一课题背景和研究内容.docx

1、一课题背景和研究内容一.课题背景和研究内容： 马克思曾说过：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完善的地步。”这位伟大的科学的革命的导师的这句话，高度精确地概括了数学在众多科学中的地位。可以说，数学是众多科学的基础，没有数学，没有数字，没有运算方法，那么其他的科学根本找不到落脚点。也正因为如此，数学是一门最博大精深的学科，我们中学生学了十几年的数学，其实也只触摸到了这门高深学问的一点皮毛。而数学这座高耸入云的大厦经过世界人民几千年的建设仍然有许多不完善的地方，等待着后人去修补，去创造。借助今天高度发达的电子计算机，科学家们解决了许多曾经相当棘手的问题，却仍然对一些问题束手无策。那么可以想

2、象，在各种科学都不甚发达的过去，数学就像是个蹒跚学步的孩子，每走一步都是巨大的艰辛和巨大的飞越。在这里，作者将通过以一些标志性事件为线索，浅谈一下数学发展史上的艰难与成就，相信这将有助于每一个对数学有兴趣的人加深对这门科学的了解，从而更好地学习这门学问。二. 文献综述：对于数学发展史这个问题，已有先人做过一些研究。1983年，美国数学史家Howard Eves出版了Great Moments in Mathematics（中文译名为数学史上的里程碑或数学史概论），以时间为顺序较详尽地介绍了从远古时候开始数学的发展情况。但这本四百多页的书读起来还是需要花费大量的时间与精力的，因此作者就以一个中学

3、生的视角，尽量做到从一个客观的角度去解读数学这部庞大的历史。三.论文正文：每一门新兴学科的产生都有其必然性，历史悠久的数学也是如此。古代劳动人民在生产生活中会遇到许多不可避免的问题，因为当时没有“数学”，这些问题往往得不到解决，或者解决的方法在今天看来愚笨又可笑。就拿最原始的计数问题来说，古代没有数字的概念，为了解决计数问题，比如清点人数，计算一天打猎的战利品，他们只能采用被Howard Eves称为“一一对应”的原理进行计数，这就是广为人知的结绳计数法。一一对应计数原理，就是数学这株巨大植物最初萌动的种子。大约在公元前600年，几何学有了突破性的发展。数学史家们一致认为，数学的这一重大进步应

4、归功于当时的希腊人，特别是泰勒斯。他是在数学史上留名的第一人，也是有幸占有一些演绎几何学定理的发明权的第一人。泰勒斯的成就在于对一些简单的数学结论给出了逻辑证明，而不像他之前的人们只靠直观感觉或者实验方法去证明。逻辑证明无疑更准确，更有说服力。因此，演绎法的诞生是数学史上的一个里程碑，奠基人就是泰勒斯。泰勒斯以发明演绎法成为在数学史上留名的第一人，那么毕达哥拉斯就以其巨大的数学成就及由他创立的毕达哥拉斯学派二成为在数学史上留名的第二人。初等几何中最精彩、最著名、最有用的定理之一就是毕达哥拉斯定理：在任何直角三角形中，斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这是数学中真正重要的第一个定理。一

5、般认为，这个定理并不是毕达哥拉斯最先提出的，但它的严格的逻辑证明也许就是毕达哥拉斯或者毕达哥拉斯学派中的某一人提出的。毕达哥拉斯学派认为整数是人和物的各种性质的起因，只要揭示了整数的复杂性质，或许可以左右和改善自己的命运。因此，他们热衷于研究数与几何学。毕达哥拉斯学派无疑为数学的发展做出了巨大的贡献。毕达哥拉斯学派的所有研究都是建立在他们一个坚定的信仰之上的：万物皆数，即任何数都可以用整数或者整数与整数之比表示。这个说法在一定时期内被广泛接受，直到毕达哥拉斯学派的一个成员希帕索斯考虑了这样一个问题：一个边长为1的正方形，它的对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只

