常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法.docx

1、常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法 常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法 摘要 高阶的线性微分方程可通过变量代换转化为一阶线性微分方程组，通过向量的引入及广泛的应用矩阵代数矩阵理论可将一阶线性微分方程组简化为一阶的矩阵微分方程，这给微分方程的形式和计算带来了很大方便。计算一阶矩阵微分方程关键就是求其基解矩阵，目前常数矩阵的基解矩阵研究已达到成熟。 本文将对常数矩阵微分方程的基解矩阵的求法做系统的总结，包括相似对角化方法，分解初值的方法，若尔当标准型方法，待定系数法以及拉普拉斯变换法等方法。 关键词：矩阵; 微分方程; 基解矩阵；计算方法 computationa

2、l method to solve the fundamental solution matrix of Constant matrix differential equation Abstract According to variable transformation, we can change the high-order linear differential equations into the first order differential equations ,then we introduce the vetor and apply the matrix theory of

3、 matrix algebra to change the first order differential equations into the first matrix differential equation,which make great convenience in the computation and the form of differential equation.The key to solve the first order differential equation is to find out its fundamental solution matrix.Now

4、adays,the scientists of mathe have been developed the deep research of fundamental solution matrix of constant matrice. This paper mainly has a comprehensive summarize on the methods to solve the fundamental solution matrix of constant matrice differential equation,including the method similar to th

5、e diagonal,the method to decomposite value, the Jordan Standard Method, the method of undetermined coefficients and the method of Laplace transform and so on. Key words:matrix; differential equation; fundamental solution matrix;the method to computate 1 第1章 引言 . 1 第2章 基本概念及定理 . 3 2.1基本定义 . . 3 2.2基本

6、定理 . . 4 第3章 基解矩阵的求解 . 5 3.1 利用相似对角化求解 . 5 3.2利用特征值与特征向量公式 . . 6 3.3利用分解初值的方法 . 7 3.4利用若尔当标准型求解 . . 12 3.5待定系数法 . 16 3.5.1利用特征多项式或最小多项式法 . 16 3.5.2利用putzer 定理 . 19 3.6拉普拉斯变换法 . 22 参考文献 . . 24 致谢 . 错误！未定义书签。 2 常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法 第1章 引言 线性微分方程理论中在微分方程理论中线性微分方程是非常重要的一部分内容，也是研究非线性微分方程的基础。 对于一阶线性微分方程组 =a

7、11(t )x 1+a 12(t )x 2+a 1n (t )x n +f 1(t )x 1 =a 21(t )x 1+a 22(t )x 2+a 2n (t )x n +f 2(t )x 2 ， （1.1） x =a (t )x +a (t )x +a (t )x +f (t )n 11n 22nn n n n 其中已知函数a ij (t )(i , j =1,2, , n )和f i (t )(i =1,2, , n ) 在区间a t b 上是连续的，方 , x n 是线性的 程组（0.1 ）关于x 1, x 2, , x n 及x 1, x 2, 令 a 11(t )a 12(t ) a

8、 21(t )a 22(t )A (t )=a n 1(t )a n 2(t ) a 1n (t ) a 2n (t ) ， （1.2） a nn (t ) x (t )x 1(t )f 1(t )1 x t f t ()()x t ()x (t )=2x (t )=2f (t ) =2， （1.3） x t f t ()()n n x n (t ) 一阶线性微分方程组转化为矩阵微分方程 x =A (t )x +f (t ) （1.4） 通过变量代换 1 广东技术师范学院本科毕业设计（论文） x x 1x =x 2=x (n -1)x x n 可将高阶的线性微分方程初值问题 d n x d n

9、 -1x dx +a t +a t +a n (t )x =f (t )n 1()n -1()n -1 dt dt （1.5） dt x (t )=, x (t )=, , x (n -1)(t )= 1020n 0 转化为一阶矩阵微分方程初值问题 100 001x = 000 -a n (t )-a n -1(t )-a n -2(t )x (t 0)= 0 0x + 10 f (t )-a 1(t )0 其理论定理也可通过一阶矩阵微分方程平行的证明。 从而可将高阶线性微分方程和一阶线性微分方程组统一于一阶矩阵微分方程。 一阶矩阵微分方程（1.4）其形式跟一阶微分方程 x =a (t )x

