QR分解及其应用.docx

1、QR分解及其应用矩阵分析与应用专题报告QR分解及应用学生姓名：卢楠、胡河群、朱浩2015年11月25日1引言 32QR 分解 42.1QR分解的性质 42.2QR 分解算法 52.2.1采用修正Gram-Schmidt法的QR分解 52.2.2Householder QR 分解 62.2.3采用Give ns旋转的QR分解 83QR分解在参数估计中的应用 931 基于 QR 分解的参数估计问题 93. 2 基于 Householder 变换的快速时变参数估计 123. 3基于Give ns旋转的时变参数估计 144QR分解在通信系统中的应用 164.1基于QR分解的稳健干扰对齐算法 164.2

2、基于 QR 分解的 MIMO 置信传播检测器 19总结 21参考文献 221引言矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质的若干矩阵之积或 之和，大体上可以分为满秩分解、 QR 分解和奇异值分解。矩阵分解在矩阵分析 中占有很重要的地位，常用来解决各种复杂的问题。而 QR分解是工程中应用最为广泛的一类矩阵分解。QF分解是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛 应用的方法，一般矩阵先经过正交相似变换成为 Hessenberg 矩阵，然后再应用 QF分解求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正交矩阵Q与上三角矩阵R, 所以称为QR分解。参数估计是在已知系统模型结构时， 用系统的输入与输出数

3、据计算系统模型参 数的过程。它在系统辨识和无线通信领域有着广泛的应用。 18 世纪末德国数学 家 C.F. 高斯首先提出参数估计的方法，他用最小二乘法计算天体运行的轨道。 20 世纪 60 年代，随着电子计算机的普及，参数估计有了迅猛的发展。参数估计 有很多方法，如矩估计、极大似然法、一致最小方差无偏估计、最小风险估计、 同变估计、最小二乘法、贝叶斯估计、极小极大熵法等。其中最基本的是最小二 乘法和极大似然法。本文将重点介绍QR分解及其在参数估计和通信系统中的应用2QR 分解2.1QR分解的性质定理2.1.1 (QR分解)若a Rmn，且m n ,则存在列正交矩阵Q Rm n和上三角矩阵R R

4、m n使得A = QR。当m n时，Q是正交矩阵。如果A是非 奇异的n n矩阵，则R的所有对角线元素均为正，并且在这种情况下Q和R 二者是唯一的。若 A 是复矩阵，则 Q 和 R 取复值。注意到AtA =(QR)t(QR) =RtR ,因此可以得出结论：G = Rt是AtA的下三角 Cholelskey 因子。由于这个原因，在关于估计的文献中，矩阵 R 常称为 平方根滤波器(算子) 。下面的引理称为矩阵分解引理，它在矩阵的QR分解的应用中是一个很有结果。 引理2.2.1若A和B是任意两个m n矩阵，贝UAHA = BHB (2.1.1)当且仅当存在一个 m m 酉矩阵 Q ，使得QA =B (

5、2.1.2)证 明 充 分 性 证 明 ： 若 QA =B ， 并 且 Q 是 酉 矩 阵 ， 则 BHB=AHQHQA =AHA 。必要性证明：令A和B的奇异值分解分别为A= UA AVAHB= UB B VBH式中， UA和UB均为m m酉矩阵；Va和Vb都是n n酉矩阵；而m n矩阵a和b分别包含了矩阵A和B的非负奇异值。由于H H HA A = VA A A V AQ = UbUaH h H h易知 QA = UbUa A = UbUa Ua a Va = Ub bVb = B这就证明了引理的必要条件10。2.2 QR分解算法2.2.1采用修正Gram-Schmidt法的QR分解 矩阵

6、A 的QR分解可以利用Gram-Schmidt正交化方法实现。Gram-Schmidt正交1的向量R1q1化方法原本是一种由 n个向量a1,a2,.,an构造互相正交且范数为则有该结果作q3，即有如此继续，则对于qk(2 k n)有Rjk qjHak,1 j k 1容易验证，qi是标准正交基，即满足Hqi qj u (225)其中，ij为Kronecker 函数。如果令m n矩阵A的列向量ai，a2,.，an ,则 以qi,q2,.,qn为列向量的矩阵Q与A之间有下列关系：A =QR (2.2.6)又由于qi组成标准正交基，所以QHQ = In将A与Q重写在同一矩阵，应用以上 Gram-Sch

7、midt正交化的方法叫做经典Gram-Schmidt正交化法。2.2.2Householder QR 分解Householder变换可以实现任意m n矩阵A的QR分解，其原理是使用变维 向量的Householder变换，使得该向量除第一个元素外，其他元素皆为 0。根据Householder变换的相关知识，欲使一个p维向量x x1,x2,.,x 的第1个元素后面的所有元素变为 0，则p维的Householder向量应取x e1X1)(2.2.7)X1X1式中(2.2.8)假定m n矩阵A的列分块形式为可以计算得到U1Wm。此时，H1 I u1u1TA1 H1A a1(1),a2(1)a (1)