6、能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数2 的诞生。这样一个简单的问题，动摇了毕达哥拉斯学派的信仰，由此产生了数学史上的第一次危机。毕达哥拉斯学派的成员为此感到十分恐慌，因为他们所有的研究成果都是建立在上述信仰的基础上的。存在不能用整数也不能用分数表示的数的这样一个事实，推翻了他们的许多研究成果。直到公元前370年，希腊数学家欧多克斯给出比例即两个比相等的定义，从而巧妙地化解了这次危机。欧多克斯给出的这个定义与所涉及的量是否能用整数或整数之比表示完全无关，可叙述如下：所谓四个量成等比，即第一个量与第二个量之比等于第三个量与第四个量之比，是指：当取第一、第三两个量的任何相同的

7、倍数，并取第二、第四两个量的任何相同的倍数时，前两个量的倍数之间的小于、等于或大于的关系是否成立，取决于后两个量的倍数之间的相应关系是否成立。这样就巧妙地绕过了所涉及的量是否能用整数或整数之比表示这个问题，欧几里得在原本中对欧多克斯的定义做出了很高的评价。这就是第一次数学危机的产生与化解，也意味着数学得到了进一步的完善。在泰勒斯以后的三百年间，希腊人在数学上取得了辉煌的成就，现在公认的这一时期的最大成就是希腊人形成了这样一种观念：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组在开始研究这一学科时假设可以接受的原始命题出发，通过演绎推理而得到一系列命题。由此，实质公理体系诞生了，可以叙述如下：对于一个学科的某

8、些基本术语予以解释，目的是使读者了解这些基本术语的含义是什么；列出关于基本术语的某些原始命题，读者根据基本术语的含义便可承认这些命题是正确的，这些原始命题称为这一学科的公理或公设；借助于已经引入的术语定义这一学科的其他所有术语；由已经承认或已经证明的命题，通过逻辑推理导出这一学科的其他所有命题。早期希腊人对于数学的最杰出的贡献，就是确立实质公理体系的模式和主张按照这种模式使数学条理化。“根据公理体系来建立数学”这一概念的产生，无疑又是数学史上一个重要的里程碑。接下来就要说到一位伟大的数学家欧几里得（公元前300275年）及其巨著原本。需要说明的是，原本的原始抄本现已无存，现在通用的版本是比欧几

9、里得晚几百年的西翁的修订本。原本共有十三卷，这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。在原本里，欧几里德系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知识，欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。两千多年来，几何原本一直是学习几何的主要教材。现在我们计算曲边图形的面积往往是采用积分的思想，但鲜少有人知道最先使用积分思想的是古希腊科学家阿基米德。我

10、们现在熟知的计算球的表面积和体积的公式，约公元前240年的阿基米德就已经给出。这些公式是通过一系列命题一步一步地推导出来的，这个过程中蕴含着积分的思想。但这不是现代使用的较简便的积分方法，而是采用较繁琐但是可用的双重归谬法，也称欧多克斯穷竭法。阿基米德的思想方法无疑为后来牛顿与莱布尼茨的研究打下了坚实的基础。关于数的研究，有两方面的问题：探讨数与数之间的关系和发展数的计算技巧，古希腊人把前者称为算术，后者称为计算术。现在通常把研究数的理论方面的学科称为数论，说到数论，就不能不提到丢番图（约公元250年）。丢番图最著名的成就是算术，它对后世欧洲的数论学家产生了深远的影响。算术是一部具有高度创造性

11、的伟大著作，它对代数数论做了解析处理，技巧高超。算术给出了一些方程的一般或特殊解法，还述了一些有关数的深奥定理，为后世的研究做出了巨大的贡献。丢番图不仅是个伟大的数论学家，还对代数学的发展做出了重大贡献，其中之一就是简写了希腊代数学。在这之前的一切代数学都是用文字表示的，在使用过程中有许多不便。而丢番图在算术中给出了表示未知数、未知数的直到六次的幂、相减、相等和倒数的简写符号，因此可以说，向着代数学迈进的最初几步是丢番图用其天才的智慧写就的。由于书写材料日趋方便、廉价，算术方法也随之发展。而数字的出现起初是人们用来记录算盘（仅次于手指，人类最早使用的计算工具。）上筹码的数目。目前，在世界各地通

