初中数学竞赛第十四讲 圆内接四边形与四点共圆.docx

1、初中数学竞赛第十四讲 圆内接四边形与四点共圆第十四讲 圆内接四边形与四点共圆【趣题引路】著名的“九点圆”是由欧拉于1765年了解到的.后来又由年仅22岁的费尔巴赫(1800-1834)于1822年重新发现,并称之为九点圆,这九个点是(如图):三角形ABC的三条边的中点A、B、C，E、C、A、B与F、C、A、B.故A、B、C、D、E、F六点共圆. 在HBC,HCA和HAB中,同理可证L、M、N也同圆于上面六个点所共的圆.因此,A、B、C、D、E、F、L、M、N九点共圆. 我们知道,任何三角形都有内切圆、外接圆、旁切圆等，还有鲜为人知的五点圆、第二莱莫恩六点圆、泰劳(Taylor)六点圆，七点圆、

2、富曼八点圆等等。【知识延伸】 圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系,这是因为顺次连结共圆四点就成为圆内接四边形.实际上,在许多题目的已知条件中,并没有给出圆,有时需要通过证明四点共圆,把实际存在的圆找出来,然后再借助圆的性质得到要证明的结论.确定四点共圆的办法主要有: 1.诸点到某定点的距离相等,则诸点在同一圆周上. 2.若四边形对角互补或有一个外角等于它的内对角,则这四点共圆. 3.同底同侧的等角的三角形的各顶点共圆;同斜边的直角三角形的各顶点共圆. 4.若直线AB与CD相交于P,而且PAPB=PCPD,则A、B、C、D共圆. 要证多点共圆,一般根据题目条件先证四点共圆,再证其他点也

3、在这个圆上. 例1 已知,四边形ABCD内接于圆,连对角线AC、BD.求证:ACBD=ABCD+ADBC.证明 作ABK=CBD,BK交AC于点K,(如图).由于BAK=BDC,BAKBDC, 即ABCD=AKBD BCK=BDA, CBK=CBD+DBK=KBA+DBK=DBA CBKDBA. 即BCAD=BDCK. +,得 ABCD+BCAD=BD(CK+AK)=BDAC.点评 此题就是著名的托勒密(Ptole-my)定理,即“圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和”.它综合运用圆和相似形的知识,证明线段的积、差,也揭示了圆内接四边形的一个独特的性质. 更推广一些,便可得到:对于

4、任何凸四边形ABCD,都有ABCD+BCADACBD,其中等号当且仅当四边形内接于圆时成立. 托勒密定理的逆命题也成立,即“在凸四边形两对角线的乘积等于它的两组对边乘积之和时,此四边形内接于圆.”你能证明吗?例2 已知:如图,设四边形ABCD满足条件ABCD+ADBC=ACBD.求证:A、B、C、D四点共圆.证明 作ECD=ACB,EBC=CAD,于是BECADC,即BE.AC=AD.BC,. 1=2,ACBDCE,3=4, ,即DEAC=ABDC, +,得(BE+DE)AC=ADBC+ABDC. ACBD=ABCD+ADBC(已知条件) BE+DE=BD, E在BD上,3与BDC重合. BD

5、C=BAC,A、B、C、D四点共圆.点评 这个逆定理也是证明四点共圆的重要依据. 例3 已知,如图,P是ABC的外接圆上一点,由P向各边BC、CA、AB引垂线PD、PE、PF.求证:三个垂足D、E、F共线. 证明 连结DE、DF、PB、PC. PDBC,PEAC, PDC=PEC=90, P、D、C、E四点共圆, PDE=PCE, PDB=PFB=90, P、D、F、B四点共圆. PDF+PBF=180. A、B、P、C四点共圆, PBF=PCE, PDF+PDE=PDF+PCE=PDF+PBF=180. DEDF成一条直线,即D、E、F三点共线.点评此题就是“西摩松线”,即从ABC外接圆上任

6、一点P到三边所作垂线的垂足在同一条直线上,简称“西摩松定理”.它的逆命题也成立.即:从一点P向ABC的三边(或它们的延长线)作垂线,若三个垂足L、M、N在同一条直线上,则点P在ABC的外接圆上,证明如下:如图 BNP和PLB都是直角, N、B、L、P四点共圆. NBP=NLP, PLC和PMC都是直角, P、L、M、C四点共圆, NLP=MCP, 由、,得NBP=MCP, 故A、B、P、C四点共圆,即P在ABC的外接圆上. 例4 已知:四边形ABCD内接于O,对角线AC与BD相交于M,如图,求证:。 证明 BAD+BCD=180, 即.点评 本题利用两个三角形面积之比的性质来证明,对拓展证题思

7、路,灵活运用所学的基础知识解决问题,大有益处,本题的结论可作定理运用.【好题妙解】佳题新题品味例1 如图,过正方形ABCD的顶点A作45的角与CB、DC的延长线分别交于E、F两点,即EAF=45;DB、AE的延长线交于点O1;DB、AF交于点O2;EO2的延长线交DF于点P,连结AO、FE的延长线交AO于点H,又DO1,EF交于点O3,连结O1H,O2H,AP.由以上条件,你能推出哪些结论?(不再标注任何字母,不再添加任何辅助线).解析 首先,如图,1=EAF=45,即有A、E、B、O2四点共圆;同样,2=EAF=45,则A、O1、F、D四点共圆;由上述四点共圆知AO2E=ABE=90,AO1

