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1、完整新人教版初一数学下学期经典辅导讲义docx2018 年新人教版初一数学下学期辅导讲义第六章 实 数一、知识总结（一）平方根与立方根1、平方根（ 1）定义：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。（ 2）表示：非负数 a 的平方根记作a，读作“正负根号 a”，（ a 叫做被开方数）（ 3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0 的平方根为 0 ；负数的没有平方根。（ 4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。、平方根是开平方的结果；、开平方与平方互为逆运算。2、算术平方根（1 ）定义：正数 a 的正的平方根a 叫做 a 的算术平方根， 0 的算术平方根

2、是 0 。（2 ）性质：（ 1 ）一个数 a 的算术平方根具有 非负性 ； 即： a 0 恒成立 。（2 ）正数的算术平方根只有 1 个，且为正数； 0 的算术平方根是 0 ；负数的没有算术平方根。3、立方根：（ 1 ）定义：一般地，如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根。（ 2 ）表示： a 的立方根记作 3 a ，读作“三次根号 a ”（ a 叫做被开方数， 3 叫根指数）（ 3 ）性质：正数的立方根是 1 个正数；负数的立方根是 1 个负数； 0 的立方根是 0 。（二）实数1、无理数： 无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数

3、）2、实数： 有理数和无理数统称为实数。3、实数分类： （ 1 ）按定义分（略）（2 ）按正负性分（略）4、实数与数轴上的点一一对应。5、实数的 相反数、绝对值、倒数 ：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）6、实数的运算 ：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，而且 有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用 。7 、实数大小 ：（ 1 ）正数 0 负数； （2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大。（ 3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。实数比较大小的方法： 作差法、平方法

4、、作商法、倒数法、估值法 二、解题实用1 、 2 1.41421 3 1.732 5 2.236第 1 页 共 16 页2、 a2aa23 a33 a3aa3、 a babaaabb 0bb三、典题练习1、 16的平方根是； - 3 2的算术平方根是； - 32的立方根是。2 、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是；如果一个有理数的平方根与立方根相同，那么这个数是。3、一个自然数的算术平方根是x，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是。4、下列各数中一定为正数的是（填序号） xx 1 x 23 x 1x 15、当 x-1 时， x 2， -x,- x 3 和1 的大小关系。x6

5、、比较下列各组数的大小1 2 - 3与2 - 24与 7与2 111与12 13 3 54 -5277、 7 -2的绝对值为，相反数为，倒数为。8、已知x3 ， y 为 4 的平方根， xy0 ，求 x+y 的值。9、已知x3y - 20，求 x2+y 的平方根。10、如果一个非负数的平方根为 2a-1 和 a-5 ，则这个数是 。11、 a 为 5 的整数部分， b 为 5 的小数部分，则 a+2b 的值为 。12、若 2011 - a a - 2012 a ，试求 a - 2011 2 的值。（提示：找出题中的隐含条件）第七章 一元一次不等式与不等式组一、知识总结（一）不等式及其性质第 2

6、 页 共 16 页1、不等式：（1）定义用“” ( 或“” ) ，“” ( 或“” ) 等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式 . 用“”表示不等关系的式子也是不等式 .（2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。（3）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。不等式的解集与不等式的解的 区别： 解集是能使不等式成立的未知数的取值范围 , 是所有解的集合 , 而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。二者的关系是： 解集包括解 , 所有的解组成了解集。（ 4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。2、不等式的

7、基本性质性质 1：不等式的两边都加上 ( 或减去 ) 同一个整式，不等号的方向不变。即：如果 a b ，那么 a c b c .性质 2：不等式的两边都乘上 ( 或除以 ) 同一个正数，不等号的方向不变。即：如果 a b ，并且 c 0 ，那么 ac bc ； a b .c c性质 3：不等式的两边都乘上 ( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向 改变 。即：如果 a b ，并且 c 0 ，那么 ac bc ； a b .c c性质 4：如果性质 5：如果a b ，那么 b a . （对称性）a b , b c , 那么 a c . （传递性）（二）一元一次不等式1、定义：含有 一个未知数 ，

8、未知数的 次数是 1，且不等号两边 都是整式 的不等式，叫做一元一次不等式。2. 一元一次不等式的解法：根据是不等式的基本性质；一般步骤为： (1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项；(4) 合并同类项； (5) 系数化为 1.解不等式应 注意： 去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； 移项时不要忘记变号； 去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； 在不等式两边都乘 ( 或除以 ) 同一个负数时，不等号的方向要改变。3.不等式的解集在数轴上表示：（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（ 2）方向：大向右，小向左（三）一元一次不等式组1、定义：有几

