Matlab求解非线性超定方程组恰定方程组欠定方程组.docx

1、Matlab求解非线性超定方程组恰定方程组欠定方程组Matlab 求解非线性超定方程组3x+2/(5+y)=6,4x+4/(5+y)=7 ，9x+4/(8+y)=1211x+2/(4+y)=15x,y 是未知数clc;clear;%其实楼主的问题可以等效为求最小值的问题，我使用的指标是典型的平方和最 小xtt=1,1; f=(x)(3*x(1)+2/(5+x(2)-6)2+(4*x(1)+4/(5+x(2)-7)2+(9*x(1)+4/(8+x( 2)-12)2+(11*x(1)+2/(4+x(2)-15)2;x,fval=fminsearch(f,xtt)求解线性方程组solve ， lin

2、solve例：A=5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1;%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格B=3;1;1;0X=zeros(4,1);% 建立一个 4 元列向量X=linsolve(A,B)diff (fun ， var， n)：对表达式 fun 中的变量 var 求 n 阶导数。例如： F=sym ( u(x,y)*v(x,y) ); %sym ()用来定义一个符号表达式 diff(F); %matlab 区分大小写pretty(ans) %pretty ()：用习惯书写方式显示变量； ans 是答案表达式 非线性方程求解fsolve(fun,x0,o

3、ptions)其中 fun 为待解方程或方程组的文件名； x0 位求解方程的初始向量或矩阵； option 为设置命令参数 建立文件 fun.m ： function y=fun(x) y=x(1)-0.5*sin(x(1)-0.3*cos(x(2), . x(2) - 0.5*cos(x(1)+0.3*sin(x(2);clear;x0=0.1,0.1;fsolve(fun,x0,optimset(fsolve) 注：.为续行符m 文件必须以 function 为文件头，调用符为 ；文件名必须与定义的函数名相同； fsolve ()主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。Ma

4、tlab 求解线性方程组AX=B 或 XA=B在 MATLAB 中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符 “和/ ” “”。如：X=AB 表示求矩阵方程 AX B 的解； XB/A 表示矩阵方程 XA=B 的解。对方程组 XAB，要求A和B用相同的行数， X 和B有相同的列数，它的行数 等于矩阵 A 的列数，方程 XB/A 同理。如果矩阵 A 不是方阵，其维数是 mn，则有： m n 恰定方程，求解精确解； mn 超定方程，寻求最小二乘解； mm 。则方程组没有精 确解，此时称方程组为超定方程组。 线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲 线拟合。对于超定方程，在 MATLAB 中

5、，利用左除命令（ x=Ab ）来寻求它的最 小二乘解；还可以用广义逆来求，即 x=pinv（A）, 所得的解不一定满足 Ax=b ，x 只是最小二乘意义上的解。 左除的方法是建立在奇异值分解基础之上， 由此获得 的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行 householder 变换的基础 上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；【例 7】求解超定方程组A=2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13 A=2-1 331 -54-1 11 3 -13b3 0 3 -6 ;rank(A)ans=3x1=Ab x1= 1.0000 2.0000 1.0000 x2=pinv

6、(A)*b x2=1.00002.00001.0000 A*x1-b ans= 1.0e-014 -0.0888 -0.0888 -0.1332 0可见 x1 并不是方程 Ax=b 的精确解，用 x2=pinv(A)*b 所得的解与 x1 相同三欠定方程组 欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。 一个基本解，其中最多只能有 m 个非零元素。特解由列主元 【例 8】解欠定方程组A1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5A=1 -2 1 11 -2 1 -11 -2 1 -11 -2 1 5 b=1 -1 5 x1=AbWarning:Rank deficient,r

7、ank=2 tol=4.6151e-015 x1=0-0.000001.0000 x2=pinv(A)*b x2=0-0.00000.0000MATLAB 将寻求 qr 分解求得。虽然方程组可以 乘解比方程的精 nnls ，其调用格式1.0000 四方程组的非负最小二乘解 在某些条件下， 所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。 得到精确解， 但却不能取负值解。 在这种情况下， 其非负最小 确解更有意义。在 MATLAB 中，求非负最小二乘解常用函数为：( 1)X=nnls(A,b) 返回方程 Ax=b 的最小二乘解， 方程的求解过程被限制在 x 的 条件下；(2)X=nnls(A,b,TO

