算法设计与分析实验指导书.docx

1、算法设计与分析实验指导书实验一、求最大公约数一、实验内容：（1）至少设计出3种版本的求最大公约数的算法；（2）对所设计的算法采用大O符号进行时间复杂性分析；（3）上机实现算法。二、实验要求：（1）掌握并应用算法的数学分析和后验分析方法；（2）理解这样一个观点：不同的算法能够解决相同的问题，这些算法的解题思路不同，复杂程度不同，解题效率也不同。三、主要仪器设备装有TC或Visual C+的PC机四、实验步骤算法分析（1）连续整数检测1t=minm,n2m除以t，如果余数为0，则执行步骤3，否则，执行第4步；3n除以t，如果余数为0，返回t的值作为结果，否则执行第4步；4T=t-1，转第2步。(2

2、) 欧几里得算法1r=m%n;2循环直到r=0; 21 m=n; 22 n=r;23 r=m%n;3输出n.(3) 分解质因数算法1 将m分解质因数；2 将n分解质因数；3提取m和n中的公共质因数；4将m和n中的公共质因数相乘，乘积作为结果输出五、注意事项（1）、将本实验上机调试、运行，注意调试过程中出现的问题；（2）、结合运行结果，进行复杂性分析。实验二、 最近对问题一、实验内容按照按照蛮力法有关思想，写出相应的程序求解平面上的最近点对，并在计算机上调试成功，并分析其性能特征。二、实验要求结合学过的有关算法设计的基本知识，掌握蛮力算法；理解蛮力算法的概念特征；掌握其时间性能与空间性能及可能的

3、改进方案。 三、主要仪器设备装有TC或Visual C+的PC机四、实验步骤（1）算法分析用分治算法求S中最接近点对的基本思想是：选取一垂直线Lx = m作为分割直线，将S的点分割为点数大致相同的2个子集S1和S2，使得： S1=pS | p(x)m，S2=pS | p(x)m 其中：m是S中各点x坐标的中位数，因此S1和S2中点数大致相同，且S=S1S2。递归地在S1和S2上解最接近点对的问题，分别得到S1和S2中的最小距离d1和d2，并设d=mind1,d2。用P1和P2分别表示在直线L左边和右边与其距离在d范围的点构成的两个垂直长条平面区域。 P1：pP1 | (|m-x(p)|d)，P

4、2：p P2 | (|x(p)-m|d) S中的最接近点对的距离或者是d，或者是某个p,q点对的距离，其中pP1，qP2。如果p,q是S中的最接近点对，则必有distance(p,q)将上述描述简化如下： （1）递归用L将节点集分成两个相等的部分； （2）设d是d1和d2的最小值； （3）删除离L超过d的节点； （4）按照y维扫描剩下的节点，计算5个邻居的距离； （5）如果距离小于d，更新d 下面我们分析分治算法的时间复杂度，由于步骤2-5是每个递归过程中都要去做的，我们先分析2-5。步骤2时间复杂度为O(1)；步骤3时间复杂度为O(n)；步骤4时间复杂度为O(1)；步骤5时间复杂度为O(1)

5、，所以步骤2-5的时间复杂度为O(n)。步骤1递归地将平面S中的点分成两个相等的部分时间复杂度为O(logn)，所以总的时间复杂度为O(n)* O(logn)=O(nlogn)。（2）参考代码#include #include#include #include #include using namespace std;const int N = 100005;const double MAX = 10e100;const double eps = 0.00001;typedef struct TYPE double x, y; int index; Point;Point aN, bN, cN

6、;double closest(Point *, Point *, Point *, int, int);double dis(Point, Point);int cmp_x(const void *, const void*);int cmp_y(const void *, const void*);int merge(Point *, Point *, int, int, int);inline double min(double, double);int main() int n, i; double d; scanf(%d, &n); while (n) for (i = 0; i n

7、; i+) scanf(%lf%lf, &(ai.x), &(ai.y); qsort(a, n, sizeof(a0), cmp_x); for (i = 0; i n; i+) ai.index = i; memcpy(b, a, n *sizeof(a0); qsort(b, n, sizeof(b0), cmp_y); d = closest(a, b, c, 0, n - 1); printf(%.2lfn, d); scanf(%d, &n); return 0;double closest(Point a, Point b, Point c, int p, int q) if (

