1、等比数列学案等比数列学案第4课时等比数列的综合应用知能目标解读1.进一步巩固等比数列的通项公式、性质及前n项和公式.2.掌握数列求和的常用方法错位相减法.重点难点点拨重点:错位相减法求和的理解及等比数列性质的应用.难点:错位相减法求和的应用.学习方法指导如果数列an是等差数列,公差为d;数列bn是等比数列,公比为q,求数列anbn的前n项和,可以运用错位相减法.方法如下:设Sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn,当q=1时,bn是常数列,Sn=b1(a1+a2+a3+an)=;当q1时,则qSn=qa1b1+qa2b2+qa3b3+qanbn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+
2、1,所以Sn-qSn=(1-q)Sn=a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+bn(an-an-1)-anbn+1=a1b1+d-anbn+1,所以Sn=.知能自主梳理1.在等比数列的前n项和公式Sn=中,如果令A=,那么Sn=.2.若Sn表示数列an的前n项和,且Sn=Aqn-A(A0,q0且q1),则数列an是.3.在等比数列an中,Sn为其前n项和.(1)当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k(kN+);(2)当q-1或k为奇数时,数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k(kN+).答案1.Aqn-A2.等比数列3.不是等比数列是等比数列思路方法技巧命题方向等
3、比数列性质的应用例1(1)等比数列an,已知a1=5,a9a10=100,求a18;(2)在等比数列bn中,b4=3,求该数列前七项之积;(3)在等比数列an中,a2=-2,a5=54,求a8.分析由等比数列的性质可知:与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积,与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.解析(1)a1a18=a9a10,a18=20.(2)b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.b24=b1b7=b2b6=b3b5,前七项之积为(32)33=37=2187.(3)解法一:a8=a5q3=a5=54=-1458.解法二:a5是a2与a8的等比中项
4、,542=a8(-2).a8=-1458.说明本题的求解,主要应用了等比数列的性质,若m,n,k,lN+且m+n=k+l,则aman=akal.由此可见,在等比数列问题中,合理应用性质,可使解法简捷.变式应用1已知an是等比数列,且a1a10=243,a4+a7=84,求a11.解析a4a7=a1a10,a4a7=243,a4=81a4=3又a4+a7=84,,或a7=3a7=81q=或q=3.a11=3q4=3()4=或a11=8134=6561.命题方向与前n项和有关的等比数列的性质问题例2各项都是正实数的等比数列an,前n项的和记为Sn,若S10=10,S30=70,则S40等于()A.
5、150B.-200C.150或-200D.400或-50答案A分析本题思路较为广泛,可以运用等比数列前n项和公式列方程,确定基本量a1,q后求解,也可以应用等比数列前n项和的性质求解.解析解法一:设首项为a1,公比为q,由题意知q1.=10由,=70由以上两式相除得q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去),代入有=-10,S40=-10(-15)=150.解法二:易知q1,由S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成公比为q10的等比数列,则S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10,即q20+q10-6=0,解
6、得q10=2或q10=-3(舍去),S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10(1+2+22+23)=150.解法三:运用性质Sm+n=Sm+qmSn求解,S30=S20+q20S10=S10+q10S10+q20S10从而有q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去).S40=S30+q30S10=70+810=150.解法四:易知q1,=,q20+q10-6=0,解得q10=2或q10=-3(舍去).又=,所以S40=150.说明在与等比数列的和有关的问题中,合理应用和的性质,可以简化运算,本题的解法二运用了当q-1时,数列Sm,S2m
7、-Sm,S3m-S2m,仍成等比数列,公比为qm,解法三运用了等比数列的性质:Sm+n=Sm+qmSn,解法四运用了等比数列的性质:当q1时,=.变式应用2等比数列an的前n项和为Sn,若S5=10,S10=20,则S15等于.答案30解析an为等比数列,S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,(S10-S5)2=S5(S15-S10),即100=10(S15-20),解得S15=30.探索延拓创新命题方向错位相减法求数列的和例3求数列1,3a,5a2,7a3,(2n-1)an-1的前n项和(a0).分析由题设可知数列的通项公式为an=(2n-1)an-1,数列的每一项可分成两个因式,前
