中考压轴题汇编《由比例线段产生的函数关系问题》含答案.docx

1、中考压轴题汇编由比例线段产生的函数关系问题含答案2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 2017年呼和浩特市中考第25题已知抛物线yx2(2m1)xm21经过坐标原点，且当0时，y随x的增大而减小。（自己作图）（1）求抛物线的解析式，并写出y 0时，对应x的取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作ABx轴于点B， DCx轴于点C. 当BC1时，直接写出矩形ABCD的周长；设动点A的坐标为(a, b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；

2、如果不存在，请说明理由例2 2018年上海市静安区中考模拟第24题已知O的半径为3，P与O相切于点A，经过点A的直线与O、P分别交于点B、C，cosBAO设P的半径为x，线段OC的长为y（1）求AB的长；（2）如图1，当P与O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当OCAOPC时，求P的半径例3 2017年宁波市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD过P、D、B三点作Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交Q于F，连结EF、BF（1）

3、求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时求证：BDEADP；设DEx，DFy，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为21？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由 例4 2018年上海市徐汇区中考模拟第25题在RtABC中，C90，AC6，B的半径长为1，B交边CB于点P，点O是边AB上的动点（1）如图1，将B绕点P旋转180得到M，请判断M与直线AB的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当OMP是等腰三角形时，求OA的长； （3）如图3，点N是边BC上的动点，如

4、果以NB为半径的N和以OA为半径的O外切，设NBy，OAx，求y关于x的函数关系式及定义域图1 图2 图32.1 由比例线段产生的函数关系问题答案例1 2017年呼和浩特市中考第25题已知抛物线yx2(2m1)xm21经过坐标原点，且当0时，y随x的增大而减小。（1）求抛物线的解析式，并写出y 0时，对应x的取值范围；（2）设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作ABx轴于点B， DCx轴于点C. 当BC1时，直接写出矩形ABCD的周长；设动点A的坐标为(a, b)，将矩形ABCD的周长L表示为a的函数并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值

5、，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由动感体验请打开几何画板文件名“15呼和浩特25”，拖动点A在x轴下方的抛物线上运动，观察L随a变化的图像，可以体验到，有两个时刻，L取得最大值，这两个时刻的点A关于抛物线的对称轴对称思路点拨1先用含a的式子表示线段AB、AD的长，再把L表示为a的函数关系式2点A与点D关于抛物线的对称轴对称，根据对称性，点A的位置存在两个情况满分解答（1）因为抛物线yx2(2m1)xm21经过原点，所以m210解得m1。如图1，当m1时，抛物线yx2x的对称轴在y轴左侧，不符合当x0时，y随x的增大而减小。当m1时，抛物线yx23x符合条件

6、。图1 图2 图3（2）当BC1时，矩形ABCD的周长为6。如图2，抛物线yx23x的对称轴为直线，如果点A在对称轴的左侧，那么。解得。所以AD32a。当xa时，yx23xa23a。所以AB3aa2。所以L矩形ABCD的周长2(ABAD)2(3aa232a)。因此当时，L的最大值为。此时点A的坐标为。如图3，根据对称性，点A的坐标也可以是。考点伸展第（2）题的思路是：如图2，抛物线的对称轴是直线，当BC1时，点B的坐标为(1, 0)，此时点A的横坐标为1，可以求得AB2。第（2）题中，L随a变化的图像如图4所示。图4例2 2018年上海市静安区中考模拟第24题已知O的半径为3，P与O相切于点A

7、，经过点A的直线与O、P分别交于点B、C，cosBAO设P的半径为x，线段OC的长为y（1）求AB的长；（2）如图1，当P与O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）当OCAOPC时，求P的半径 动感体验请打开几何画板文件名“14静安24”，拖动圆心P运动，可以体验到，OAB与PAC保持相似，OCA的大小保持不变两圆外切和内切，各存在一次OPCOCA从图像中可以体验到，当两圆外切时，y随x的增大而增大思路点拨1第（1）题求弦AB的长，自然想到垂径定理或三线合一2第（2）题构造直角三角形，使得y成为斜边长，再用勾股定理3第（3）题两圆外切可以直接用第（2）的结论，两圆内切再具