8、q - p = 1) return dis(ap, aq); if (q - p = 2) double x1 = dis(ap, aq); double x2 = dis(ap + 1, aq); double x3 = dis(ap, ap + 1); if (x1 x2 & x1 x3) return x1; else if (x2 x3) return x2; else return x3; int m = (p + q) / 2; int i, j, k; double d1, d2; for (i = p, j = p, k = m + 1; i = q; i+) if (bi.i

9、ndex = m) cj+ = bi; /数组c左半部保存划分后左部的点, 且对y是有序的. else ck+ = bi; d1 = closest(a, c, b, p, m); d2 = closest(a, c, b, m + 1, q); double dm = min(d1, d2); merge(b, c, p, m, q); /数组c左右部分分别是对y坐标有序的, 将其合并到b. for (i = p, k = p; i = q; i+) if (fabs(bi.x - bm.x) dm) ck+ = bi; /找出离划分基准左右不超过dm的部分, 且仍然对y坐标有序. for

10、(i = p; i k; i+) for (j = i + 1; j k & cj.y - ci.y dm; j+) double temp = dis(ci, cj); if (temp dm) dm = temp; return dm;double dis(Point p, Point q) double x1 = p.x - q.x, y1 = p.y - q.y; return sqrt(x1 *x1 + y1 * y1);int merge(Point p, Point q, int s, int m, int t) int i, j, k; for (i = s, j = m +

11、1, k = s; i = m & j qj.y) pk+ = qj, j+; else pk+ = qi, i+; while (i = m) pk+ = qi+; while (j x - (Point*)q)-x; if (temp 0) return 1; else if (fabs(temp) y - (Point*)q)-y; if (temp 0) return 1; else if (fabs(temp) q) ? (q): (p);五、注意事项（1）、将本实验上机调试、运行，注意调试过程中出现的问题；（2）、结合运行结果，进行复杂性分析。实验三、 快速排序算法一、实验内容利用

12、快速排序算法编制程序对给定的一组数排序，并分析其性能。二、实验要求掌握分治法解决问题的策略；学会使用分治法设计程序并能分析它。三、主要仪器设备装有TC或Visual C+的PC机四、实验步骤（1）算法分析快速排序的基本思想是基于分治策略的。对于输入的子序列Lp.r，如果规模足够小则直接进行排序，否则分三步处理：分解(Divide)：将输入的序列Lp.r划分成两个非空子序列Lp.q和Lq+1.r，使Lp.q中任一元素的值不大于Lq+1.r中任一元素的值。 递归求解(Conquer)：通过递归调用快速排序算法分别对Lp.q和Lq+1.r进行排序。 合并(Merge)：由于对分解出的两个子序列的排序

13、是就地进行的，所以在Lp.q和Lq+1.r都排好序后不需要执行任何计算Lp.r就已排好序。（2）参考代码QSort(Sqlist &L,int low,int high) c=high-low; /*循环次数*/ if(cL.rhigh.key)L.rlowL.rhigh; /*确保区间内第一个元素的值不大于区间内最后一个元素的值*/ ilow=low; /*小于区间内第一个元素的值数组边界下标*/ ihigh=high; /*大于区间内最后一个元素的值数组边界下标*/ for(i=low+1;ic;i+) if(L.ri.keyL.rlow.key)L.riL.r+ilow; /*小于区间内

14、第一个元素的值放置ilow区间内*/ else if(L.ri.keyL.rhigh.key) L.riL.r-ihigh; /*大于区间内最后一个元素的值放置ihigh区间内*/ i-; /*下一个比较位置不变*/ c-; /*循环次数减一*/ L.rilowL.rlow; /*将小于区间内第一个元素的边界下标元素与第一个元素互换*/ L.rihighL.rhigh; /*将大于区间内最后一个元素的边界下标元素与最后一个元素互换*/ QSort(L,low,ilow-1); QSort(L,ilow+1,ihigh-1); QSort(L,ihigh+1,high); void QuickS

15、ort(Sqlist &L) QSort(L,1,L.length); 五、注意事项（1）、将本实验上机调试、运行，注意调试过程中出现的问题；（2）、结合运行结果，进行复杂性分析。实验四、最大子段和（分治法）一、实验内容编制程序求解如下问题：给定由n个整数（可能有负整数）组成的序列（a1,a2,an），最大子段和问题要求该序列形如的最大值（1=i=j=n），当序列中所有整数均为负整数时，其最大子段和为0。二、实验要求进一步掌握递归算法的设计思想以及递归程序的调式技术；理解这样一个观点，分治与递归经常同时应用在算法设计之中。三、主要仪器设备装有TC或Visual C+的PC机四、实验步骤（1）算