10、+f (t ) （1.6） 类似。 对应于一阶微分方程的解，一阶矩阵微分方程的解可以用基解矩阵(t )来表述。所以计算一阶矩阵微分方程的关键就是求其基解矩阵，其中常数矩阵微分方程的计算已经成熟，下面将讨论常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法。 2 常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法 第2章 基本概念及定理 讨论齐次矩阵微分方程 x =A (t ) x （2.1） 常数矩阵系数微分方程 x =Ax （2.2） 2.1、基本定义 定义2.1.1 1，p208 如果一个 nn 列矩阵的每一列都是x =A (t ) x 的解, 我们称这个矩阵为x =A (t ) x 的解矩阵. 如果该矩阵的列在a,b上

11、是的线性无关的解组, 则称该矩阵为方程组 x =A (t ) x 的基解矩阵. 用 (t ) 表示方程x =A (t ) x 的由 1(t), 2(t), n (t) 作为列构成的基解矩阵, 即(t ) = 1(t), 2(t), n (t) 定义2.1.2 1，p219 如果A 是一个n n 常数矩阵，定义矩阵指数exp A 为下面的矩阵级数的和 A k A 2 exp A =E +A + 2! k =0k ! A m +m ! （A 0=E ，0! =1） （2.3） 其中E 为n 阶单位矩阵，A m 是矩阵A 的m 次幂。 这个级数对于所有的A 都是收敛的，因而，exp A 是一个确定的

12、矩阵。 相应的 A k t A 22 exp At =E +At +t + k ! 2! k =0 k A m m +t +m ! 矩阵指数exp A 有如下性质：1，p221 1 如果矩阵A ，B 是可交换的，即AB =BA ，则 exp(A +B ) =exp A +exp B 2 对于任何矩阵A ，(expA ) -1存在，且 3 广东技术师范学院本科毕业设计（论文） (expA ) -1=exp(-A ) 3 如果T 是非奇异矩阵，则 exp(T -1AT ) =T -1(expA ) T 2.2、基本定理 定理2.2.1 1 p208 x =A (t ) x 的一个解矩阵(t ) 是

13、基解矩阵的充要条件是det (t ) 0 (a t b ), 而且, 如果对某一 t 0a , b , det (t 0) 0, 则det (t ) 0 (a t b ) 。 定理2.2.2 1 p208 x =A (t ) x 一定存在一个基解矩阵(t ) ，如果(t ) 是（2.1） 的任一解，那么 t () (t ) = c （2.4） 这里c 是确定的n 维常数列向量。 定理2.2.3 1 p209，推论1 如果是x =A (t ) x 在a t b 的基解矩阵。C 是非奇异n n 常数矩阵。那么，(t ) C 也是 x =A (t ) x 在a t b 区间上的基解矩阵。 定理2.2

14、.4 1 ,p210,推论2 如果(t ), (t ) 在a t b 上是（2.1）的两个基解矩阵，那么，存在一个非奇异n n 常数矩阵C ，使得在区间a t b 上 (t ) =(t ) C (2.5) 定理2.2.5 1 p221 矩阵 (t ) =exp At （2.6） 是x =Ax 的基解矩阵，且(0)=E . 定理2.2.6 1 p228 基解矩阵exp At 与任一基解(t ) 有如下关系exp At =(t ) -1(0) （2.7） 4 常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法 第3章 基解矩阵的求解 本章讨论常数矩阵系数微分方程 x =Ax 基解矩阵的求法，其中A 是n n 常数

15、矩阵 由定理2.2.5 只需求exp At 3.1 、利用相似对角化求解 前提：可对角化 定理3.1.1 设A C n n 是可对角化的，即存在非奇异矩阵T C n n n ，使得 T -1AT =diag (1, 2, , n ) = 则有 f (A ) =Tdiag (f (1), f (2), , f (1n ) T - 证明： + f (A ) =a k -1k k A =a k (T T ) =T (a k k ) T -1 k =0 k =0 k =0 + =Tdiag (a k + , a k k 1 k 2, , a k k n ) T -1 k =0 k =0 k =0 =T

16、diag (f (1), f (2), , f (n ) T -1 推论 设A C n n 是可对角化的，即存在非奇异矩阵T C n n n ，使得 T -1AT =diag (1, 2, , n ) = 则有 f (At ) =Tdiag (f (1t ), f (2t ), , f (n t ) T -1 例题1 2 p69，例题3.7 5 广东技术师范学院本科毕业设计（论文） 460 ，求矩阵微分方程x =Ax 的基解矩阵exp At -3-50已知A = -3-60 解： 令A 的特征行列式 det(E -A ) =(+2)(-1) 2 解得A 的特征值为 1=-2，2=3=1 对于特