8、n(2.2.9)变换后，矩阵A1的第1列a1的第一个元素等于a1212 2a21 . am11 2，而该列的其他元素全部为0。第二步针对矩阵A1的第2列aj，令P m 1和x a2；),a3；),.a(1) T,am2又可按照式(227)和式(2.2.8)求出(m-1)维向量Wm 1。此时，取U20Wm 1又可得到h2 IT 典u?u 2 A 2H 2A1 H2H1A a1(1), (2)a 2 , ., a n(2.2.10)首先令x aiai1,a21,.,am1T，并取P m，则按照式(227)和式(228),变换后，矩阵A2的第1列与Ai的第1列相同，而第2列ai的第一个元素等0。ak

9、kk0M0 (k 1) ak, k(k 1)H% % 1,kk Ma(k 1)m,k这相当于对矩阵 A(k 1) 进行 Householder 变换 H kA(k 1) 时取I k 1 00 H%kn次Householder变换后，即可实现 QR分解。223采用Give ns旋转的QR分解(3,4)(2,3)(1,2) 0(3,4)000000(2,3) 0(3,4) 0000000000000其中，表示用 Givens旋转进行变化你的元素。从上述说明中易得出结论： 如果令 G j 代表约化过程中的第 j 次 Givens 旋转，则QtA = R是上三角矩阵，其中Q = GtGtLG i，而t

10、是总的旋转次数。3QR分解在参数估计中的应用3. 1基于QR分解的参数估计问题现在以系统辨识为例，说明如何利用矩阵的 QR分解进行系统参数的递推估计单的运算，递推出n 1时刻的系统参数向量n 1 0 n时刻的系统辨识问题可以 简化为最小二乘问题m6n An 6 仆: (3.1.4)求解，并且其解由“法方程”AnTAn 6 AnTyn 或 R xx 6n 心 (3.1.5)确定。式中，Rxx AnTAn代表系统输入X k的协方差矩阵，rn人.丁丫直接求解式（3.1.5）的方法叫做协方差方法。例如，先计算协方差矩阵 Rxx的Cholesky分解Rxx GG,然后利用回带法解三角矩阵 G也G Rn直

11、接 得到6n。然而，由于Rxx AnTAn的条件数是An的条件数的平方，因此，直接计算式（3.1.5）的得到的解有可能是严重病态的（即条件数很大），即使An本 身的条件数并不大，不是严重病态的。在系统参数向量9的自适应递推辨识中，标准的递推最小二乘 RLS法和分解（其中,UtDU分解法都是针对协方差矩阵Rxx进行更新的。虽然utdu但是这些递推辨识方U为上三角矩阵，D为对角矩阵）在数值上比较稳定, 法也同样存在条件数变大的毛病。p 1维零矩阵。的最小二乘冋题可等价与作(3.1.8)QnTynmin Rn9 y式中(3.1.9)得到。计算，并且最小残差值等于|%|指数加权，即n 1时刻的数据矩阵

12、和观测数据向量分别取作可以写出式(3.1.4)在n 1时刻的形式为合于递推更新。(3.1.12)证明见。递推估计算法如下。算法1 (系统参数的自适应估计算法)零矩阵。步骤二进行分块运算3.2基于Householder变换的快速时变参数估计考察n p 1矩阵a11a12La1,p 1Aa21a22La2,p 1A nMMMan,1an,2Lan, p 1的 Householder QR 分解，即*ana12La1,p 10*a22L*a2, p 1MMMHnAn00L*a p 1, p 1(3.2.1)00L0MMM00L0显然，只需要进行P次Householder变换即可。换言之，为了得到上述

13、 QR分解，应该选择Hn为p个Householder变换矩阵之积，即式中Hn j I UjU； / j, j 1,2,L ,p (3.2.3): . . .T是对矩阵Anj Hn j 1 Hn 2 Hn 1 An第j列向量印j禺,L曲 进行的Householder变换矩阵，其参数选择方法为2jaijj0,i j(3.2.6)递推的Householder QR分解算法如下:（1）递推更新基于QR分解的自适应参数估计算法一般由两个分开的过程组成:QR分解QtA R中的上三角矩阵R ；（2）用回代法求解三角矩阵方程。由 于直接的回代需要O m2次运算（m为数据长度）。因此，即便Householder变 换再快速，整个自适应算法也至少需要 O m2次运算。文献将上述快速Householder QR分解算法和求解三角矩阵方程的回代法综合起来考虑， 提出了只具有0 m复杂度的快速自适应算法3.3基于Give ns旋转的时变参数估计现在考虑另外一种递推方法，递推求解0n的变化量,而不是直接递推求0n也1本身。换句话说，令(3.3.1)冋题是如何更新4 。此式又可化简为(3.3.6)Yn 1