数值分析求解非线性方程根的二分法简单迭代法和牛顿迭代法.docx

1、数值分析求解非线性方程根的二分法简单迭代法和牛顿迭代法实验报告实验目的掌握求解非线性方程根的二分法、简单迭代法和牛顿迭代法，并通过数值实验比较两 种方法的收敛速度。实验内容1、编写二分法、牛顿迭代法程序，并使用这两个程序计算f(x)x e 2 0在0, 14 4 区间的解，要求误差小于 10 ，比较两种方法收敛速度。2、在利率问题中，若贷款额为 20万元，月还款额为2160元，还期为10年，则年 利率为多少？请使用牛顿迭代法求解。3、由中子迁移理论，燃料棒的临界长度为下面方程的根 cotx= (x2- 1)/2x，用牛顿迭代法求这个方程的最小正根。4、用牛顿法求方程f(x) = x3 - 11

2、x2 + 32x- 28 = 0的根，精确至8位有效数字。比 较牛顿迭代法算单根和重根的收敛速度，并用改进的牛顿迭代法计算重根。实验程序X第 1 题：f(x)x e 2 0 区间0,1函数画图可得函数零点约为 0.5。画图函数:fun cti on Test1()% f(x) 示意图,f(x) = x + exp(x) - 2; f(x) = 0 r = 0:0.01:1;y = r + exp(ij - 2P lot(r, y);grid on二分法程序:计算调用函数： c,nu m=bisect(0,1,1e-4)fun cti on c,n um=bisect(a,b,delta)%ln

3、p ut -a,b是取值区间范围%Out put -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值-num是迭代次数ya = a + exp(a) - 2;yb = b + exp(b) - 2;if ya * yb0return ;endfor k=1:100c=(a+b)/2;yc= c + exp(c) - 2;if abs(yc)0b=c;yb=yc;elsea=c;ya=yc;endif abs(b-a)deltan um=k;%num为迭代次数endbreak ;end c=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc = c + exp(c) - 2;牛顿迭代法程序:计算调用函数：c,nu

4、m=newt on (fu nc1,0.5,1e-4)调用函数:fun cti on y = fun c1(x) y = x + exp(x) - 2;end迭代算法:fun cti on c,num=n ewt on(func,p0 ,delta)%lnput -func 是运算公式-delta是允许误差%Out put -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值-num是迭代次数n um=-1;for k=1:1000yO=fu nc(p0);dy0=diff(fu nc( p0 p0+1e-8)/1e-8;p1= p0- y0/dy0;err=abs (p1-p 0);p0=p1;if (err

5、vdelta)num=k; %num为迭代次数 break ;end end c=p0;第2题:由题意得到算式：200000 ?(1 + ?10 - 2160 ?12 ?10 = 0计算调用函数：c,nu m=newto n(fun c2,0.02,1e-8)画图程序:fun ction Test2() % f(x) 示意图，f(x) = 200000*(1+x)A10-2160*12*10; f(x) = 0 r = linsp ace(0,0.06, 100);y = 200000*(1+r)A10-2160*12T0;plot(r, y);grid on调用函数:fun cti on y

6、=fu nc2(r) y=200000*(1+r)A10-2160*12*10;end牛顿迭代法算法程序:fun cti on c,n um =n ewt on(func,p0 ,delta)%lnput -func 是运算公式-delta是允许误差%Out put -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值-num是迭代次数n um=-1;for k=1:1000yO=fu nc(p0);dy0=diff(fu nc( p0 p0+1e-8)/1e-8;p1= p0- y0/dy0;err=abs (p1-p 0);p0=p1;if (errvdelta)n um=k;break;end end c

7、=p0;第 3 题：cot ?= (?八 1)/2?求最小正数解计算调用函数： c,nu m=newt on (fu nc3, 1 ,1e-8)程序：先用画图法估计出最小正解位置在 1到2之间画图程序:fun ction Test3() % f(x) 示意图，f(x) = cot(x)-(xA2-1)./(2.*x); f(x) = 0，-6,6);ezplot( cot(x)-(xA2-1)./(2.*x) grid on调用函数:fun cti on y=fu nc3(x) y=cot(x)-(x.2-1)./(2.*x);end牛顿迭代法算法程序:fun cti on c,n um =n

