1、各题型四年级数学上册思维难题训练孩子比别人多考20分第一讲 方阵问题(一)学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列.如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵(亦叫乘方问题)。方阵的基本特点是: 方阵不论在哪一层,每边上的人(或物)数量都相同.每向里一层,每边上的人数就少2。 每边人(或物)数和四周人(或物)数的关系:四周人(或物)数=每边人(或物)数-14;每边人(或物)数=四周人(或物)数41。 中实方阵总人(或物)数=每边人(或物)数每边人(或物)数。例1:有一条公路长900米,在公路的一侧从头到尾每隔10米栽一根电线杆,可栽多少根电线杆?分析:要以两
2、棵电线杆之间的距离作为分段标准.公路全长可分成若干段.由于公路的两端都要求栽杆,所以电线杆的根数比分成的段数多1。解:以10米为一段,公路全长可以分成9001090(段)共需电线杆根数:90+1=91(根)练习与作业1、四年级同学参加广播体操比赛,要排列成每行11人,共11行的方阵。这个方阵里有多少同学?2、用棋子排成一个66的正方形,共需用棋子多少枚?3、有1764棵树苗,准备在一块正方形的苗圃(实心方阵)里栽培。这个正方形苗圃的每边要栽多少棵树苗?4、576人排成一个实心方阵,这个方阵每边多少人?4、棋子若干只,恰好可以排成每边6只的正方形,棋子的总数是多少?棋子最外层有多少?6、在大楼的
3、正方形平顶四周装彩灯,四个角都装一盏,每边装25盏,四周共装彩灯多少盏?第二讲 方阵问题(二)例3:某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60人。问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有五年级学生多少人?分析:根据四周人数和每边人数的关系可以知:每边人数=四周人数4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了。解:方阵最外层每边人数:6041=16(人)整个方阵共有学生人数:1616=256(人)答:方阵最外层每边有16人,此方阵中共有256人。例4:晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个?分析:方阵每向里面一层,
4、每边的个数就减少2个。知道最外面一层每边放14个,就可以求第二层及第三层每边个数。知道各层每边的个数,就可以求出各层总数。解:最外边一层棋子个数:(14-1)4=52(个)第二层棋子个数:(14-2-1)4=44(个)第三层棋子个数:(14-22-1)4=36(个)摆这个方阵共用棋子:52+4436132(个)练习与作业1. 有16个学生站在正方形场地的四周,四个角上都站1人,如果每边站的人数相等,那么每边站几个学生?2. 有一个正方形池塘,四个角上都栽1棵树,如果每边栽6棵,四边一共栽多少棵树?3. 有100个少先队员参加广播操比赛,十人一行,排成了一个正方形队。这个正方形四周站了多少个少先
5、队员?4. 在一块正方形场地的四周竖电线杆,四个角上都竖1根,一共竖28根,正方形场地每边竖多少根电线杆?5. 某会议室的天棚是正方形,准备在天棚四周每边安装8灯(包括四个角上都安装1盏),四周一共安装多少盏灯?第三讲 巧求周长(一)我们已经会计算长方形和正方形的周长了,但对于一些不是长方形、正方形而是多边形的图形,怎样求它的周长呢?可以把求多边形的周长转化为求长方形和正方形的周长。例1:如图131所示,求这个多边形的周长是多少厘米? 分析:要求这个多边形的周长,也就是求线段ABBCCDDEEF+FA的和是多少,而在这六条线段中,只有AB和BC这两条线段的长度是已知的,其余四条线段的长度均是未