17、征值1=-2，代入线性方程 (-2E -A ) X =O 得其特征向量 T 1=(-1,1,1) T 对于特征值2=3=1，代入线性方程 (I -A ) X =O 得两个线性无关的特征向量为 T 2=(-2,1,0) T ，T 3=(0,0,1)T 于是 -1-20-2 使得T -1AT = T =1101 1101 故， e -2t exp At =T e t 2e t -2e -2t -1-2t t T =e -e e -2t -e t e t 2e t -2e -2t 2e -2t -e t 2e -2t -2e t 0 0 e t 3.2、利用特征值与特征向量公式 前提： A 有n 个

18、线性无关的特征向量 定理3.2.1 1 p227 如果矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量v 1, v 2, ，那么矩阵 1, 2, , n （不必各不相同） 6 , v n ，它们对应的特征值分别为 常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法 (t ) =e 1t v 1, e 2t v 2, , e n t v n ，- 是常数矩阵系数微分方程 x =Ax 的一个基解矩阵。 例题： 利用以上结论解例1 (第6页) 由例1解得特征值1=-2及2=3=1 对应的特征向量分别为 v 1=(-1,1,1) T ，v 2=(-2,1,0) T ，v 3=(0,0,1)T 由定理3.2.1 得其一基解矩阵 -

19、2e t 0 (t ) = e 1t v 1, e 2t v 2, e 3t v 3=-1e -20-e -2t -2t t t -2t e t 01, e 1, e 0=e 101e -2t 0 e t -1-20-1 -1(0)=110120 =-1-10 0121 1-1- 由定理定理2.2.6 （第5页） 2e t -2e -2t 2e t -2e -2t 0exp At =(t ) -1(0)= e -2t -e t 2e -2t -e t 0 e -2t -e t 2e -2t -2e t e t 3.3、利用分解初值的方法 定理3.3.11 p230 方程（2.2）满足(0)=

20、的解(t ) 可写为 (t ) =k e j t n j -1t i j =1 A -j E i =0i ! ( )i v j 证明： 假设1, 2, , k 分别是矩阵A 的 n 1, n 2, , n k 重不同特征值，由线性代数理论有=v 1+v 2+ +v k 且分解是唯一的。 3.1）3.2）7 （ （ 广东技术师范学院本科毕业设计（论文） 其中 v j U j (j =1, 2, , k ) ， U j 是由 (A -j E ) j u =0 产生的n j 维子空间 故有 n n (A -j E ) j v j =0 ， l n j ，j =1,2, , k （3.3） 所以 e

21、-j t t t e j exp(-j Et ) =e j =E -t e j e -j t 所以 (expAt ) v j =(expAt ) e j t j t exp(-j Et ) v j =e j t exp(A -j E ) t v j 2t =e E +t (A -j E ) +A (-j E 2) + 再由（3.3.2），知微分方程（2.2）的解 t j +A (-j E n (j -! n -1 n j -1 ) v j (t ) =(expAt ) =(expAt ) v j =(expAt ) v j j =1 j =1 k k =e j =1 k j t 2t E +t

22、 (A -j E ) +A (-j E 2) + t j +A (-j E n (j -! n -1 n j -1 ) v j = k j t e n j -1i t j =1 A -j E )v j (i =0 i 推论 由公式3.1 并注意到 exp At =(expAt ) E =(expAt ) e 1,(expAt ) e 2, ,(expAt ) e n 依次令=e 1, =e 2, 其中 , =e n ，求得n 个解，以这n 个解为列做成的矩阵即为exp At 。 T 0, e 2=010e 1=100 例题21，p223，例题9 0, T , e n =0001 T 8 常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法 已知微分方程 3-11x =Ax 的系数矩阵A =201 2，求基解矩阵exp At 。 1-1 解： A 的特征方程为 det(E -A ) =(-1)(-2) 2=0 1=1，2=2分别为n 1=1，n 2=2重特征值， 为了确定三维欧几里得空间的子空间U 1和U 2 考虑下面方程组 (A -E ) u =0和(A -2E ) 2u =0 解方程组 2-11 (A -E ) u =2-11u =0 -11 1 其解为 u 1=0T 其中为任意常数。子空间U 1是由向量u 1所张成的。 解方程组 000 (A -2E ) 2u =-110u =0 0 -11