8、 ewt on(func,p0 ,delta)%lnput -func 是运算公式-p0是零点值 -delta是允许误差%Out put -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值n um=-1;for k=1:1000yO=fu nc(p0);dy0=diff(fu nc( p0 p0+1e-8)/1e-8;p1= p0- y0/dy0;err=abs (p1-p 0);p0=p1;if (errvdelta)n um=k;break;end end c=p0;精确至8位有效数字第 4 题：f(x) = x3 - 11x2 + 32x - 28 = 0根据画图图像可得函数有一个重根在区间 1,3和另

9、一个根在区间6,8。计算调用函数：重根：c,n um=newt on (fu nc4, 1 ,1e-8)另外的单根： c, nu m=newto n(fun c4, 6 ,1e-8)画图程序:fun cti on Test4() % f(x) 示意图，f(x) = xA3-11.*xA2+32.*x-28; f(x) = 0 r = 0:0.01:8;y =匚人3-11.*匚人2+32.*卜28;P lot(r, y);grid on调用函数:fun cti on fun c4(x) y=x.3-11.*x.2+32.*x-28;end牛顿迭代法算法程序:fun cti on c,num=n

10、ewt on(func,p0 ,delta)%lnput -func 是运算公式-p0是零点值%Out put -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值-num是迭代次数n um=-1;for k=1:100yO=fu nc(p0);dy0=diff(fu nc( p0 p0+1e-8)/1e-8;if (dy0=0)c= vp a( p0,8);n um=k;break;elsep1= p0-y0/dy0;err=abs( p1-p0);p0=p1;if (errvdelta)n um=k;break;endend end c= vp a( p0,8);改进的牛顿算法程序:fun cti on c

11、,num=n ewt on(func,p0 ,delta)%lnput -func 是运算公式-p0是零点值 -delta是允许误差%Out put -c 牛顿迭代法最后计算所得零点值-num是迭代次数n um=-1;for k=1:100y0=fu nc(p0);dy0=diff(fu nc( p0 p0+1e-8)/1e-8;if (dy0=0)c= vp a( p0,8);n um=k;break;else根数的方法进行改善。err=abs( p1-pO);p0=p1；if (errvdelta)n um=k;break;endendendc=v pa(p 0,8);四、实验结果分析第1

12、题:根据图片可以看出函数零点的值在0.4与0.5之间，牛顿迭代法时取 0.5作为迭代初值。第2题:根据图片可以看出函数零点的值在 0.02与0.03之间，可采用0.02作为迭代初值。根据图片可以看出函数最小正数零点的值在 1与2之间，在使用牛顿迭代法时可以采用 1为迭代初值。第4题:根据图片可以看出函数重根为 2，另一单根为7。在使用迭代法时刻采用1和6为初值进 行计算。五、实验结论通过实验结果可以看出， 二分法，简单迭代法和牛顿迭代法三种算法中， 牛顿迭代法在选取适合值进行代入的情况下能得到较好的收敛效果。第1题:二分法实验结果： c =0.4429 ，num =11牛顿迭代法实验结果： c

13、 =0.4429 ，num =3根据结果可以看出两者计算结果相同， 牛顿迭代法迭代次数为 3，二分法的迭代次数为11，比较而言迭代次数牛顿迭代法比二分法小得多。第2题实验结果：零点 c = 0.0263 ，num = 4通过画图后能对计算结果有一个较好的估计， 从而在最后获得结果，并且迭代次数也 较少。第3题实验结果：零点 c = 1.3065 , num = 5。cot(x)函数在n /2处无限值，画图时注意使用符号函数 ezplot。以1为代入点，最后迭代次数为5。第4题实验结果: 利用牛顿迭代法计算得到:重根：c =2.00000000 ， num =25 ；另一单根：c =7.00000000 ，num = 7 ；改进后牛顿迭代法重根计算结果： c =2.00000000 ，num =5 ；针对重从结果中可以看出牛顿迭代法在计算单根时比计算重根时的收敛速度快很多, 根的计算，改进后牛顿迭代法大大减小了迭代的次数，提高了收敛速度。