8、F=ADF=90,所以E、O1、F、O2四点共圆.又在AOF中,OO2AF,AO1OF,E为AOF的垂心,这样六个四点共圆继续出现,即(A、H、E、O2),(E、H、O、O1),(E、O1、F、O2),(A、O、O1、O2),(O、F、O2、H),(F、A、H、O1)四点共圆.由于FHAO,(A、H、E、B),(A、H、F、D)均四点共圆;仔细观察,显然(A、O2、P、D),(O2,Q、C、P)亦四点共圆;还有(E、O1、F、D)也是四点共圆.由上述四点共圆有3=4,3=5,则4=5.FHAH,FDAD,AH=AD,就是说点A到EF的距离恰好等于正方形的边长. 又有FH=FD,EF=PF,EO

9、2=PO2,HO2=DO2,AE=AP. RtAHERtABE,RtAHEADP, RtABERtADP,SABE= SADP, EF=DF-BE,即SAEF= SADF- SABE. 同时有=cos45=, =sin45=, AO1O2AFE. O2OF=O1AO2=45,O2O=O2F. 由诸多四点共圆即有6=4,3=5,4=5, 3=6. 7=8=45,9=EAO2=45, 7=9,故E为HO1O2的内心. 显然点O为AEF的垂心,由于O2A=O2E=O2P, O2为AEP的外心. 4=5,AEH=AEB, 点A为ECF的旁心(旁心指三角形一内角平分线与另两个角的外角平分线的交点) O1

10、HO2=7+9=45+45=90, HO12+HO22=O1O22. 而HO1=BO1,HO2=DO2, BO12+DO22=O1O22.点评 这种类型称为几何探索题,是指问题的结论没有明确给出,需要自己探索,解这类问题的思路是:从给定的条件出发,进行探索,归纳,猜想出结论,然后对猜想出的结论进行证明,此题是用构造法解题的范例,是用发现法研究问题的典型,认真回味,其乐无穷. 例2 如图,由ABC的各边向外侧作正三角形BCD、CAE、ABF,求证:三直线AD、BE、CF相交于一点. 证明 设BE、CF相交于点O,连AO、OD,AEC是正三角形, AE=AC,CAE=60, 同理AB=AF,BAF

11、=60, CAF=BAF+BAC, BAE=CAE+BAC, BAE=CAF, BAEFAC. 1=2,可知A、O、C、E四点共圆, 3=4,可知A、O、B、F四点共圆. AEC=AFB=60,AOC=AOB=120. AOB+AOC+BOC=360, BOC=120,BDC=60, BOC+BDC=180, O、B、D、C四点共圆, COD=CBD=60, AOC=120,AOC+COD=180, 即得A、O、D三点在一直线上,最后得证BE、CF、AD交于点O.点评 这是三线共点问题,可先设BE与CF相交于一点O,然后再证明AD也经过点O即可.即证A、D、O三点在一条直线上,这就把三线共点问

12、题转化为三点共线问题来证明.中考真题欣赏 例1 (2003年辽宁省中考题)(1)如图1,已知直线AB为圆心O,交O于点A、B,直线AF交O于F(不与B重合),直线L交O于点C、D,交AB于E,且与AF垂直,垂足为G,连结AC、AD. 求证:BAD=CAG; ACAD=AEAF.(2)在问题(1)中,当直线L向上平行移动,与O相切时,其他条件不变. (1) (2) 请你在图2中画出变化后的图形,并对照图1,标记字母; 问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由. (1)证明 连结BD,AB是O的直径, ADB=90,CDAF, AGC=ADB=90,四边形ACD

13、B是O内接四边形,ACG=B. BAD=CAG. 连结CF,BAD=CAG,EAG=FAB, DAE=FAC,ADC=F, ADEAFC, ACAD=AEAF; (2)变化后的图形如图所示.两个结论都成立,证明如下:如图. 连结BC,AB是直径,ACB=90.ACB=AGC=90.GC切O于C,GCA=ABC,BAC=CAG(即BAD=CAG).连结CF,CAG=BAC,GCF=GAC,GCF=CAE,ACF=ACG-GFC,E=ACG-CAE,ACF=E, ACFAEC, AC2=AEAF(即ACAD=AEAF).点评 充分利用圆内接四边形外角等于它的内对角和Rt两锐角互余及弦切角等性质解决

14、此题. 例2 (2003年江西省中考题)如图,在O中,AB是直径,CD是弦,ABCD, (1)P是上一点(不与C、D重合),求证:CPD=COB.(2)点P在劣弧CD上(不与C、D重合)时,CPD与COB有什么数量关系?请证明你的结论. (1)证明 连结OD,AB是直径,ABCD, BC=BD,COB=DOB=COD. 又CPD=COD,CPD=COB. (2)解析 CPD与COB的数量关系是: CPD+COB=180,证明如下: CPD=CPD=180,COB=CPD. CPD+COB=180.点评 此题证明COB=P是判定CPD+COB=180的关键.竞赛样题展示 例1 (2002年“我爱