12、用着同一个数学系统, 印度-阿拉伯数系即一切数字写成十个数学符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的位值序列。在中世纪的欧洲，分别提倡使用罗马数字和算盘计算的、印度-阿拉伯数字和适当算法的算盘家及算术家进行了400多年的争论。其中，算盘家有一条能使人信服的理由; “这些新数字本身容易被篡改，而且在已经的数字之间和后面能在添加数字。”众所周知，印度-阿拉伯数系是印度人发明，阿拉伯人采用了并传到了西欧，再通过波斯数学家花拉子密专著的拉丁文译本及后来欧洲人的有关著作，得到了更广泛的传播。其中，algorithm(算法)、 algebra（代数）两个常用数学词汇的产生都归功于花拉子密。而对印度-阿

13、拉伯数系的应用影响及促进最大的就是1202年在意大利出版，由中世纪数学技巧最娴熟的数学家列昂纳多斐波那契（？）所著算盘书。这一书最大的功绩是系统介绍印度记数法，影响并改变了欧洲数学的面貌，直接促进了印度-阿拉伯数系的传播。我们所熟悉的斐波那契数列就是此书中最富有成果的兔子问题中得出的，它在数学的各个领域都有许多意想不到的应用，它还存在于多米诺牌、蜜蜂的繁殖钢琴的13个半音阶的排列完全、自然界中一些花朵的花瓣数目等诸多方面，且随便选两个整数,然后按照斐波拉契数的规律排下去,两数间比也是会逐渐逼近黄金比的。如今，有关于斐波那契数列性质的探讨研究也是多的惊人。”。斐波那契其他数学著作还有几何实践，着

14、重叙述希腊几何与三角术。平方数书、花朵等，前者专论二次丢番图方程，后者内容多为菲德里克（Frederick）二世宫廷数学竞赛问题十一世纪的波斯诗人兼数学家奥马尔 海牙姆（约约）巧妙地用“一个立方体，一些边和一些数”得出了三次方程的几何算法，为阿拉伯代数学作出了创造性的贡献。在此大约年以后，一个不讲信义的天才卡尔达诺（Cardano，15011576）将塔尔塔利亚三次方程代数解法及费尔拉里的四次方程解法写进了他的拉丁文的代数学巨著大衍书（Ars magna）。尔后，有不少数学家提出了简化求解三次、四次方程的方法或其根的表达式。这些数学家包括R 邦贝利、F 韦达、笛卡尔我们都知道对数作为一种计算方

15、法的功能在于; 通过对数，可以把乘除运算化为简单的加减运算。耐普尔(Napier，15501617)潜心研究角的正弦的对数20余年，于1614年发表奇妙的对数表的描述（Mirifici logarithmorum canonis descriptio），在其中阐明了对数原理。这一著作立刻引起了人们广泛的兴趣。1616年H 布里格斯（B riggs，15611631）去拜访耐普尔，建议将对数改良一下以十为基底的对数表最为方便，这也就是后来常用的对数了。可惜耐普尔隔年于1617年春天去世，后来就由布里格斯以毕生精力继承耐普尔的未竟事业，以10为底列出一个很详细的对数表。并且于1619年发表了对数算

16、术（Arithmetica logarithmica），于书中详细阐述了对数计算和造对表的方法。耐普尔的对数原理被整个欧洲积极采用，尤其是天文学界。拉普拉斯认为：“对数的发明以其节省劳力而使天文学家的寿命增加了一倍。”布里格斯的同事E 冈特（Gunter，15811626）又发表了间隔为弧分的角的正弦及正切的普通对数表，并创造了cosine(余弦) 、cotangent(余切) ，他还设计了对数刻度尺。在十七世纪，两位杰出的数学家伽利略（Galiteo Gelilei，15641642）和J 开普勒（Kepler，15541630）的一系列发现，导致了数学的复兴。伽利略通过大量的实验发现了有关