8、体分析4不论两圆外切还是内切，两个等腰OAB与PAC相似满分解答（1）如图2，作OEAB，垂足为E，由垂径定理，得AB2AE在RtAOE中，cosBAO，AO3，所以AE1所以AB2（2）如图2，作CHAP，垂足为H由OABPAC，得所以所以在RtACH中，由cosCAH，得所以，在RtOCH中，由OC2OH2CH2，得整理，得定义域为x0图2 图3（3）如图3，当P与O外切时，如果OCAOPC，那么OCAOPC因此所以解方程，得此时P的半径为如图4，图5，当P与O内切时，同样的OABPAC，如图5，图6，如果OCAOPC，那么ACOAPC所以因此解方程，得此时P的半径为图4 图5 图6考点伸

9、展第（3）题也可以这样思考：如图4，图5，图6，当OCAOPC时，3个等腰三角形OAB、PAC、CAO都相似，每个三角形的三边比是332这样，CAO的三边长为、3PAC的三边长为、例3 2017年宁波市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的坐标为(4,0)，点C的坐标为(4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD过P、D、B三点作Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交Q于F，连结EF、BF（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时求证：BDEADP；设DEx，DFy，请求出y关于x的函数解析式

10、；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为21？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由 图1 动感体验请打开几何画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，DEF保持等腰直角三角形的形状，y是x的一次函数观察BDBF的度量值，可以体验到，BDBF可以等于2，也可以等于0.5请打开超级画板文件名“13宁波26”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，DEF保持等腰直角三角形的形状观察BDBF的度量值，可以体验到，BDBF可以等于2，也可以等于0.5答案（1）直线AB的函数解析式为yx4（2）如图2，BDEC

11、DEADP；如图3，ADPDEPDPE，如图4，BDEDBPA，因为DEPDBP，所以DPEA45所以DFEDPE45因此DEF是等腰直角三角形于是得到图2 图3 图4（3）如图5，当BDBF21时，P(2,2)思路如下：由DMBBNF，知设OD2m，FNm，由DEEF，可得2m24m解得因此再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)如图6，当BDBF12时，P(8,4)思路同上图5 图6例4 2018年上海市徐汇区中考模拟第25题在RtABC中，C90，AC6，B的半径长为1，B交边CB于点P，点O是边AB上的动点（1）如图1，将B绕点P旋转180得到M，请判断M与直线AB的位置关系；（2）

12、如图2，在（1）的条件下，当OMP是等腰三角形时，求OA的长； （3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的N和以OA为半径的O外切，设NBy，OAx，求y关于x的函数关系式及定义域图1 图2 图3动感体验请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O在AB上运动，观察OMP的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O和点P可以落在对边的垂直平分线上，点M不能请打开超级画板文件名“12徐汇25”， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形点击“相切”按钮，可得y关于x的函数关系思路点拨1B的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱2分三种情况

13、探究等腰OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单3探求y关于x的函数关系式，作OBN的边OB上的高，把OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形满分解答（1） 在RtABC中，AC6，所以AB10，BC8过点M作MDAB，垂足为D在RtBMD中，BM2，所以因此MDMP，M与直线AB相离 图4（2）如图4，MOMDMP，因此不存在MOMP的情况如图5，当PMPO时，又因为PBPO，因此BOM是直角三角形在RtBOM中，BM2，所以此时如图6，当OMOP时，设底边MP对应的高为OE在RtBOE中，BE，所以此时图5 图6（3）如图7，过点N作NFAB，垂足为F联结ON当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ONxy在RtBNF中，BNy，所以，在RtONF中，由勾股定理得ON2OF2NF2于是得到整理，得定义域为0x5图7 图8考点伸展第（2）题也可以这样思考：如图8，在RtBMF中，BM2，在RtOMF中，OF，所以在RtBPQ中，BP1，在RtOPQ中，OF，所以当MOMP1时，方程没有实数根当POPM1时，解方程，可得当OMOP时，解方程，可得