《概率统计》作业题参考答案.docx

1、概率统计作业题参考答案概率统计作业题参考答案概率统计作业题答案cy091017 王少玲1. 某工厂生产的产品以100个为一批.在进行抽样检查时,只从每批抽取3个来检查,如果发现其有次品,则认为这批产品不合格.假定每批产品求(1(2)在一批产品能通过检查的条件下,这批产品没有次品的概率.解 (1)记A =产品能通过检查,B i =产品有i 个次品 (i =0,1,2),则3.0)(,4.0)(,3.0)(210=B P B P B P 941.0)|(,97.0)|(,1)|(31003982310039910=C C B A P C C B A P B A P 由全概率公式,得所求概率为970

2、.0)|()()(20=i i i B A P B P A P(2)我们要求的概率是309.0970.03.01)()()|()()()|(0000=A P B P B A P A P AB P A B P2. 发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“”及“-”。由于通讯系统受到干扰,当发出信号“”时,收报台以概率0.8及0.2收到信号“”及“-”;又当发出信号“-”时,收报台以概率0.9及0.1收到信号“-”及“”。求: (1)收报台收到信号“”的概率;(2)当收报台收到信号“-”时,发报台确系发出信号“-”的概率。解 (1)记A =收报台收到信号“”,B =发报台发出信号“”,则4.0)(

3、,6.0)(=B P B P 9.0)|(,1.0)|(,2.0)|(,8.0)|(=B A P B A P B A P B A P由全概率公式,收报台收到信号“”的概率为 52.0)|()()|()()(=+=B A P B P B A P B P A P(2)当收报台收到信号“-”时,发报台确系发出信号“-”的概率是75.048.04.09.0)(1)()|()()()|(=-=A P B P B A P A P B A P A B P3. 两台机床加工同样的零件 ,第一台出现废品的概率为 0.05,第二台出现废品的概率为0.02,加工的零件混放在一起。若第一台车床与第二台车床加工的零件数

4、比例为5 : 4,求:(1)任意从这些零件取出一个恰为合格品的概率;(2)任意从这些零件取出一个,发现恰为合格品。试问它为第二台车床加工的可能性有多大?解 i A =“ 所取的零件由第i 台机床加工” (i =1,2), B =“ 取出的零件为合格品”; 则(1)由全概率公式,任意从这些零件取出一个恰为合格品的概率是:(2)由贝叶斯(Bayes )公式知,所求概率为:4. 用甲胎蛋白法普查肝癌,由过去的资料得到灵敏度(即癌症患者检测结果呈阳性的概率)是95%、特异度(即正常人检测结果呈阴性的概率)是90%。又已知广州肝癌发病率为0.02%(1999年数据),即每一万广州人有两人得肝癌。假设某人

5、的检验结果是阳性,试问:他应该沮丧到什么程度? 解 答案是令人惊讶的,他甚至应该保持谨慎乐观的态度。 为什么呢?我们来求一下他真的患有肝癌的(条件)概率。 令 A =检验结果是阳性,B =他真的患病,则)|()()|()()|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=%19.0%)901(%)02.01(%95%02.0%95%02.0-+=5. 设连续随机变量X 的概率密度为:2()1Af x x =+,x -求:(1)常数A ;(2)X 落在区间0,1内的概率;(3)X Y e =的概率密度。 解 (1)由概率密度的性质,有2211()arct

6、an 11A f x dx dx A dx A x A x x -=+,故 1A =。 (2)由概率计算公式知,所求概率为11021111(01)arctan (1)44P X dx x x =+; (3)随机变量函数X Y e =的分布函数为ln 20,0;()()1(ln ),0.(1)X yY y F y P e y P X y dx y x -=+ 故X Y e =的概率密度是20,0;()()1,0.(1(ln )Y Y y f y F y y y y =+6. 设随机变量X 的分布函数为 ()arctan F x A B x =+,x -+。 (1)求常数,A B ;(2) 求(|

7、1)P X ;(3)求概率密度。 解 (1)由0)(lim =-x F x 及1)(lim =+x F x ,得0)2(=-+B A , 1)2(=+B A解得 1,21=B A ;(2)(|1)P X 其它 求:(1)常数C ;(2)概率(3)P X Y +;(3)X 、Y 的边缘概率密度;并判断X 与Y 是否独立。 解 (1)由联合概率密度的性质,有(2)200001(,)2x y xy C f x y dxdy Ce dxdy C e dx e dy -+-=,故 2C =。(2)由概率计算公式知,所求概率为333(2)22(3)30,0(3)22(1)x x y xyx x x y x

8、 y P X Y edxdy e dx edy e e dx -+-+=-33(6)(6)320()()(1)x x x x e edx e ee -=-=-+=-;(3)X 、Y 的边缘概率密度分别为(2)02,0;()(,)0,0.x y x X edy e x f x f x y dy x -+-=22,0;()0,0.y Y e y f y y -= 显然(,)()()X Y f x y f x f y =,故X 与Y 独立。8. 设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度为(23),0,0;(,)0,.x y Ae x y f x y -+=其它 求(1)系数A ;(2)(,)X Y

9、 落在区域:0,0,236R x y x y + 内的概率为)632,0,0(=Y X Y X P -=-+-.0,0;0,26),()(20)32(x x e dy edy y x f x f x y x X=-.0,0;0,3),()(3y y e dx y x f y f y Y 显然(,)()()X Y f x y f x f y =,故X 与Y 独立。9. 设随机变量0,2X U 与(2)Y e 独立,求:(1)二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度;(2)概率()P X Y 。 解 (1)随机变量0,2X U 的密度为=-其它。,0;0,2)(2y e y f y Y随机变量(,