17、物体在地球引力场运动的许多基本事实，导致了现在动力学的诞生。开普勒则在1619年前后归纳出著名的行星运动三定律，产生了现代天体力学。这些学科的发展都推动了新的数学工具能够研究变化、流量和运动的数学分支微积分的出现。开普勒为了计算行星运动三定律中的第二定律的面积，不得不采用了一种原始的积分方法，这是他成为微积分的奠基人之一。开普勒对多面体也有所贡献，他首先认识到反棱柱体，发现了立方八面体、斜方十二面体等，并且还把“焦点”一词引入了圆锥曲线几何学中。公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的

18、极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，求即时速度、求曲线的切线、求函数的最大值和最小值、包括上面所讲到的求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力这些需要解决的问题都是促使微积分产生的重要因素。许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述问题作了大量研究，进而提出了许多很有建树的理论。例如1635年B 卡瓦列利（Cavalieri，15981647）发表了不可分量几何学（G

19、eometria indivisibilibus）,其中阐述的了不可分量法的专论。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，他在流数法和无穷级数一书中指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)。而德国的莱布尼茨在1684年发表了现在世界上认为是最早的微积

20、分文献一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算，尽管这篇文章的题目又长又古怪，却具有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。今天，我们使用的微积分通用符号就是莱布尼茨精心选用的。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。 对于微积分这一新型数学有这样一个比喻：旧的数学如照相术发展的静物摄影阶段，而新数学可比作电影摄影阶段。另为，旧数学与新数学相比，如同解剖学和生理学，前者研究尸体而后者研究活体。由此可以看出，旧数学只涉及不变和有限的问题，消极静止；而新数学则

21、包括变化和无限的问题，积极运动。所以微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷

22、和无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些基础方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化同样在十七世纪，R 笛卡尔（Descartes，15961650）和P de 费马（Fermat，16011665）为解析几何做出了决定性贡献。解析几何的实质在于它的变换求解反演的特征，即首先把一个几何问题变换为一个相应的代数问题，然后求解这个代数问题，最后反演成代数解而得到几何解。解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，

23、特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，”概率几乎是由游戏和赌博发展而来的。概率科学的起源还是从一个所谓的点数问题开始的，这个著名的问题是这样的：两个技巧相当的赌徒对局，他们知道怎样的比分赌局终止，也知道取胜所要求的点数，问应该怎样来分配他们的赌注。而帕斯卡和费马在对这一问题的通信讨论，还思考了与点数问题有关的一些其他问题。他们的这一工作奠定了概率论的基础，开创了概率的数学理论

24、。英国的逻辑学家和经济学家W S 杰文斯（Jevons，18351882）认为：“概率是生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，那么我们就寸步难行，无所作为。”在无穷级数发展史上，阿基米德是第一个对一些特殊的收敛去穷级数求和的人，而第一个适当考虑无穷级数收敛概念的是德国著名的数学家C F 高斯（Gauss，17771855），他是在1812年研究超几何级数是提出的。然而在这一领域作为里程碑的事件则是另外两件。1715年在B 泰勒（Tatlor,1685-1731）的著作增量法中第一次出现了函数f(x)展开成x-a的幂级数。 1742年苏格兰数学家C 马克劳林（Maclaurin）在巨著流数

25、论中用到了这一幂级数当a=0时的特殊情形。而人们充分认识到这一幂级数的重要性是在1775年欧拉机智地将他们应用在微分学中后，以及在更后来1797年拉格朗日把级数作为函数论的基础之后。在十九世纪上半叶数学史上有两个重要的转折点。第一个是1829年左右发现了与人们所熟知的欧几里得几何有显著区别的一种自相容的几何；第二个在1843年发现了与通常实数系代数有本质区别的一种代数。文艺复兴后的西欧数学家重新提出了对欧几里第五公设的批评，而后的数学家用归缪法证明欧几里德公设并做出了卓越的贡献。不少年后，法国著名的数学家A M 勒让德为证明平行公设做出了大量的努力，发表在几何学基本原理一书中。比平行公设问题的

