二次函数与幂函数典型例题含答案.docx

1、二次函数与幂函数典型例题含答案二次函数与幂函数1求二次函数的解析式2求二次函数的值域与最值3利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用基础梳理1二次函数的基本知识(1)函数f(x)ax2bxc(a0)叫做二次函数，它的定义域是R.(2)二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x，顶点坐标是.当a0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x时，f(x)min；当a0时，抛

2、物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当x时，f(x)max.二次函数f(x)ax2bxc(a0)当b24ac0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|x1x2|.(3)二次函数的解析式的三种形式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)；顶点式：f(x)a(xm)2h(a0)；两根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)2幂函数(1)幂函数的定义形如yx (R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，为常数(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质第一象限一定有图像且过点（1，1）；第四象限一定无图像；当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；第一象

3、限图像的变化趋势；当a0时，递增，其中a1时，递增速度越来越快，0a1时，递增速度越来越慢。yxyx2yx3yxyx1定义域RRR0，)x|xR且x0值域R 0，)R0，)y|yR且y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，)时，增，x(，0时，减增增x(0，)时，减，x(，0)时，减定点(0,0)，(1,1)(1,1)一条主线二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中两种方法二次函数yf(x)对称轴的判断方法

4、：(1)对于二次函数yf(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为x；(2)对于二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立，那么函数yf(x)图象的对称轴方程为xa(a为常数)两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax2bxc0，a0恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0，a0恒成立的充要条件是双基自测1下列函数中是幂函数的是()Ay2x2 ByCyx2x Dy2(2011九江模拟)已知函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，则f(1)的范围是()Af(1)25 Bf(1)25Cf(1)25 Df(1)25

5、3(2011福建)若关于x的方程x2mx10，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A(1,1) B(2,2)C(，2)(2，) D(，1)(1，)4(2011陕西)函数 的图象是()5二次函数yf(x)满足f(3x)f(3x)(xR)且f(x)0有两个实根x1，x2，则x1x2_.考向一求二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1,3)，且f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称求f(x)与g(x)的解析式【训练1】 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式考向二幂

6、函数的图象和性质【例2】幂函数yxm22m3(mZ)的图象关于y轴对称，且当x0时，函数是减函数，则m的值为()A1m3 B0C1 D2【训练2】 已知点(，2)在幂函数yf(x)的图象上，点在幂函数yg(x)的图象上，若f(x)g(x)，则x_.考向三二次函数的图象与性质【例3】已知函数f(x)x22ax1，求f(x)在区间0,2上的最值【训练3】 已知f(x)1(xa)(xb)(ab)，m，n是f(x)的零点，且mn，则a，b，m，n从小到大的顺序是_双基自测1(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是()Ay2x2 ByCyx2x Dy解析A，C，D均不符合幂函数的定义答案B2(20

7、11九江模拟)已知函数f(x)4x2mx5在区间2，)上是增函数，则f(1)的范围是()Af(1)25 Bf(1)25Cf(1)25 Df(1)25解析对称轴x2，m16，f(1)9m25.答案A3(2011福建)若关于x的方程x2mx10，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A(1,1) B(2,2)C(，2)(2，) D(，1)(1，)解析依题意判别式m240，解得m2或m2.答案C4(2011陕西)函数 的图象是()解析由幂函数的性质知：图象过(1,1)点，可排除A，D；当指数01时为增速较缓的增函数，故可排除C.答案B5二次函数yf(x)满足f(3x)f(3x)(xR)且f(

8、x)0有两个实根x1，x2，则x1x2_.解析由f(3x)f(3x)，知函数yf(x)的图象关于直线x3对称，应有3x1x26.答案6考向一求二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)x2mxn的图象过点(1,3)，且f(1x)f(1x)对任意实数都成立，函数yg(x)与yf(x)的图象关于原点对称求f(x)与g(x)的解析式审题视点 采用待定系数法求f(x)，再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称，求g(x)解依题意得解得：f(x)x22x.设函数yf(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则x0x，y0y.点A(x0，y0)在函数yf(x)的图象上，y0

9、x2x0，yx22x，yx22x，即g(x)x22x. 二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起【训练1】 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式解法一利用二次函数的一般式设f(x)ax2bxc(a0)由题意得解之得所求二次函数的解析式为y4x24x7.法二利用二次函数的顶点式设f(x)a(xm)2n(a0)，f(2)f(1)此二次函数的对称轴为x.m，又根据题意，函数有最大值8，即n8.yf(x

