量子力学 波函数的统计诠释和态叠加原理.docx

1、量子力学 波函数的统计诠释和态叠加原理第二章 波函数和薛定谔方程引言 2.1.1、 如何描述粒子的波动性第二章 波函数和薛定谔方程第一部分、波函数的统计诠释和态叠加原理第二章 波函数和薛定谔方程引言 2.1.1、 如何描述粒子的波动性引言这一部分中，我们将以实验揭示出的微观粒子的波粒二象性为根据，引出描写微观粒子状态的波函数，讨论波函数的性质，以及量子力学的态叠加原理。第二章 波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、 如何描述粒子的波动性2.1、波函数的统计诠释2.1.1、 如何描述粒子的波动性自由粒子：自由粒子的波， 其频率和波矢都不变，即为平面波， x。 = A vt co

2、s 2 如果波沿单位矢量n 的方向传播，则:第二章 波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.1、 如何描述粒子的波动性。改为复数形式为， = ，或者Ae i k r t =( )i ( prEt) ，Ae这种波称为德布罗意波。其中，E = h = ， hp n k= = 。第二章 波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.2、 实物粒子波动性的两种解释场中的粒子：如果粒子受到随时间或位置变化的力的作用，则动能和动量不是常量。用一个函数表示来描写这个波， = 。(r;t)那么，该如何理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？微观粒子的波粒二象性该怎么理解呢？第二章 波函数和薛

3、定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.2、 实物粒子波动性的两种解释2.1.2、 实物粒子波动性的两种解释(1)认为物质波是粒子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种波包。波包是各种波数（长）平面波的迭加，自由粒子的物质波包必然会扩散，粒子将越来越胖，与实验矛盾；另外，散射实验观测到的总是一个一个的电子，从未观测到波包的一部分。夸大了粒子波动性的一面，抹杀了粒子性的一面。第二章 波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.2、 实物粒子波动性的两种解释(2)认为波动性是大量粒子分布于空间形成的疏密波类似与空气振动出现的纵波。然而电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片

4、上逐渐呈现出衍射花纹，这说明单个电子就具有波动性。夸大了粒子性的一面，抹杀了粒子波动性的一面。第二章 波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波以上两种解释都是错误的，电子既不是经典的粒子也不是经典的波。 电子的粒子性：有电荷、质量等粒子属性，但没有确切的轨道概念。 电子的波动性：本质上是指波的相干叠加性。第二章 波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波2.1.3、 概率波1926 年，玻恩(Born)首先提出了波函数的统计解释，即：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的概率成正比。这样，描述粒子的波乃是概率波。量子力学的基

5、本假定之一。第二章 波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波描述微观粒子状态的波函数为(r,t)，其强度为， = 。2 *根据波函数的统计诠释，在t时刻、r 点附近单位体积中找到粒子的概率为，其中 是概率密度，C 是比例常数。这样，t时刻、 附近d 体积元中找到粒子的概率为，第二章 波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波波函数的归一化粒子在整个空间中出现的概率为 1，即要求波函数满足如下条件， ， C r t 2 d =| ( , ) | 1这称为波函数的归一化条件。波函数的归一化条件要求波函数绝对值平方在全空间可积。则，比例系数 C 可得，C

6、=1 。| ( , ) | r t 2 d第二章 波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波粒子在空间各点出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度。这样如果令， ，波函数描写的状态并不改变，归一化条件为,。波函数称为归一化波函数，常数 C 称为归一化因子。这样 和 描写的是粒子的同一个状态，只是为归一化波函数，而 是没有归一化的波函数。第二章 波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波相位不定性如： ， 实数，即波函数在归一化后仍然有一个相位因子ei 的不确定性。讨论：（1）波函数一般为复数，不表示真实的物理量，只有其模平方| |2 才有物理意义

7、。第二章 波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波（2）由于粒子在空间出现的几率为 1，所以各点出现的概率值决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小，即使将波函数乘上常数后所描述的状态不变。 = ， 和 描述的是同一量子状态。t时刻，C 1, 2r r附近单位体积内找到粒子的几率之比为， w(r ,t) | C (r ,t) | | (r ,t) | | (r ,t) | 2 2 2 = = = ，1 1 1 1w(r ,t) | C (r ,t) | | (r ,t) | | (r ,t) | 2 2 2 2 2 2 2第二章 波函数和薛定谔方程2.

