题在于比较 1 +J21 1令 f(x) =l nx- , f (2)

15、 =l n2 0X 21 1f(x)=+p0 (x2) 则 f(x)f(2)0 (x2)X X令 X =1 叵，即得 ln(1 +72) 72-1.6.求下列函数的极值:(1) f(x)=(x +2)2(x-1)解：f(x)=2(x +2)(x-1) +(x+2)2=3x(x + 2) = 0= x = 2,x=0f (x) =6x+6, f (0) =6 0 f 在 x=0处取得极小值，且 f(0) = -4f -2) = -Q0，:. f 在 x = 2处取得极大值，且 f(-2)=0(2) f(X)=r(x2 +3x+1)+ e2解：fX)=e(2 +x)(1 x) = 0= X = -

16、2, X =1. f (x) =e(x2-x-3)f “(2) =3e2 aO , f(X)在X = -2处取得极小值，且极小值为f(2) = 0f (1) = -3e 0lx + 1,x 0f(xr,( ) xoX(TO)01(0-) e1e1(，p)ef x)+不存在一0+f(x)z极大值极小值z由上面的表可知，f(x)的极大值为f (0) = 1，极小值为1在 X =1 处，f (x)不可导，令 f (X)= 0= X =- e7.已知f(X)= 2x3 +ax2 +bx +9有两个极值点x = 1, x = 2，求f (x)的极大值与极小值.解:f (X)=6x +2ax +b从中解得

17、a = 9,b =12f (1) =6 +2a+ b = 0 (1)厂(2) =24 +4a+b =0 (2)即得f(X) =2x3 -9x2 +12x+9，f(X)=12x 18, f (1) = - 0二f(x)在x =1处取得极大值，且f (1) =142 X2&求f（x） =x e-在（二E 内最大值和最小值.X2 22x2Xlim f(X)= lim = 0解：f(x)=2xe (1 X ) = 0= X =0,1.lim f(X)= lim x2e = lim = lim 2 = 0 , J 乂 一 七泊乂 2XeXf（0） =0, f（1） f（X）在（二,咼）内最大值为9.求下

18、列曲线的渐近线:) y3x2XnX. X -l i m 2 0,-X解*3 一/. X = 73为垂直渐近线.二y = 0为水平渐近线.ix-1(2) y=X +1xe，,最小值为0.解：lim NX = -1为垂直渐近线，y =1为水平渐近线.10.研究方程xin x+A=0实根的个数.X(0,)e丄e（丄严）ey = xln XJ 1 l tf (x)一0+f(x)、极小值z/ .A0-1-W1 Xe解：令 f(X)= X ln X + A，贝U f (X)= in x +1 = 0 =1X = 一eiim+f(x)=A,r，畑）内方程有一根.e1（1 ）若A0，则在（0,）内方程无根，在

19、e1 1e1 1在（0,）内 f（X）a0，在（,亦）内 f（x） a0，即方 e e（2 ）若0A8.解：设f (x)在x=a处(a迂(0,1)取得最小值，则 f(a) =0, f (a) =-1,由台劳公式当 X =0,x = 1 时f(x) = f(a) + f (a)(x-a) 厂(匚)(x-a)2,f(0) = f(a) +(a)(a)+：G)a2 f(1)=f(a) + f(a)(1-a)+2f(G)(1-a)2f(0)= f(i) =0, f (a) = 1,(a) =0则有2f 7匚1)= 2,(0v 匚1 va)af 3(1 - a)刁，(0 V 匚2 ca)于疋若1 1a8

20、) ； a-时，f 徉 2)8.由此可得 f(匚) 8 .(0 丈匚 c 1)16.由2 2y=0,x=8, y=x所围成的曲边三角形 OAB，在曲边OB(y = x ,a x8)上求一2点C，使得过此点所作y = x之切线与OA,OB所围成的三角形面积最大解：设过曲线y=x2上点c(x,b)处的切线方程为 Y-y = y(X-x),将y=x2代入上式得Y- y =2x(X -X)此切线与X =8,Y = 0的交点纵坐标与横坐标分别为O Xm, 2切线与X =8, y = 0所围成的三角形的面积为1 XS(X匕(8 弓2X(8 一 X)仃3于是 s(x)=4x2-16x+640= X =16

21、及 x = 16 (舍去)3因为只有一个极值点，所以，当=16时，s(x)取得最大值，故所求的点是(6,?56).3 3 9In X17.作出函数y=的图形解：(1)定义域(0,畑)2 ,y2In X3x3p z 3/2令 y，=0二 x = e,yH=0二 x=e(3)导数符号变化区间如下:X(0,e)e(e,e3/2)3/2ez 3/2 , (e ，邑)y，+0一一一rr y一一一0+yzn极大 n拐点 u极大值为，2e3/2)(e3/2 31y(e)=拐点为e(4)渐近线X = 0为垂直渐近线In XlimXT0+ xIn x 1lim = lim = 0 y = 0为水平渐近线.18.求曲线y=2(x-1)2的最小曲率半径解：y = 4(x -1), y = 4 , K =丄 23/2(1 + y )1+16(x-1)23/2，K 最大L R最小u 左式中分母最小 u x=1。最小曲率半径 R=-。4