10、)a28，f(2)1，a281，解之得a4.f(x)4284x24x7.考向二幂函数的图象和性质【例2】幂函数yxm22m3(mZ)的图象关于y轴对称，且当x0时，函数是减函数，则m的值为()A1m3 B0C1 D2审题视点 由幂函数的性质可得到幂指数m22m30，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值解析由m22m30，得1m3，又mZ，m0,1,2.m22m3为偶数，经验证m1符合题意答案C 根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当0时，幂函数在(0，)上为增函数，当0时，幂函数在(0，)上为减函数，然后验证函数的奇偶性【训练2】 已知点(，2)在幂函数yf(x)的图象上，点在幂函数

11、yg(x)的图象上，若f(x)g(x)，则x_.解析由题意，设yf(x)x，则2()，得2，设yg(x)x，则()，得2，由f(x)g(x)，即x2x2，解得x1.答案1考向三二次函数的图象与性质【例3】已知函数f(x)x22ax1，求f(x)在区间0,2上的最值审题视点 先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论解函数f(x)x22ax1(xa)21a2的对称轴是直线xa，(1)若a0，f(x)在区间0,2上单调递增，当x0时，f(x)minf(0)1；当x2时，f(x)maxf(2)54a；(2)若0a1，则当xa时，f(x)minf(a)1a2；当x2时，f(x)maxf(2)54a；(3)

12、若1a2，则当xa时，f(x)minf(a)1a2；当x0时，f(x)maxf(0)1；(4)若a2，则f(x)在区间0,2上单调递减，当x0时，f(x)maxf(0)1；当x2时，f(x)minf(2)54a. 解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为ya(xm)2n(a0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程xm，分三个类型：顶点固定，区间固定；顶点含参数，区间固定；顶点固定，区间变动【训练3】 已知f(x)1(xa)(xb)(ab)，m，n是f(x)的零点，且mn，则a，b，m，n从小到大的顺序是_解析由于f(x)1(xa)(xb)(ab)的图象是开口向下的抛物线，因为f(a

13、)f(b)10，f(m)f(n)0，可得a(m，n)，b(m，n)，所以mabn.答案mabn考向四有关二次函数的综合问题【例4】设函数f(x)ax22x2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围审题视点 通过讨论开口方向和对称轴位置求解解当a0时，f(x)a2.或或或或a1或a1或，即a；当a0时，解得a；当a0时，f(x)2x2，f(1)0，f(4)6，不合题意综上可得，实数a的取值范围是a. 含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问

14、题的能力【训练4】 已知二次函数f(x)ax2bx1(a0)，F(x)若f(1)0，且对任意实数x均有f(x)0成立(1)求F(x)的表达式；(2)当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求k的取值范围解(1)f(1)0，ab10，ba1，f(x)ax2(a1)x1.f(x)0恒成立，a1，从而b2，f(x)x22x1，F(x)(2)g(x)x22x1kxx2(2k)x1.g(x)在2,2上是单调函数，2，或2，解得k2，或k6.所以k的取值范围为k2，或k6.规范解答3如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】 二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确

15、定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解【解决方案】 对于二次函数f(x)ax2bxc(a0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论【示例】(本题满分12分)(2011济南模拟)已知f(x)4x24ax4aa2在区间0,1内有最大值5，求a的值及函数表达式f(x) 求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论解答示范 f(x)424a，抛物线顶点坐标为.(1分)当1，即a2时，f(x)取最大值4a2.令4a25，得a21，a12(舍去)；(4分)当01，即0a2时，x时，f(x)取最大值为4a.令4a5，得a(0,2

16、)；(7分)当0，即a0时，f(x)在0,1内递减，x0时，f(x)取最大值为4aa2，令4aa25，得a24a50，解得a5或a1，其中5(，0(10分)综上所述，a或a5时，f(x)在0,1内有最大值5.f(x)4x25x或f(x)4x220x5.(12分) 求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论【试一试】 设函数yx22x，x2，a，求函数的最小值g(a)尝试解答函数yx22x(x1)21，对称轴为直线x1，而x1不一定在区间2，a内，应进行讨论当2a1时，函数在2，a上单调递减，则当xa时，ymina22a；当a1时，函数在2,1上单调递减，在1，a上单调递增，则当x1时，ymin1.综上，g(a)