8、L) 指定误差 TOL来求解， TOL 的默认值为 TOL=max(size(A)*norm(A,1)*eps ，矩阵的 1 范数越大，求解的误差越大； (3)X,W=nnls(A,b) 当 x(i)=0 时，w(i)0 时， w(i)0,同时返回一 个双向量 w。【例 9】求方程组的非负最小二乘解A=3.4336 -0.5238 0.6710-0.5238 3.2833 -0.73020.6710 -0.7302 4.0261;b=-1.000 1.5000 2.5000;X,W=nnls(A,b)X=00.65630.6998W=-3.6820-0.0000-0.0000x1=Abx1=-

9、0.35690.57440.7846A*X-bans=1.12580.1437Matlab 求解非线性超定方程组 - 恰定方程组 -欠定方程组-0.1616A*x1-bans=1.0e-0.15-0.22200.44410关于采用 matlab 进行指定非线性方程拟合的问题 (1)1。优化工具箱的利用函 数 描述LSQLIN 有约束线性最小二乘优化LSQNONNEG 非负约束线性最小二乘优化问题 当有约束问题存在的时候，应该采用上面的方法代替 Polyfit 与反斜线( )。具体例子请参 阅优化工具箱文档中的相应利用这两个函数的例子。d. 非线性曲线拟合利用 MATLAB 的内建函数函数名 描

10、述FMINBND 只解决单变量固定区域的最小值问题FMINSEARCH 多变量无约束非线性最小化问题( Nelder-Mead 方法)。 下面给出一个小例子展示一下如何利用 FMINSEARCH1 首先生成数据 t=0:.1:10; t=t(:); Data=40*exp(-.5*t)+rand(size(t); % 将数据加上随机噪声 2写一个 m 文件，以曲线参数作为输入，以拟合误差作为输出 function sse=myfit(params,Input,Actural_Output)A=params(1);lamda=params(2);Fitted_Curve=A.*exp(-lamd

11、a*Input);Error_Vector=Fitted_Curve-Actural_Output;%当曲线拟合的时候，一个典型的质量评价标准就是误差平方和sse=sum(Error_Vector.2);%当然，也可以将 sse写作： sse=Error_Vector(:)*Error_Vector(:);3 调用 FMINSEARCH Strarting=rand(1,2); options=optimset(Display,iter); Estimates=fiminsearch(myfit,Strarting,options,t,Data); plot(t,Data,*); hold o

12、n plot(t,Estimates(1)*exp(-Estimates(2)*t),r);Estimates 将是一个包含了对原数据集进行估计的参数值的向量。 附图见后面：当感兴趣的是复数变量的域的时候， 他们必须FMINSEARCH 通常能够用来解决不连续情况，特别是如果他们不出现在解的附近的时候。 它得到的通常也是局部解。 FMINSEARCH 只能够最小化实数值（也就是说，解的域必须只 能包括实数，函数的输出只能够为实数值）。被分割为实部与虚部。2.MATLAB 的 FIGURE 窗口：最基本的拟合界面与数据统计工具MATLAB 通过基本的拟合界面也支持基本曲线拟合。利用这个界面，你可

13、以快速地在简单 易用的环境中实现许多基本的曲线拟合。这个界面可以实现以下功能：a 通过比样条插值( spline interpolant )、 hermite 插值、或者是高达 10 阶的多项式插值实 现数据的拟合；b 对给定数据同时实现多样插值的绘制；c 绘制残差图；d 检查拟合结果的残差的数值；e 通过内插值或者外推插值评价一个拟合结果；f 对拟合结果和残差的模进行图形绘制；g 将拟合结果保存入 MATLAB 工作空间。 开发你的拟合应用的时候，你可以通过基本拟合( Basic Fitting )界面，也可以通过命令行函数，也可以同时作用。你可以通过基本拟合界面只能够实现 2D 数据的拟合

14、。然而，如果你用 subplot 绘制多个数据集，只要有至少一个数据集是 2D 的，那么就可以用基本拟合 界面。可以通过如下步骤激活基本拟合界面：1 绘制数据；2 从 figure 窗口的 Tools 菜单条下面选择 Basic Fitting 菜单项；有关 Basic Fitting 界面的更多信息，请查阅 MATLAB 帮助文档的相应部分。注意：对于 HP，IBM 以及 SGI 平台， MATLAB6.0 ( R12.0)以及 MATLAB6.1(R12.1) 的基 本拟合界面不受支持。数据统计界面可以用来对图形中的每个数据集进行统计量的计算。 可以通过如下步骤将数据 统计界面激活：1 制