9、个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组2、（一元一次）不等式组的解集：这几个不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次）不等式组的解集。3、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。4、一元一次不等式组的解法1）分别求出不等式组中各个不等式的解集2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情况：第 3 页 共 16 页不等式组a b解集口诀记忆xaxb同大取大xbxaxa同小取小xbxaaxb大小小大中间找xbxa无解大大小小则无解xb（四）一元一次不等式（组）解决实际问题解题的

10、步骤：审题，找出不等关系 设未知数 找出符合题意的值 作答。一、有解无解问题：xa有解： a bxa（ 1）xb无解： a b （ 2）xb（ 3）xa有解： abxb无解： ab列出不等式（组）求出不等式的解集二、解题技巧有解： a b无解： a b2、特征解问题：解题步骤： 把原式中的要求的量（以下简记为 m ) 当作已知数，去解原式得到原式的解（含 m ) 根据解的特征列出式子（关于 m 的式子 ) 解出 m 的值。例： 已知 a x 2x 1 的解集为 x 1，求 a 的值。解：解不等式 a x 2x 1 把 a 当作已知数，去解原式得 x a 1 得到原式的解（含 a )则 a -

11、1 1 根据解的特征列出式子解得 a 2 解出 a 的值三、典题练习x m 11、若关于 x 的不等式 x 2m 1 有解，则 m 的取值范围是？若无解呢？2 x y 1 m2、已知关于 x ， y 的方程组 x 2 y 2 的解满足 x y 0 ，求 m 的取值范围。第 4 页 共 16 页3 、适当选择 a 的取值范围，使 1.7 x a 的整数解：（ 1 ） x 只有一个整数解； （ 2 ） x 一个整数解也没有。4、解不等式（组）2x5 3x,2 4x3x 7,3x32 x 1（ 1 ） x 2 xx,（ 2 ） 6x 35x 4,（ 3 ）23233x 72x 3.1 x 2( x

12、3) 1.2（ 4 ） 5 6 2x 33y 82(10 y)1.（ 5 ） y735 、若 m、 n 为有理数，解关于 x 的不等式 ( m 2 1)x n3x2 yp1,6、已知关于 x， y 的方程组3 yp的解满足 x y，求 p 的取值范围。4x1xb03 个，求 b 的取值范围。7、已知关于 x 的不等式组 2 x45 的整数解共有8、已知 A 2x 2 3 x 2 ， B 2x 2 4x 5 ，试比较 A 与 B 的大小。3x 4 a,9、已知 a 是自然数，关于 x 的不等式组 的解集是 x 2 ，求 a 的值。x 2 0第 5 页 共 16 页10 、某种商品进价为 150

13、元，出售时标价为 225 元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不低于 10 ，那么商店最多降价多少元出售商品 ?11、某零件制造车间有 20 名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件 6 个或乙种零件 5 个，且每制造一个甲种零件可获利 150 元，每制造一个乙种零件可获利 260 元。在这 20 名工人中，车间每天安排 x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。（ 1）若此车间每天所获利润为 y(元) ，用 x 的代数式表示 y。（ 2）若要使每天所获利润不低于 24000 元，至少要派多少名工人去制造乙种零件 ?12 、某学校计划组织 385 名师生租车旅游， 现知道出租

14、公司有 42 座和 60 座客车， 42 座客车的租金为每辆 320 元， 60 座客车的租金为每辆 460 元。（1 ）若学校单独租用这两种客车各需多少钱?（2 ）若学校同时租用这两种客车8 辆 (可以坐不满 )，而且比单独租用一种车辆节省租金，请选择最节省的租车方案。第八章 整式乘除与因式分解一、知识总结（一）幂的运算：1、同底数幂乘法 ：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。amanam n2、同底数幂除法 ：同底数幂相除，底数不变，指数相减。amana m n3、幂的乘方 ：幂的乘方，底数不变，指数相乘。am namn4、积的乘方 ：积的乘方等于各因式乘方的积。ab ma mbm注： （

15、1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1； a01a0（ 2）任何一个不等于零的数的 -p （ p 为正整数）指数幂，第 6 页 共 16 页等于这个数的 p 指数幂的倒数。 a p1a0a p（ 3）科学记数法： ca10 n 或 c a10-n1a10绝对值小于 1 的数可记成a 10-n 的形式，其中1a10 ， n 是正整数， n 等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。（二）整式乘法：1 、单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2 、单项式与多项式的乘法法则：

16、 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。3 、多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。（三）完全平方公式与平法差公式1 、完全平方公式： a b 2a22ab b2a - b 2a 2 - 2ab b2两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的两倍。2 、平法差公式： a2 - b2 a b a - b两个数的平方之差等于这两个数的和与这两个数的差之积。（四）整式除法（1 ）单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在