6、知的.当然,这个多边形的周长还是可以求的.用一个大正方形把这个图形圈起来,如图132所示,这个大正方形是ABCG.把线段EF水平向上移动,移到CG边上,这样CDEF的长度正好与AB的长度相等.同样把竖直方向上的DE边向左移动,移到AG边上,这样AFDE的长度正好与BC边的长度相等.这样虽然CD、DE、EF、FA这四条线段的长度不知道,但这四条线段的长度和我们可以求出来,这样求这个多边形的周长就转化为求一个正方形的周长。练习与作业下图的周长与长厘米,宽厘米的长方形周长相同,所以它的周长为厘米(单位:厘米)。1. 下图的周长可以看成一个长由个1厘米的小线段组成,宽由个1厘米的小线段成的长方形的周长
7、,所以它的周长是厘米。2. 求下列各图形的周长(单位:厘米)。周长为厘米。周长为厘米(围成图形的小线段长l厘米)。第四讲 巧求周长(二)例2.把长2厘米宽1厘米的长方形一层、两层、三层地摆下去,摆完第十五层,这个图形的周长是多少厘米?分析:先观察图133,第一层有一个长方形,第二层有两个长方形,第三层有三个长方形找到规律,第十五层有十五个长方形.同样,用一个大长方形把这个图形圈起来.因此求这个多边形的周长就转化为求一个长为215=30(厘米)、宽为11515(厘米)的长方形周长。解:(215115)2=45290(厘米)答:这个图形的周长为90厘米。练习与作业1. 求下列各图形的周长(单位:厘
8、米)。周长为多少厘米。周长为多少厘米(每条小线段长度都是1厘米)?2. 用9个边长为2厘米的小正方形摆成下图形状,它的周长为多少厘米?3. 街心公园有一块草坪(如下图),图上所标数字是线段的米数。在草坪四周从某顶点开始每2米种一棵月季花,一共需种棵。第五讲 逻辑推理初步在有些问题中,条件和结论中不出现任何数和数字,也不出现任何图形,因而,它既不是一个算术问题,也不是一个几何问题。也有这样的题目,表面看来是一个算术或几何问题,但在解决它们的过程中却很少用到算术或几何知识。所有这些问题的解决,需要我们深入地理解条件和结论,分析关键所在,找到突破口,由此入手,进行有根有据的推理,做出正确的判断,最终
9、找到问题的答案。这类问题我们称它为逻辑推理。例1.一桩谋杀案中,两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受到讯问。第一个证人说:“我只知道甲是无罪的。”第二个证人说:“我只知道乙是无罪的。”第三个证人说:“前面两个证词中至少有一个是真的。”第四个证人说:“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”通过调查研究,已证实第四个证人说了实话,请你分析一下,凶手是谁?分析与解:题目中条件较多,且四个人的证词有真有假,在这种情况下,要善于抓住关键,由此入手进行有根有据的逐步推理。本题的关键是:第四个人说了实话。因为第四个人说了实话,所以第三个人的证词是伪证,也就是说“前两个证词中至少有一个是真的”是句假话。由此可以
10、断定,第一个和第二个证人都说了假话。从而判断出甲和乙都是凶手。练习与作业1. 有甲、乙两同学,其中一个人有奇数根铅笔,一个人有偶数根铅笔。如果再给甲原有的铅笔数,再给乙原有铅笔数的2倍,他们俩共有铅笔数为偶数。那么,甲同学原有铅笔数是。2. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学,其中丙同学比丁同学高,比戊同学矮;丁同学比乙同学高;戊同学比甲同学矮。则最高的同学是,最矮的同学是。3. 有四种树的照片,它们是桃树、杏树、李树、梨树,生物老师将照片从1到4编了号,让同学们区分四种树,每人说出两个,学生回答如下;第一个学生:2号是桃树,3号是李树;第二个学生:1号是梨树,2号是杏树;第三个学生:2号是桃树,4
11、号是梨树;第四个学生:4号是梨树d号是李树。老师发现这四个同学都只说对了一半,那么,1号是,2号是,3号是,4号是。第六讲 枚举问题(一)电工买回一批日光灯,在灯座上逐一试一遍,结果全部日光灯都是好的。像这样将事物一个一个全部列举出来的方法就是枚举法。问题.小明有1个5分币,4个2分币,8个1分币,要拿出8分钱,你能找出几种拿法?分析为了不重复、不遗漏地找出所有可能的拿法,“找”就要按照一定的规则进行。先找只拿一种硬币的拿法,有两种:111111118(分);22228(分)。再找拿两种不同硬币的拿法,有四种:11111128(分);1111228(分);112228(分);11158(分)。