8、一个因式可构成等差数列,后一个因式可构成等比数列,故可选用错位相减法求和.解析当a=1时,Sn=1+3+5+(2n-1)=n2.当a1时,有Sn=1+3a+5a2+7a3+(2n-1)an-1,aSn=a+3a2+5a2+7a4+(2n-1)an,-得,Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-(2n-1)an=1+-(2n-1)an,Sn=+.说明一般来说,如果数列an是等差数列,公差为d;数列bn是等比数列,公比为q,则求数列anbn的前n项和就可以运用错位相减法.变式应用3求数列n2n的前n项和Sn.解析Sn=121+222+323+n2n2Sn=122+223+(n-1)2n
9、+n2n+1-得-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,Sn=(n-1)2n+1+2.名师辨误做答例4若数列an的前n项和为Sn=an-1(a0),则数列an是()A.等比数列B.等差数列C.可能是等比数列,也可能是等差数列D.可能是等比数列,但不可能是等差数列误解A由Sn=an-1,得an=(a-1)an-1,则有=a-1(常数),故选A.辨析错误的原因在于:当a=1时,an=0,an是等差数列,而不是等比数列,这是没有理解等比数列中an0而造成的.正解C由Sn=an-1,得an=(a-1)an-1.当a=1时,an=0,数列an为等差数列;当a1时
10、,=a-1,(不为零的常数),则数列an为等比数列,故选C.课堂巩固训练一、选择题1.(2011辽宁文,5)若等比数列an满足anan+116n,则公比为()A.2B.4C.8D.16答案B 解析本题考查了灵活利用数列的特点来解题的能力.anan+1=16n,an-1an=16n-1=q2=16q=4.2.在各项为正数的等比数列中,若a5-a4=576,a2-a1=9,则a1+a2+a3+a4+a5的值是()A.1061B.1023C.1024D.268 答案B 解析由题意得a4(q-1)=576,a1(q-1)=9,=q3=64,q=4,a1=3,a1+a2+a3+a4+a5=1023.3.
11、在等比数列an中,a1=1,公比|q|1,若am=a1a2a3a4a5,则m=()A.9B.10C.11D.12 答案C 解析a1=1,am=a1a2a3a4a5=a51q10=q10,又am=a1qm-1=qm-1, qm-1=q10,m-1=10,m=11.二、填空题4.若等比数列an的前n项和Sn=2n+1+r,则r的值为. 答案-2 解析解法一:a1=S1=4+r,a2=S2-S1=8+r-4-r=4, a3=S3-S2=16+r-8-r=8, 又an为等比数列,a22=a1a3, 16=8(4+r), r=-2. 解法二:Sn=2n+1+r=22n+r,数列an为等比数列,Sn=Aq
12、n-A=22n+r, r=-2.5.设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则q的值为.答案-2解析Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,2Sn=Sn+1+Sn+2(Sn+1-Sn)+(Sn+2-Sn)=0,an+1+an+1+an+2=0,2an+1=-an+2,=-2, q=-2.三、解答题6.(2011重庆文,16)设an是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4.(1)求an的通项公式; (2)设bn是首项为1,公差为2的等差数列,求数列an+bn的前n项和Sn.分析(1)问设出公比q,由已知建立有关q的方程,求出公比q,写出通项公式.(2)
13、甲分组求和,先求an的和,再求bn的和,然后相加得Sn.解析(1)设等比数列an的公比为q,由a1=2,a3=a2+4得2q2=2q+4即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1(舍),q=2an=a1qn-1=22n-1=2n(2)数列bn=1+2(n-1)=2n-1Sn=+n1+2=2n+1-2+n2-n+n=2n+1+n2-2.点评此题考查等差、等比数列的通项公式,及求和公式,考查方程的思想,注意等比数列的公比为正数,此题属基础保分题.课后强化作业一、选择题1.已知等比数列an中,an=23n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为()A.3n-1B.3(3n-1) C.(9n-
14、1)D.(9n-1)答案D解析a2=6,q=9,Sn=(9n-1).2.(2010辽宁文)设Sn为等比数列an的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=()A.3B.4C.5D.6 答案B 解析3S3=a4-2,3S2=a3-2,3S3-3S2=a4-a3, 3a3=a4-a3, 4a3=a4, =4,q=4.3.等比数列an的前n项和Sn=2n-1+a,则a的值为()A.-B.-C.D.答案B 解析Sn=2n-1+a=2n+a, 又Sn=Aqn-A,a=-.4.等比数列an的公比为,且S3=1,则S6等于()A.B.C.D.答案B 解析q=,S3=2a1(1-)=a1=1