8、1、波函数的统计诠释 2.1.3、 概率波（3）归一化条件并不是唯一的，对于在全空间中对波函数模平方积分为 1 的条件，对于有些波函数是没有意义的。比如自由粒子波函数， ，就不满足这个条件。至于这种波函数如何归一化的问题，后面再讨论。（4）归一化的波函数可以含有任意相因子。第二章 波函数和薛定谔方程2.1、波函数的统计诠释 2.1.5、 统计诠释对波函数的要求2.1.5、 统计诠释对波函数的要求（1）可积性： =有限值。| (r,t) | d 20 。（2）归一化(如平方可积)： |(r,t) |2 d =1 | (r ,t) | 具有单值性。注意:不是 (r ,t) 。（3）单值性：2 及其

9、各阶导数连续。（4）连续性： (r,t)第二章 波函数和薛定谔方程2.2、态叠加原理 2.1.5、 统计诠释对波函数的要求2.2、态叠加原理量子力学中描述微观粒子量子状态的方式和经典力学中用坐标和动量的确定值来描述质点的状态完全不同，这种差别来源于微观粒子的波粒二象性。波函数的统计诠释是波粒二象性的一个表现。微观粒子的波粒二象性还通过量子力学中关于状态的一个基本原理态叠加原理表现出来。第二章 波函数和薛定谔方程2.2、态叠加原理 2.2.1、 态函数及量子态2.2.1、 态函数及量子态当给定波函数 ：粒子的位置是不确定的，粒子的几率分布是确定的。可以证明：此时粒子的其他可观测量（如：能量、动量

10、等）的观测值及其几率分布也是完全确定的。因此， 可以用来完全描述微观粒子的状态，称之为态函数。而所描写的状态为量子态。第二章 波函数和薛定谔方程2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理量子态：微观粒子的运动状态（物理状态）。各种力学量的值是不确定的，但是他们的可能值及其分布几率是确定的。对这种态的描述是统计性的第二章 波函数和薛定谔方程2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理2.2.2、 态叠加原理经典物理中，声波和光波都遵循叠加原理，两个可能的波动过程1,2 的线形迭加的结果a +b 也是一个可能1 2的波动过程。量子力学中，如果 是体系的可能状态，那么它们 1, 2 是体系的可能状

11、态，那么它们的线性迭加， = c11 + c22 ，(c1,c2 为复数)，也是这个体系的可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。第二章 波函数和薛定谔方程2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理此时，粒子出现的几率为，如为双缝衍射，则，第一项：粒子穿过狭缝 1 出现在 P 点的几率；第二项：粒子穿过狭缝 2 出现在 P 点的几率；第三、四项： 的干涉相。第二章 波函数和薛定谔方程2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理因此，可以看到，叠加是指对态（ ）的叠加，而不是对概率（ ）的叠加。态叠加原理还有如下含义：当粒子处于态 和1 的叠加2态 时，粒子既处于态 （几率为 ）又处于态1 （

12、几2率为 ）。第二章 波函数和薛定谔方程2.2、态叠加原理 2.2.2、 态叠加原理态迭加原理的一般表达式， = ，cn nnc1,c2 为复数。当系统处于态 时，体系部分地处在 中，相应的概率分别为 。 叠加系数的意义：表示了量子态在所有可能的态中所占的比例。因此， 具有几率的意义。第二章 波函数和薛定谔方程2.2、态叠加原理 对叠加原理的认识对叠加原理的认识(1) 态叠加是对波函数的叠加，不是对概率的叠加；(2) 态叠加是同一量子体系自身状态的叠加；(3) 叠加系数的模平方 2| c | 具有几率意义。n第二章 波函数和薛定谔方程2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布2.2.3、

13、 动量的几率分布具有确定动量 的粒子的运动状态用波函数表示为由态叠加原理，粒子的状态 可以表示为 取多种可能值的平面波的线性叠加：由于 可以连续变化，求和改为积分：第二章 波函数和薛定谔方程2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布式中， ，为归一化因子。将 乘以(6)式两边，并对 全空间积分，得：第二章 波函数和薛定谔方程2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布第二章 波函数和薛定谔方程2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布得，比较：上两式互为傅立叶变换式， ， 是波函数的两种不同的描述方式。 是以坐标为自变量的波函数。则是以动量为自变量的波函数。第二章 波函数和薛定谔方程2.2、态叠加原理 2.2.3、 动量的几率分布: t 时刻，粒子处于处的概率;: t 时刻，粒子具有动量的概率。刻画粒子在坐标空间中的分布概率；刻画粒子在动量空间中的分布概率；