12、最后找拿三种不同硬币的拿法,只有一种:1258(分)。由此可见,共有7种不同的拿法。在上面用枚举法寻找可能拿法的过程中,我们对全部拿法作了适当分类。合理分类是枚举法解题中力求又快又省的技巧。练习与作业1. 用2、5、8三个数字可以组成几个不同的三位数?其中最大的三位数是什么?最小的三位数是什么?2. 用0、l、3、6可以组成多少个四位数?3. 有四张卡片分别写有数字0.l、2、3,从中取出2张卡片并排放在一起,可以组成多少个两位数?4. 用两个1、一个2、一个3可以组成种种不同的四位数,这些四位数一共有多少个?5. 在两位整数中,十位数字大于个位数字的共有几个?第七讲 枚举问题(二)问题1.假
13、设有A、B、C三个城市,从A到C必须经过B已知从A到B可以坐汽车或坐火车到达,而从B到C则可以坐汽车或坐火车或坐飞机到达问:从A到C可以有多少种不同的旅行方式?分析 从A到C(AC)可分两个阶段进行:第一阶段,从A到B(AB);第二阶段,从B到C(BC),按照第一阶段使用的交通工具不同可以分为两类:AB BC A所以,从A到C共有236种不同的旅行方式。上述解法中的图示叫做枝形图(图441),在解不太复杂的计数问题中很有用。练习与作业1. 有五顶不同的帽子,两件不同的上衣,三条不同的裤子,从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问:最多有多少种不同的装束?2. 从甲地到乙地有2条不同
14、的路可走,从乙地到丙地有4条不同的路可走。问:从甲地到丙地有几条不同的路可走?3. 从甲地到乙地可以坐飞机、火车、汽车,从乙地到两地可坐飞机、火车、汽车、轮船,某人从甲地经乙地到丙地共有几种走法?4. 小英从家到学校有三条路可走,从学校到少年之家有四条路可走,小英从家经过学校到少年之家共有几种走法?5. 有红、黄、绿、蓝、白五种颜色的铅笔,每两种颜色的铅笔为一组,最多可以配成不重复的几组?第八讲 平均数问题(一)求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题,如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数”。平均数问题包括算术平均数、加权平均数、连续数和求平均数、调和平均数和基准数求平均
15、数。解答这类应用题时,主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系,根据总数除以它相对应的份数,求出一份数,即平均数。一、算术平均数例1.用4个同样的杯子装水,水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米,这4个杯子水面平均高度是多少厘米?分析:求4个杯子水面的平均高度,就相当于把4个杯子里的水合在一起,再平均倒入4个杯子里,看每个杯子里水面的高度。解:(45+7+8)4=6(厘米)答:这4个杯子水面平均高度是6厘米。练习与作业1. 机械厂前3天平均每天加工零件1259只,后4天共加工零件5379只,这星期内平均每天加工零件多少只?2. 修路队4天修了两段公路,第一段长430米,第二段长250
16、米,平均每天修多少米?3. 甲、乙、丙、丁四个队参加田径比赛。甲队得114分,乙队得210分,丙队得186分,丁队得178分。四个队的平均成绩是多少分?4. 东村小学38名少先队员,在校园内和路旁种蓖麻。在路旁种了190棵,在校园内种的棵数是路旁的3倍。平均每人种蓖麻多少棵?第九讲 平均数问题(二)二、加权平均数例3.果品店把2千克酥糖,3千克水果糖,5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元,水果糖每千克4.20元,奶糖每千克7.20元.问:什锦糖每千克多少元?分析:要求混合后的什锦糖每千克的价钱,必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。解:什锦糖的总价:4.402+4.20