15、,a1=. S6=(1-)=.5.数列1,1+2,1+2+22,1+2+22+23,1+2+22+2n-1的前n项和Sn1020,那么n的最小值是()A.7B.8C.9D.10 答案D 解析因为1+2+22+2n-1=2n-1,所以Sn=21-1+22-1+2n-1=2n+1-n-21020,所以n的最小值为10.6.已知等比数列an中,公比q=,且a1+a3+a5+a99=60,则a1+a2+a3+a100=()A.100B.90C.120D.30 答案B 解析a2+a4+a6+a100=a1q+a3qa5q+a99q=q(a1+a3+a5+a99)=6030a1+a2+a3+a100=(a
16、1+a3+a5+a99)+(a2+a4+a6+a100)=60+30=90.7.已知2a=3,2b=6,2c=12,则a,b,c()A.成等差数列不成等比数列B.成等比数列不成等差数列C.既成等差数列又成等比数列 D.既不成等差数列又不成等比数列 答案A 解析解法一:由已知得a=log23,b=log26=log23+log22,c=log212=log23+2log22.b-a=c-b. 解法二:2a2c=36=(2b)2,a+c=2b,故选A.8.(2011四川文,9)数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n1),则a6=()A.344B.344+1C.45D.45+1答
17、案A解析该题考查已知一个数列的前n项和Sn与an+1的关系,求通项公式an.注意的问题是用an=Sn-Sn-1时(n2)的条件.an+1=3Snan=3Sn-1-得an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an即an+1=4an=4.(n2)当n=2时,a2=3a1=3,=3=4an为从第2项起的等比数列,且公比q=4,a6=a2q4=344.二、填空题9.等比数列an的前n项和为Sn=3n+1+m,则a1=. 答案6 解析a1=S1=9+m,a2=S2-S1=27+m-9-m=18,a3=S3-S2=81+m-27-m=54, 又an为等比数列,a22=a1a3,182=54(9+m),解得m=
18、-3. a1=9+m=6.10.实数,1,成等差数列,实数a2,1,c2成等比数列,则=.答案1或-+=2ac=1ac=-1解析由条件,得或,a2c2=1a+c=2a+c=-2=1或-.11.已知an是公比为q(q1)的等比数列,an0,m=a5+a6,k=a4+a7,则m与k的大小关系是.答案m解析m-k=(a5+a6)-(a4+a7)=(a5-a4)-(a7-a6) =a4(q-1)-a6(q-1)=(q-1)(a4-a6)=(q-1)a4(1-q2)=-a4(1+q)(1-q)20).m12.设数列an的前n项和为Sn(nN+),关于数列an有下列三个命题:若an既是等差数列又是等比数列
19、,则an=an+1(nN+);若Sn=an2+bn(a、bR),则an是等差数列;若Sn=1-(-1)n,则an是等比数列.这些命题中,正确命题的序号是. 答案解析对于命题,易知它是各项不为零的常数数列,有an=an+1.对于命题,由Sn=an2+bn(a、bR)得an=b+a+(n-1)2a,当n=1时,也适合上式.an为等差数列.对于命题,由Sn=1-(-1)n得an=2(-1)n-1,当n=1时也适合上式.故an为等比数列.三、解答题13.(2011新课标文,17)已知等比数列an中,a1=,公比q=. (1)Sn为an的前n项和,证明:Sn=; (2)设bn=log3a1+log3a2
20、+log3an,求数列bn的通项公式.分析第一问先利用等比数列定义及前n项和公式求出an,Sn,再证明Sn=,第二问将问题转化为等差数列求和. 解析(1)因为an=()n-1=, Sn=,所以Sn=. (2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n) =-. 所以bn的通项公式为bn=-.点评本题考查了数列的通项,前n项和等基础知识,体现了转化与化归的数学思想.14.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1(nN*)(1)求证bn是等比数列;(2)求an的通项公式.解析(1)an+1=2an+1an+1+1=2(an+1),即bn+1=2bnb1=a
21、1+1=20.bn0, =2,bn是等比数列.(2)由(1)知bn是首项b1=2公比为2的等比数列,bn=22n-1=2n,即an+1=2n. an=2n-1.15.一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求此数列的公比和项数. 解析设等比数列的公比为q,项数为2n(nN+),由已知得q1,a1=1,a2=q. =85=170得q=2. =85,4n=256,n=4. 故数列的公比为2,项数为8.16.求和Sn=12+422+723+(3n-2)2n. 解析Sn=12+422+723+3(n-1)-22n-1+(3n-2)2n2Sn=122+423+3(n-1)-22n+(3n-2)2n+1-得,-Sn=12+322+323+32n-(3n-2)2n+1=3(2+22+2n)-(3n-2)2n+1-4=3(2n+1-2)-(3n-2)2n+1-4=32n+1-6-3n2n+1+2n+2-4=2n+2+3(1-n)2n+1-10.Sn=3(n-1)2n+1-2n+2+10(3n-5)2n+1+10.
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