15、数学”初中生夏令营数学竞赛)设AB、CD为O的两直径,过B作PB垂直AB,并与CD延长线相交于点P.过P作直线PE,与圆分别交于E、F两点,连AE、AF分别与CD交于G,H两点如图.求证:OG=OH.证明 作FKGH与AB,AE分别交于点M、K.过点O作ONEF交EF于点N,PBO=ONP=90. O、P、B、N四点共圆. 又MFN=OPN,故MFN=OBN,因此M、F、B、N四点共圆,MNF=MBF=AEF,从而MNKE, KM=MF,OH=OG.点评 在处理平面几何中的许多问题时,常常要借助于圆的性质,问题才能得以解决,有时题中条件就根本没有涉及圆,有时题中有圆,但此圆并不是我们直接要用的

16、圆,这就需要我们利用已知条件,借助图形,证四点共圆,把需要用到的实际存在的圆找出来.例2 (2002年四川省初中数学竞赛)如图,P是P外一点,PA与O切于点A,PBC是O的割线,ADPO于D. 求证:PB:BD=PC:CD. 证明 连结OA、OB、OC,则PA2=PDPO=PBPC,于是B、C、O、D四点共圆,有PCDPOB,则, POCPBD, . 由、,有.点评 本题利用切割线定理的逆定理证明B、C、O、D共圆,从而得到同弧所对的圆周角相等,将已知的角与未知的角联系起来了.全能训练A卷1.如图,四边形ABCD内接于O,B=50,ACD=25,BAD=65. 求证:(1)AD=CD；(2)A

17、B是O的直径.2.如图,O以等腰三角形ABC一腰AB为直径,它交另一腰AC于E,交BC于D.求证:BC=2DE.3.如图,在ABC中,AB=AC,过点A的直线与ABC外接圆O交于点D,与BC的延长线交于点F,DE是BD的延长线,连结CD. 求证:(1)DF平分EDC;(2)AF2-AB2=AFDF.4.如图,AB是O的直径,弦(非直径)CDAB,P是O上不同于C、D的任一点. (1)当点P在劣弧CD上运动时,APC与APD的关系如何,请证明你的结论;(2)当点P在优弧CD上运动时,APC和APD的关系又如何?请证明你的结论.5.如图,已知 ABCD内有一点P,使得APB+CPD=180.求证:

18、PAB=PCB.6.已知:如图,AB是O的弦,以O为圆心的O经过点A、O,与BA的延长线交于点C,与O交于点D,连结CD交O于点E.请你指出图中的哪些角,哪些线段具有相等关系,并证明你的结论.答案:1.(1)四边形ABCD内接于O,ADC=180-B=130.ACD=25,DAC=ACD,;(2)BAC=40,ACB=180-B-BAC=180-50-40=90,AB是O的直径.2.B=C,B=DEC,C=DEC,DE=CD.连结AD,则ADBC,BC=2CD,BC=2DE.3.(1)AB=AC,ABC=ACB.ADB=ACB,ADB=EDF,CDF=ABC,EDF=CDF,即DF平分EDC;

19、(2)ABF=ACB=ADB,BAF=DAB,ABFBAD,.AB2=AFAD,AB2=AF(AF-DF),AB2=AF2-AFDF,AF2-AB2=AFDF.4.(1)APC=APD;(2)当P在优弧CD上时,APC+APD=180.5.如图,将APB平移到DQC处,CQD+CPD=180,因而P、C、Q、D四点共圆.由此,得CDQ=CPQ.又PAB=CDQ,PCB=CPQ,PAB=PCB.6.相等的角有:CBD=BDC,相等的线段有:AB=DE,BC=DC,AC=CE.证明如下:如图,连结AO,并延长交O于点G,连结DG,AE,B=C,四边形AGDE内接于O,CAE=G,B=CAE.AEB

20、D.AB=ED,四边形ABDE为等腰梯形,从而有CBD=BDC,且AB=DE,BC=DC,AC=CE.B卷1.M为等腰ABC底边AC的中点,MHBC于H,P为MH中点.求证:AHBP.2.O为ABC内一点,BO、CD分别交AC,AB于D、E,若BEBA+CDCA=BC2.求证:A、D、O、E四点共圆.3.如图,正方形ABCD的面积为5cm2,E、F分别为CD、DA的中点,BE、CF相交于P,求AP的长.4.已知ABC为等边三角形,BC、AC上分别有一点D、E,且满足BD=CD,CE=AE,BE、AD相交于P.求证:P、D、C、E四点共圆.5.直线AB和AC与O分别相切于B、C两点,P为圆上一点.如图,P到AB,AC的距离分别为6cm,4cm.试求P到BC的距离.6.如图,半圆圆心为O,直径为AB,一直线交半圆周于C、D,交AB于M(MBMA,ACMD),设K是AOC与DOB的外接圆除点O外的另一交点.