17、3+7.20557.4(元)什锦糖的总千克数:23510(千克)什锦糖的单价:57.410=5.74(元)答:混合后的什锦糖每千克5.74元。我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要,对什锦糖的单价产生不同影响,有权衡轻重的作用,所以这样的数叫做“权数”。练习与作业1. A、B、C三人储蓄,A储了1240元,B比A少储70元,C比B多储50元。求A、B、C三人平均储蓄额。2. 甲、乙二数的平均数是72,丙是18。甲、乙、丙三个数的平均数是多少?3. 甲、乙的平均数是30,乙、丙的平均数
18、是34,甲、丙的平均数是32。求甲、乙、而三个数的平均数。4. 有A、B、C三个数,A与B的平均数是97,B与C的平均数为132,A与C的平均数为125。问:这三个数的平均数是多少?5. 小刚参加我学考试,前两次的平均分数是85分,后三次的平均分数是90分。小刚前后几次考试的平均分数是多少?第十讲 消去问题(一)转化法指的是从不同的角度和不同的侧面去分析题目中的数量关系,有的题可以对题中的某些条件进行必要的调整,使这些条件重新组合,解答起来,往往容易一些。例1 学校买了10盒白粉笔和4盘彩粉笔共花了32元,每盒彩粉笔的价钱是白粉笔的2.5倍,每盒白粉笔、彩粉笔各多少钱?分析:依题意,用买1盒彩
19、粉笔的钱可以买2.5盒白粉笔,那么,买4盒彩粉笔的钱就可以买42.5=10(盒)白粉笔。因此,可以理解为花32元买了10+42.5=20(盒)白粉笔,这样,就可以求出1盘白粉笔的价格。解:(1)4盒彩粉笔能换成几盒白粉笔?42.5=10(盒)(2)白粉笔每盒多少元?32(10+10)=3220=1.6(元)(3)彩粉笔每盒多少钱?1.62.5=4(元)答:白粉笔每盒1.6元,彩粉笔每盒4元。练习与作业1. 买一块橡皮和4支铅笔一共用去2角7分,买同样的一块橡皮和2支铅笔的价钱是1角5分,一块橡皮和一支铅笔各多少钱?2. 甲班用4元2角钱买了4支铅笔,3支圆珠笔;乙班用10元2角钱买了4支铅笔和
20、8支圆珠笔。问:铅笔、圆珠笔的单价各是多少元?3. 妈妈买6米白布,8米花布.用去21元3角钱,王大妈买同样的白布6米,同样的花布6米,用去18元钱。问:每米白布和每米花布各多少钱?4. 妈妈买2千克糖果和1千克饼干,共付7元2角,如果买1千克糖果和2千克饼干得付6元,糖果和饼干每千克多少钱?5. 小明买6本红岩、5本新华字典共用7元2角;小刚买5本红岩、6本新华宇典共用7元1角。红岩和新华字典每本售价各多少元?第十一讲 消去问题(二)例1.从图2-2中你能称出一只菠萝等于几只桃子的重量?这样想:根据(1)、(2),可推出1个梨的重量等于2支香蕉的重量;然后把(3)中的一个梨替换成2支香蕉,这
21、样,(3)中就相当于1个菠萝等于2个桃子和3支香蕉的重量,又回想到(2)中1个菠萝等于4支香蕉的重量,因此,2个桃子实际上是1支香蕉的重量,可推得1个菠萝等于8个桃子的重量。例2.1头象的重量等于4头牛的重量,1头牛的重量又等于3匹小马的重量,而1匹小马的重量刚好与4头小猪的重量相同,那么1头象的重量等于几头小猪的重量。这样想:1匹小马刚好是4头小猪的重量,那么3匹小马等于12头小猪的重量,又1头牛相当于3匹小马的重量,也就是12头小猪的重量,因此4头牛等于48头小猪的重量,也就是1头象的重量等于48头小猪的重量。练习与作业1. 美术小组第一天买了3盒彩笔和1支毛笔,付款4元4角4分,第二天又
22、买同样的5盒彩笔和3支毛笔,付款7元9角6分。求每盒彩笔和每支毛笔的价钱?2. 学校第一次买3只篮球,4只排球用了354元,第二次买2只篮球,3只排球用了252元。问:篮球与排球的单价各是多少元?3. 甲求乙代买5千克酒、3千克酱油,按售价交给乙6.45元。乙误买为3千克酒、5千克酱油.结果拿回2.10元,问每千克酒、酱油各多少元?4. 王老师带了30元钱去文具店买钢笔和圆珠笔。他买了3支钢笔和5支圆珠笔后,剩下的钱再买2支圆珠笔还差4角.再买2支钢笔还差2元。每支钢笔多少元?第十二讲 行程问题(一)例1.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行。如果两人都按原定速度行进,那么4小时相遇;