26、解决有更深远的意义的结果是：把几何学从其传统的模式中解放出来罗巴切夫斯基的和黎曼的非欧几何使创造许多不同体系的几何的道路打开了几何学的公设，对于数学家们来说，仅仅是假定，其物理的真与假用不着考虑；数学家们可以随心所欲的取其公设，只要它们是彼此相容的数学家采用一条公设，用不着考虑：它是否具有，自古希腊以来规定它必有的，“自明”或“真”的特徵有了创造纯粹“人造的”几何的可能性；物理空间必须被看作是由我们的外部经验导出的经验概念，用来描述物理空间的几何学的公设只不过是这种经验的表述，和物理科学的定律一样，就成为显然的了例如，竭力谋求解释现实空间的欧几里得平行公设，看来就与伽利略的落体定律，有同类的效

27、力；也就是说，它们都是在实验误差的限度内，能被证实的观察定律人类认知知识的过程在现阶段的归纳中分为两个过程：第一个过程，是囫囵吞枣的认知对于数学，就是不遗余力地记住公式、定理，培养逻辑思维。第二个过程，就是重返基础，从零开始，一步一步，利用已建立起的严谨的逻辑来推演（基于假设存在不必证明的公理）。任何伟大的学者在最初也是死记硬背公式定理而非从哲学角度开始论证逐步演为数学。这和人类最先认知正整数一样是普遍规律。所有的数学命题最终应归结为关于自然数*（为正整数）的命题。事实上，我们之所以说正整数而不是自然数，是因为在生活中，“零”不属于我们所应用的最“自然”的那一类数。可以想见，在原始社会，如果你

28、问原始人类捕获了多少只猎物，如果他一只也没捕获，他是绝对不会说“我捕获了零只”的。由此可见，最基础的数学命题应当是关于正整数（或部分）的，至于零，在多数情况下，这会被我们当作一个特例处理。往往我们验证的是，对于任意正整数，我们有某结论恒成立，将零代入，得到对于零，此结论也成立，故这个结论对于任意非负数成立。古希腊人将点作为数学基础，实际上与我们所说的将自然数*作为数学基础是不矛盾的。第一，点的数量可以表示正整数。第二，一个n维整数组可以表示一个在n维坐标系中的点；对于一个点，在坐标系单位长度取的足够小、合适的时候，这个点作可以表示成为整数点（即格点）。数学之所以有别于其他任何一门学科（包括物理

29、、化学等理科），是因为数学是完全抽象的或者说是完全理想化的。比如，在研究刚体的运动时，我们可以将其理想化，不考虑空气阻力、不考虑形变等等，而涉及关于质点的计算的时候，我们仍然要将其归结于数学模型，譬如方程、函数，我们将刚体运动轨迹看作函数图像，对此进行计算，那么实际上我们又将其进一步理想化了，试问，什么物体可以严格按照某个函数图像运动？物理模型的抽象化、理想化多是可以实现的，譬如在真空中，可以忽略空气阻力，但是即使在真空中，也不能将数学模型完全实现。数，是数学中的基本概念，也是人类文明的重要组成部分。数的概念的每一次扩充都标志着数学的巨大飞跃。一个时代人们对于数的认识与应用，以及数系理论的完善

30、程度，反映了当时数学发展的水平。今天，我们所应用的数系，已经构造的如此完备和缜密，以致于在科学技术和社会生活的一切领域中，它都成为基本的语言和不可或缺的工具。在我们得心应手地享用这份人类文明的共同财富时，是否想到在数系形成和发展的历史过程中，人类的智慧所经历的曲折和艰辛呢？ 最早发展的一类数系应该是简单分群数系（simple grouping system），如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例,它是10进的，但却不是位置的。在公元前3000到2000年之间，巴比伦人发展了60进位的定位数系（positional numeral system），它采用了位置制，却不是10进的。而最重要和

31、最美妙的记数法则是10进位位置制记数法。 法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,1749 1827）曾经写道：用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。研究表明，10进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。 有理数系：位置制记数法的出现，标志着人类掌握的数的语言，已从少量的文字个体，发展到了一个具有完善运算规则

32、的数系。人类第一个认识的数系，就是常说的“自然数系”。但是，随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。首先，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系2 ，因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补。原始的分数概念来源于对量的分割。如说文八部对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，九章算术中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓：通分。刘徽在九章算术注中所言：众分错杂，非细不会。乘而散之，所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。齐者，子与母齐，势不可失本数也。容易证明，分数系是一个稠密的数系，它对于加、