16、法分析首先判断输入的数组是不是一个元素。如果是，则再看该元素是不是大于0.如果大于0，则问题的解为该元素的值，否则为0；如果输入的数组不是一个数，则求出其数组中间的元素下标。递推对前半部分数组（low,center）和后半部分（center+1,high）求最大字段和.之后，设置一个左标记和一个右标记。从数组中间向前边执行for语句。在这个过程中，把当前元素加到左标记里面去。同时判断左标记是不是大于左部分可能的字段和，如果大于，把左部分可能的字段和值设置为左标记的值。对数组的右半部分做同样操作。把右半部分的当前元素加到右标记里面去。同时判断右标记是不是大于右部分可能的字段和，如果大于，把右部分

17、可能的字段和值设置为右标记的值。之后设置可能的问题解为左部分可能解和右部分可能解之和。之后判断该可能解是不是大于该数组左边和右边的递推解。如果前者没有后面2者的一个大。则设置问题的最终解为最大者。（2）参考代码#include #define N 10 int subMaxSum(int a,int low,int high) /*quickSort*/ int sum=0; int i; if(low=high) sum=alow; if(sum=low;i-) leftsum+=ai; if(leftsums1)s1=leftsum; for(i=center+1;is2)s2=lefts

18、um; sum=s1+s2; if(sumleftsum)sum=leftsum; if(sumrightsum)sum=rightsum; return sum; int MaxSum(int a,int n) return subMaxSum(a,0,n-1); void main(void) int i,sum; int testN; for(i=0;iN;i+) printf(please input the %d number:,i+1); scanf(%d,&testi); printf(n); printf(your input is:); for(i=0;i 0 ; xi =

19、yi 时 , cij = ci-1j-1 + 1当 i , j 0 ; xi != yi 时 , cij = max cij-1 , ci-1j （2）参考代码#include iostream.h#include iomanip.h#define max 100void LCSLength( int m , int n , char *x , char *y , char *b )int i , j , k;int cmaxmax;for( i = 1 ; i = m ; i+ )ci0 = 0;for( i = 1 ; i = n ; i+ )c0i = 0;for( i = 1 ; i

20、= m ; i+ )for( j = 1 ; j = cij-1 )cij = ci-1j;k = i * ( n + 1 ) + j;bk = |;elsecij = cij-1;k = i * ( n + 1 ) + j;bk = -;void LCS( int i , int j , char *x , char *b , int width )if( i = 0 | j = 0 )return;int k = i * ( width + 1 ) + j;if( bk = )LCS( i - 1 , j - 1 , x , b , width );coutxiendl;else if(

21、bk = | )LCS( i - 1 , j , x , b , width );elseLCS( i , j - 1 , x , b , width );void main()char xmax = a , b , c , b , d , a , b ;char ymax = b , d , c , a , b , a ;int m = 7;int n = 6;char bmax = 0 ;LCSLength( m , n , x , y , b );LCS( m , n , x , b , n );coutendlendl;五、注意事项（1）、将本实验上机调试、运行，注意调试过程中出现的问

22、题；（2）、结合运行结果，进行复杂性分析。实验六、最大子段和（动态规划）一、实验内容运用动态规划法编制一个程序求解实验3的最大字段和问题，并对这两种算法比较分析。二、实验要求深刻掌握动态规划法的设计思想并能熟悉运用；理解这样一个观点，同样的问题可以用不同的方法解决，一个好的算法是返回努力和重新修正的结果。三、主要仪器设备装有TC或Visual C+的PC机四、实验步骤（1）算法分析若记bj=max(ai+ai+1+.+aj),其中1=i=j,并且1=j=n。则所求的最大子段和为max bj，1=j0时bj=bj-1+aj，否则bj=aj。故bj的动态规划递归式为:bj=max(bj-1+aj,aj)，1=j=n。据此，可设计出求最大子段和问题的动态规划算法。（2）参考代码int maxSum(int a)int sum=0;int b=0;for(int i=0;i0) b+=ai;else b=ai;if(bsum)sum=b; return sum;五、注意事项（1）、将本实验上机调试、运行，注意调试过程中出现的问题；（2）、结合运行结果，进行复杂性分析。实验七、哈夫曼编码一、实验内容运用贪心法编制程序求解如下问题：设需要编码的字符集为d1,d2,dn，它们出现的频率为w1,w2,wn，应用哈夫曼树构造最短的不等长编码方案。二、实验要求了解前缀