北京市西城区学年高二上学期期末考试数学理试题.docx

1、北京市西城区学年高二上学期期末考试数学理试题北京市西城区2015 2016学年度第一学期期末试卷 高二数学 2016.1（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟题号一二三本卷总分151617181920分数一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1命题“若，则”的逆命题是（ ）（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则2圆心为，且与轴相切的圆的方程是（ ）（A）（B）（C）（D）3在空间中，给出下列四个命题： 平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行； 平行于同一条直线的两条直线互相平行；垂直

2、于同一条直线的两条直线互相平行其中真命题的序号是（ ）（A）（B）（C）（D）4实轴长为，虚轴长为的双曲线的标准方程是（ ）（A）（B）（C），或（D），或5“直线垂直于平面内无数条直线”是“直线垂直于平面”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6. 某几何体的三视图如图所示其中主视图中是边长为的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为（ ）（A） （B）（C） （D）7已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）8. 已知四面体的侧面展开图如图所示，则其体积

3、为（ ）（A） （B）（C） （D）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.9. 命题“，”的否定是_.10. 已知直线：，：. 若，则实数_.11. 已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为_. 12. 如图，正方体中，直线和所成角的大小为_；直线和平面所成角的大小为_.13. 在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量是，且平面过点.若是平面上任意一点，则点的坐标满足的方程是_. 14. 平面内到定点和定直线的距离之和等于的动点的轨迹为曲线关于曲线的几何性质，给出下列三个结论： 曲线关于轴对称； 若点在曲线上，则； 若点在曲线上，则.其中，所有正确结论的序

4、号是_.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，四棱锥的底面为菱形，是棱的中点（）求证：平面； （）若，求证：平面平面16.（本小题满分13分）已知抛物线的准线方程是.（）求抛物线的方程；（）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.17.（本小题满分13分）如图，在直三棱柱中，点在棱上，且.（）求证：；（）求二面角的大小.18.（本小题满分13分）如图，在直角坐标系中，已知圆：点，在圆上，且关于轴对称 （）当点的横坐标为时，求的值；（）设为圆上异于，的任意一点，直线，与轴分别交于点，证明：为定值19.（本小题满分1

5、4分）如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点该四棱锥的俯视图和左视图如图2所示 （）求证：平面； （）求证：平面； （）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点；若不存在，说明理由 20.（本小题满分14分）如图，已知四边形是椭圆的内接平行四边形，且，分别经过椭圆的焦点，.（）若直线的方程为，求的长； （）求平行四边形面积的最大值.北京市西城区2015 2016学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准 2016.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.A 2.B 3.C 4. D 5.B 6.C 7. B 8.D 二、

6、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 10. 11. 12.， 13. 14. 注：12题第一空2分，第二空3分；14题少选不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）（）证明：设交于点，连结 【 1分】因为 底面为菱形， 所以为中点 因为是的中点，所以 【 4分】因为平面，平面，所以平面 【 5分】（）证明：连结 【 6分】因为 底面为菱形，所以，为中点 【 8分】因为，所以 【10分】所以平面 【11分】因为平面，所以 平面平面 【13分】16.（本小题满分13分）（）解：因为抛物线的准线方程为， 【 2分】所以， 解得， 【 4分】所以 抛物线

7、的方程为. 【 5分】 （）证明：设，.将代入，消去整理得. 【 7分】所以. 【 8分】由，两式相乘，得， 【 9分】注意到，异号，所以. 【10分】所以直线与直线的斜率之积为， 【12分】即. 【13分】17.（本小题满分13分）（）证明：因为直三棱柱， 所以，. 又，所以，两两互相垂直. 【 1分】 如图，以为原点，建立空间直角坐标系. 【 2分】则，. 由，得. 【 3分】 所以，. 因为， 【 4分】 所以. 【 5分】（）解：，.设平面的一个法向量为，则 【 7分】所以取，得. 【 9分】又平面的一个法向量为， 【10分】 所以， 【12分】 因为二面角的平面角是锐角，所以二面角的

8、大小是. 【13分】18.（本小题满分13分）（）解：因为点在圆上，横坐标为不妨设，由对称性知， 【 2分】 所以 【 5分】（）解：设，由对称性知，且 【 6分】设，则 【 7分】 ， 【 9分】 在上述方程中分别令，解得 ， 【11分】 所以 所以 【13分】19.（本小题满分14分）（）证明：由俯视图可得，所以 【 1分】又因为平面，所以， 【 3分】所以平面 【 4分】（）证明：取上一点，使，连结， 【 5分】由左视图知，所以， 【 6分】在中，易得，所以，又， 所以，又因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以 【 8分】因为平面，平面， 所以 直线平面 【 9分】（）解：线段上存在点

9、，使与所成角的余弦值为 【10分】证明如下：因为平面，建立如图所示的空间直角坐标系所以 设，其中 【11分】所以，要使与所成角的余弦值为，则有 【12分】所以，解得或，均适合 【13分】故点位于点处，或中点处时，均符合题意 【14分】20.（本小题满分14分）（）解：由 解得， 【 2分】所以两点的坐标为和， 【 4分】所以. 【 5分】（）解： 当直线的斜率不存在时，此时易得， 所以平行四边形的面积为. 【 6分】 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将其代入椭圆方程，整理得. 【 8分】设点，. 则，. 【10分】 连结， 则平行四边形的面积. 【11分】 又 . 【13分】 所以. 综上，平行四边形面积的最大值是. 【14分】