23、现在两人都比原计划每小时少走1千米,那么5小时相遇。A、B两地相距多少千米?分析:可以想象,如果甲、乙两人以现在的速度(比原计划每小时少走1千米)仍然走4小时,那么他们不能相遇,而是相隔一段路。这段路的长度是多少呢?就是两人4小时一共比原来少行的路。由于以现在的速度行走,他们5小时相遇,换句话说,再行1小时,他们恰好共同行完这段相隔的路。这样,就能求出他们现在的速度和了。解:142(5-4)5=40(千米)这道题属于相遇问题,它的基本关系式是:速度和时间=(相隔的)路程。但只有符合“同时出发,相向而行,经过相同时间相遇”这样的特点才能运用上面的关系式。不过,当出现“不同时出发”或“没有相遇(而
24、是还相隔一段路)”的情况时,应该通过转化条件,然后应用上面的关系式。练习与作业1. 一列火车平均每小时行用千米,这列火车从甲地到乙地共用了4小时,问:甲、乙两地相距多少千米?2. 一辆汽车5小时行了280千米,这辆汽车平均每小时行多少千米?3. 小明家到学校1800米,小明早晨上学,平均每分钟走120米,问:小明从家到学校一共用多少分钟?4. 甲、乙两人同时从东西两村出发相向而行,甲每分钟走85米,乙每分钟走90米,18分钟后两人相遇。东西两村相距多少米?5. 甲、乙两列火车同时从两地相向而行,甲车每小时行55千米,乙车每小时行60千米,4小时后两车相遇。两地相距多少千米?第十三讲 行程问题(
25、二)例2.小王、小张步行的速度分别是每小时4.8千米和 5.4千米。小李骑车的速度为每小时10.8千米。小王、小张从甲地到乙地,小李从乙地到甲地,他们三人同时出发,在小张与小李相遇5分钟后,小王又与小李相遇。小李骑车从乙地到甲地需多长时间?分析:为便于分析,画出线段图36-1:图中C点表示小张与小李相遇地点,D点表示他们相遇时小王所在地点。根据题意,小王从D点、小李从C点同时出发,相向而行,经过5分钟相遇。因此,DC的长为这段长度也是相同时间内,小张比小王多行的路程。这里的“相同时间”指从三人同时出发到小张与小李相遇所经过的时间。这段时间为1.3(5.4-4.8)60=130(分)这就是说,小
26、张行完AC这段路(也就是小李行完CB这段路)用了130分钟,而小李的速度是小张速度的2(=10.85.4)倍,所以小李行完AC这段路只需小张的一半时间(65分)。练习与作业1. 东西两地相距500千米,甲、乙两车同时从两地相向出发,甲车每小时行45千米,乙车每小时行55千米。甲、乙两车几小时后才能相遇?2. 甲站到乙站相距1100千米,两列火车同时从两地相向开出,10小时相遇,快车每小时行用千米,慢车每小时行多少千米?3. 甲、乙两人同时从相距54千米的两地相向而行,甲的速度是每小时5千米,乙的速度是每小时4千米,几个时后两人相遇?4. 甲、乙两工程队合修一条长935米的公路,甲队以每天45米
27、的速度由西端往东修,乙队以每天40米的速度由东端往西修,6天后两队相距多远?此工程共需多少天?第十四讲 填补不完整的算式数字谜是一类非常有趣的数学问题,在小学数学竞赛中经常出现.解这类问题必须认真审题,根据题目的特点,找出突破口,从而逐步简化题目直至问题完全解决.问题16.1 在下面这个算式中,不同的文字代表不同的数字,相同的文字代表相同的数字.它们各代表什么数字时,算式才能成立? 分析(1)从“明”字入手.算式中“明+明=明”是本题的突破口.因为在09这十个数字中,只有0+0=0,所以:明=0.即(2)因为两个最大的一位数相加是18,只能向高位进1.因此:分=1.即 (3)再由“是+是=10”可知:是=5.即(4)由“1+就=5”可知:就=4.即 (5)由“非+非= 4”可知:非= 2.即练习与作业
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