17、被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。（2 ）多项式除以单项式的除法法则：单项式与多项式相除，先把多项式的每一项除以这个单项式再把所得的商相加。（五）因式分解1 、定义： 把一个多项式化为几个因式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。2、分解因式的基本方法：（1）提公因式法（2）公式法： 运用完全平方公式和平法差公式（3）对于二次三项式的因式分解的方法：1 ）配方法， 2）十字相乘法： 公式 x2 a b x ab x a x b例：将 x2 4x 3 因式分解。第 7 页 共 16 页方法一： 配方法： 原式 = x24x4 - 43 =x 2 2 -1= x

18、 1 x 3方法二： 十字相乘法： x24x3 = x1 x3（ 4）分组分解法3、分解因式的技巧：(1)因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；(2 ）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁(3)变形技巧：符号变形、 x - y- y - x、当 n 为奇数时，x - y n- y - x n、当 n 为偶数时，x - y ny - x n增项变形：例： 4x 41 4x 4 1 4x2 - 4 x24x44x21 - 4x2拆项变形：例 x 32x2 - 1 x3x2x2 -1x3x2x2 -1x2 x 1x -1 x 1二、典题练习1、计算题(1) a - 2b

19、 2 2b - a 5（ 2) 2x(6) x 2 y 4 - x - 2 y 3 x 2 y3x(3) am- 2 3(4) a5a2m5 213(5) 3 1031022、快速计算： （ 1） 103 97（ 2） 1022（ 3） 9923、 2m4 ， 4n16 ，求 22m - n 的值。4、如果 2mn x2 n64 成立，那么 m,n。5、在括号内填上指数和底数（ 1） 832（2）933226、化简求值：已知 x 2 - 2x3 ，求x -1 2x 3 x - 3 x - 3 x - 1 的值。7、已知 2x 5y 4 ，再求 4x 32y 的值。第 8 页 共 16 页8、已

20、知 a b 3 ， ab -5，求代数式的值：（ 1） a2 b2 （ 2） a - b 29、因式分解： 1） x3 2x2 - 5x - 6 2 ） x2 - y2 ax ay 3 ） a4 4b410、比较 9999 9993与99962 的大小。2 m n 6311、不解不等式组2m- 3n 1 ，求 7n m - 3n- 2 3n - m 的值。第九章 分 式一、知识总结（一）分式及其性质1、分式（ 1 ）定义：一般的，如果 a ，b 表示两个整式，并且 b 中含有字母，那么式子 a 叫做分式；其中 a 叫做分式的b分子， b 叫做分式的分母。（ 2 ）有理式：整式和分式统称为有理式

21、。（ 3 ）分式 =0 分子 =0 ，且分母 0 （分式有意义，则分母 0 ）（ 4 ）最简分式：分子和分母没有公因式的分式。2、分式的性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变aa mamm0 ）即：b mb（a ， b ， m 都是整式，且bm分式的性质是分式化简和运算的依据。3 、约分： 把一个式子的分子分母的公因式约去叫做约分。注：约分的结果应为最简分式或整式。约分的方法 ：1 ）若分子、分母均为单项式：先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母最低次幂；2 ）若分子、分母有多项式：先把多项式因式分解，再找分子、分母的公因式。（二）分式运算1、分式的乘除第

22、 9 页 共 16 页acac1 ）分式乘法法则：两分式相乘，用分子的积做分子，分母的积做分母；即：dbdb2）分式除法法则：两分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；即： acadadbdbcbcnanan3 ）分式乘方法则：分式的乘方就是分子分母分别乘方。即：a，ab1 nbbnb2 、分式的加减aca cb 01 ）同分母分式加减：分母不变分子相加减；即：bbb2）异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式相加减，即： acadbcad bcbd 0bdbdbdbd（三）分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。2、解法：转化1 ）基本思路 ：分式方程 整式方程2

23、 ）转化方法： 方程两边都乘以各个分式最简公分母，约去分母。通过转化方法3 ）一般步骤： 分式方程 整式方程 解整式方程 检验注： 检验的是必不可缺的关键步骤，检验的目的是看是否有增根存在。（四）分式应用列分式方程解决实际问题的 一般步骤 ：审题 设未知数，找等量关系 列方程检验（是否有增根，是否符合题意） 得出答案二、分式解题中常用的数学思想和技巧1、已知 115 ，求 2 x - 3xy2y 的值。（整体思想、构造法）xyx2xyy2、已知x4，求3x2 - 5xy 2 y 2的值。（整体思想、构造法）y32x23xy - 5y 23、已知 abc1，求abc的值。aab1bbc 1 c ca14、已知111 ， 111 ， 111，求abc。ab6 bc9ca15abbcac（先得到1111 题方法做）ab的值，然后按第c5x214 ，求 x21x211、已知x2 的值。（提示：x）xxx