15、数据；2 从 figure 窗口的 Tools 菜单条下面选择 Data Statistics 菜单项；关于采用 matlab 进行指定非线性方程拟合的问题 (2)一。优化工具箱函数LSQNONLIN 解决非线性最小二乘法问题，包括非线性数据拟合问题LSQCURVEFIT 解决非线性数据拟合问题 下面给出利用这两个函数的例子：LSQNONLIN ：利用这个函数最小化连续函数只能够找到句柄解。下面的例子说明利用LSQNONLIN 函数用下面的函数进行拟合：f = A + B exp(C*x)+D*exp(E*x)对数据集 x 与 y 进行拟合，其中 y 是在给定 x 的情况下的期望输出 (可以是

16、方程给出数组， 也可以是单独数据组成的数组 )。为了解决这个问题， 先建立下面的名为 fit_simp.m 的函数， 它利用数据 x 与 y，将他们作为优化输入参数传递给 LSQNONLIN 。利用给定的数据 x 计算f 的值，再与原始数据 y 进行比较。经验值与实际计算出的值之间的差异作为输出值返回。 LSQNOLIN 函数就是最小化这些差的平方和。function diff = fit_simp(x,X,Y)% 此函数被 LSQNONLIN 调用% x 是包含等式系数的向量% X 与 Y 是作为操作数传递给 lsnonlinA = x(1);B = x(2);C = x(3);D = x(

17、4);E = x(5);diff = A + B.*exp(C.*X)+D.*exp(E.*X)-Y;下面的脚本是利用上面定义的 fit_simp.m 函数的一个例子： 定义你打算拟合的数据集合 X=0:.01:.5; Y=2.0.*exp(5.0.*X)+3.0.*exp(2.5.*X)+1.5.*rand(size(X); 初始化方程系数 X0=1 1 1 1 1; 设置用中等模式( memdium-scale )算法 options=optimset(Largescale,off); 通过调用 LSQNONLIN 重现计算新的系数 x=lsqnonlin(fit_simp,X0,opti

18、ons,X,Y); 调用 LSQNONLIN 结果输出表明拟合是成功的Optimization terminated successfully:Gradient in the search direction less than tolFunGradient less than 10*(tolFun+tolX) 绘制原始数据与新的计算的数据 Y_new=x(1)+x(2).*exp(x(3).*X)+x(4).*exp(x(5).*X); plot(X,Y,+r,X,Y_new,b);注意： LSQNONLIN 只可以处理实数变量。在处理包括复数变量的实例的拟合的时候， 数据集应该被切分成实数

19、与虚数部分。 下面给出一个例子演示如何对复数参数进行最小二乘 拟合。为了拟合复数变量， 你需要将复数分解为实数部分与虚数部分， 然后把他们传递到函数中去， 这个函数被 LEASTSQ 作为单个输入调用。 首先，将复数分解为实部与虚部两个向量。 其次， 将这两个向量理解成诸如第一部分是实部、第二部分是虚部。在 MATLAB 函数中，重新装 配复数数据， 并用你想拟合的复数方程计算。 将输出向量分解实部与虚部， 将这两部分连接 为一个单一的输出向量传递回 LEASTSQ 。下面，给出一个例子演示如何根据两个复数指数 拟合实数 X 与 Y 。建立方程：function zero = fit2(x,X

20、,Y)% 根据输入 x 重建复数输入cmpx = x(1:4)+i.*x(5:8);% 利用复数计算函数zerocomp = cmpx(1).*exp(cmpx(2).*X) + cmpx(3).* exp(cmpx(4).*X)-Y;% 将结果转换成一个列向量% 其中第一部分是实部，第二部分是虚部numx = length(X); % 实部长度zero=real(zerocomp); % 实部 zero(numx+1:2*numx)=imag(zerocomp); % 虚部为了评价计算这个函数，需要 X 与 Y 数据集。 LSQNONLIN 将根据它拟合出下面方程中 的参数 a， b， c