10、)X Y 的联合概率密度为-=2020202xy x y x ydy e dx dxdy e)1(414121420222|-=-=e e dx e x x 。10. 设袋有2个白球和3个黑球,每次从其任取1个球,直至取到黑球为止,分别就(1)不放回取球与(2)有放回取球两种情形 计算取球次数的数学期望、方差与标准差. 解 设X 与Y 分别表示情形(1)与(2)的取球次数,则不难知道,X 的又7.21.033.026.01)(2222=+=X E故45.0)()()(22=-=X E X E X D ,67.0)()(=X D X 而Y 的概率分布为:6.0)4.0()(1=-k k Y P

11、,1,2,3,k = ,即)6.0(G Y从而356.01)(=Y E ,9106.06.01)(2=-=Y D ,05.1)()(=Y D Y 11. 设随机变量,0U X ,求随机变量函数X Y cos =的数学期望与方差. 解 随机变量,0U X 的密度为=其它。,0;0,1)(x x f 则函数X Y cos =的数学期望与方差分别为-=dx x f x X E Y E )(cos )(cos )(0sin 1cos 1|0=x xdx ;-=-=dx x f x X E Y E Y E Y D )(cos )(cos )()()(222221)2sin(21(21)2cos(1(21

12、cos 1|0002=+=+=x x dx x xdx12. 设二维连续随机变量(,)X Y 的联合概率密度为2,0,1;(,)0,.x y x y f x y -=其它, 试求X 与Y 的协方差。解 由随机变量函数的数学期望的计算公式即知11110000()(,)(2)(2)E X xf x y dxdy x x y dxdy xdx x y dy -=-=-11315(2)24312x x dx =-=-=同理可得125)(=Y E 。又1100()(2)E XY xy x y dxdy =-1021111()23366x x dx -=-=-=故X 与Y 的协方差为1441)()()()

13、,(-=-=Y E Y E XY E Y X Cov13. 设随机变量)4,4(N X ,求:(1)(210)P X -; (3)确定d ,使得()0.9P X d 。 解 (1)3()3()241024242()102(-=-=-=X P X P (3)由)28.1(9.0)24()24(1)2424()(=-=-=-=dd d X P d X P 得28.124-d,故 44.1d14. 设随机变量(1,4)X N ,求下列概率:(1)( 1.6 5.8)P X -;(2)(| 4.56)P X 。 解 (1)3.1()4.2()218.521216.1()8.56.1(-=-=-X P

14、X P 895.0)9032.01(9918.0=-=(2)(| 4.56)P X )2156.4212156.4(1)56.456.4(1-=时,-=-=yx yyx dx edx ey X y P y F 022222221)()(故|Y X =的概率密度为=-0,00,22)()(222y y e y F y f y (2)222222222)(02222222=-x d edx xedy eyY E x x y2222)()()()(=+=X E X D X E Y E故 222)21()()()(-=-=Y E Y E Y D16. 某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的

15、电功率为10千瓦。由于工艺等原因,每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%,各台机器是否工作是相互独立的。求:(1)任一时刻有140至160台机器正在工作的概率;(2) 需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不小于0.95? 解 设事件A 表示机器工作,则可把200台机器是否工作视作200重贝努利试验。设Y 表示任一时刻正在工作的机器数,则)75.0,200(N Y . (1)由De Moivre -Laplace 心极限定理知)5.371501605.371505.37150140()160140(-=Y P Y P 8968.019484.021)63.1(2=-=-(2)

16、设任一时刻正在工作的机器数不超过m ,则题目要求95.0)0(m Y P 即有 )5.24()5.37150()5.371500()5.37150()0(-m m m Y P )645.1()5.37150(-m ,故645.15.37150-m ,1.160m ,取161=m ,即需要供应1610千瓦的电功率.17. 设总体)(p G X ,抽取样本12,n X X X 。求:(1)样本均值X 的数学期望与方差;(2)样本方差2S 的数学期望。 解 因为)(p G X ,故21)(,1)(pp X D p X E -=。 (1)p X E X E 1)()(=,21)()(npp n X D

17、 X D -=; (2)221)()(ppX D S E -=。18. 设总体(40,25)X N 。(1)抽取容量为36的样本,求样本均值X 在38与43之间的概率; (2)抽取样本容量n 多大时,才能使概率(|40|1)0.95P X -? (3)抽取样本容量n 多大时,才能使(|)0.5E X -? 解 设样本容量为n ,则 )1,0(2540N nX u -=。 (1)此时36=n ,)1,0(362540N X -,故所求概率为)6.33625404.2()4338(-=X P X P 9916.0)9918.01(99984.0)4.2()6.3(=-=-=(2) 95.01)5(

18、2)5|(|)1|40(|-=-nn u P X P , )96.1(975.0)5(=n ,96.15n,04.96n ,取97=n (3)2222|x x E u x dx xedx -=,5.050|25|=-n u E n X E , 7.63200n ,故取64=n 。19. 设总体()X G p ,其01p =t n t t R 。 计算统计量t 的观测值得:4.1|3615705.66|0=-=-=nsx t 。因为03.2|因为未知,所以应选取统计量 )1(/00-=n t nS X t H ;在显著性水平05.0=下的拒绝域为753.1)15()1(05.0=-=t n t t R 。计算统计量t 的观测值得:35.216170300031000-=-=n s x t 。因为753.1t ,所以在显著性水平05.0=下,拒绝原假设0H ,接受备择假设1H ,即可认为采用新技术后电子元件平均寿命显著提高。