21、与 d：Y = a*exp(b*X)+c*exp(d*X);其中， a， b， c 与 d 是复数变量。 X=0:.1:5; Y=sin(X); Y=Y+.1*rand(size(Y)-.05; cmpx0=1 i 2 2*i; x0(1:4)=real(cmpx0); x0(5:8)=imag(cmpx0); x=leastsq(fit2,x0,X,Y); cmpx=x(1:4)+i.*x(5:8); Y1=real(cmpx(1).*exp(cmpx(2).*X)+cmpx(3).*exp(cmpx(4).*X); plot(X,Y1,r); hold on plot(X,Y,+);二。

22、LSQCURVEFIT ：利用此函数可以在最小二乘意义上解决非线性曲线拟合(数据拟合) 问题。也就是说，给定输入数据 xdata，以及观测的输出数据 ydata，找到系数 x ，使得函数F(x， xdata)能够最好的拟合向量值。 LSQCURVEFIT 利用与 LSQNONLIN 相同的算法。它 的目的在于专门为数据拟合问题提供一个接口。在拟合的时候， 2 维、 3 维或者 N 维参数拟合是没有什么差别的。下面给出一个 3 维参数拟 合的例子。待拟合函数是：z = a1*y.*x.2+a2*sin(x)+a3*y.3;建立的 myfun.m 的函数如下：function F = myfun(

23、a, data);x = data(1,:);y = data(2,:);F= a(1)*y.*x.2+a(2)*sin(x)+a(3)*y.3;下面的脚本展示了这么利用上面的函数： xdata= 3.6 7.7 9.3 4.1 8.6 2.8 1.3 7.9 10.0 5.4; ydata= 16.5 150.6 263.1 24.7 208.5 9.9 2.7 163.9 325.0 54.3; zdata= 95.09 23.11 60.63 48.59 89.12 76.97 45.68 1.84 82.17 44.47; data=xdata; ydata; a0= 10, 10,

24、10; % 初识揣测 a, resnorm = lsqcurvefit（myfun,a0,data,zdata）Maximum number of function evaluations exceeded; increase options.MaxFunEvalsa = 0.0088 -34.2886 -0.0000resnorm = 2.2636e+004 format long aa = 0.493 -34.28862491919983 -0.499 option=optimset（MaxFunEvals,800）; a, resnorm = lsqcurvefit（myfun,a0,

25、data, zdata, , , option） Optimization terminated successfully:Relative function value changing by less than OPTIONS.TolFuna = 0.653 -20.212 -0.964resnorm = 2.195886958305428e+004统计工具箱函数函数名 描述nlinfit （非线性回归） 采用 Gauss-Newton 法进行非线性最小二乘数据拟合 lscov （线性回归） 根据已知协方差矩阵进行最小二乘估计 regress 多元线性回归regstats 回归诊断ridg

26、e 脊回归（？ Ridge regress）rstool 多维响应表面可视化（ RSV ） stepwise 交互式逐步回归 具体例子请参阅相应文档在 Matlab 中如果求解一个二元二次方程，现在只有两个方程可以用 solve 求解出所有的解。但是当存在多余 2 个方程的时候（即为超定方程组时） ，该如何求解呢？还能用 Solve 函Matlab 求解非线性超定方程组 - 恰定方程组 -欠定方程组 数吗？比如下面的方程：a1*x2+b1*x+c1*y2+d1*y=e1a2*x2+b2*x+c2*y2+d2*y=e2a3+b3*x+c3*y=e3x,y 为未知数，其他的为已知数，求解 x,y.

27、用 fmin 求 e12+e22+e32 的最小解你的意思是将方程转换成： a1*x2+b1*x+c1*y2+d1*y-e1=f1 a2*x2+b2*x+c2*y2+d2*y-e2=f2a3+b3*x+c3*y-e3=f3再用 fminsearch 求解最小值 min(f1+f2+f3 )，得到最终的未知数的值是不是？ 很有道理。但是这个 fminsearch 是需要初始解才能得到最终的解的。假如不知道初始解该如何求解 呢？1.fminsearch 求解最小值 min(f12+f22+f32 )2.一般非线性问题的数值解往往都是迭代法，因而需要初值3.初值可以试出来或者对原始方程作简化然后定性分析出一个解的大体范围来确定初 值。4.非线性问题很少有一劳永逸的一统天下的解法5.正因为如此，才让我们有事做，有饭吃Matlab 求解非线性超定方程组 - 恰定方程组 -欠定方程组