特殊三角形知识点家教版.docx

1、特殊三角形知识点家教版特殊三角形三角形1、 三角形的内角和是1802、 三角形的外角和是3603、 三角形的任意一个外角都等于和它不相邻的两个内角的和。4、 三角形的任意一个外角都大于和它不相邻的内角全等三角形 全等三角形的性质1、 对应边相等2、 对应角相等 三角形全等的判定1、 三边对应相等的两个三角形全等（SSS或边边边）2、 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS或边角边）3、 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA或角边角）4、 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS或角角边）5、 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL或斜边、直角

2、边）角平分线 角的平分线的性质1、 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。2、 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。（在三角形内部，到三边相等的点是三角形角平分线的交点）等腰三角形 等腰三角形的性质1、 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；2、 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。（等角对等边）等边三角形 等边三角形的性质1、 等边三角形的三个内角相等，并且每一个角都等于60。2、 三个角都相等的三角形是等边三角形。3、 有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。直角三角形 直角三角形的

3、定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 中位线三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。1、直角三角形的性质：、在直角三角形中，两锐角 ；、在直角三角形中, 上的中线等于 的一半.、在直角三角形中,如果一个锐角等于 ,那么 .、在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么 .(定理、通常用于证明线段之间的倍分关系;定理

4、通常用于求三角形中角的度数)、勾股定理内容: .2、直角三角形的判定：、有一个角等于_的三角形是直角三角形；、有两个角_的三角形是直角三角形；、如果三角形一边上的中线等于这条边的_，那么这个三角形是直角三角形。、勾股定理的逆定理内容: .常见的勾股数(及其倍数): 3、直角三角形全等的判定： 斜边、直角边定理:(1)定理内容: .(2)定理作用: .4、角平分线的性质和判定定理：(1)性质定理内容: . 用符号语言表示:如图, .(2) 判定定理内容： 用符号语言表示:如图, , .典例精析 【例题1】判断题：（正确的画“”，错误的画“”） （1）若三角形中最大的内角是60，那么这个三角形是等

5、边三角形；（ ） （2）等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形分成两个等腰三角形；（ ） （3）等腰三角形两腰上的高相等；（ ） （4）等边三角形的三条高相等；（ ） （5）等腰三角形的角平分线垂直且平分对边；（ ） （6）顶角相等的两个等腰三角形全等（ ） 评析：本题主要考查等腰三角形的性质与判定（1）三角形有一角为60时，另两角和是120，若其中之一小于60，必有另一个大于60，与最大角为60相矛盾（2）等腰三角形一腰上的中线不一定等于腰长的一半（3）（4）应用等腰（等边）三角形的性质，通过三角形面积的不同表示方法可证明（5）当等腰三角形腰和底不相等时，底角的平分线不垂直平分对边（6）和等

6、腰三角形底边平行的直线截得的等腰三角形与原三角形顶角相等，但不全等 答案：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 评析：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形，等腰三角形的“三线合一”在等边三角形中就都成立，这是因为在等边三角形中，每个顶点都可以视作等腰三角形的顶点 【例题2】（1）已知：a、b、c为ABC三边，且满足a2+b2+c2+50=60a+8b+10c，试判断ABC的形状（2）如图，ABC中，CDAB，垂中为D点，且CD2=ADBD，求证：ABC为直角三角形 解题思路：由三角形的三边的数量关系来判断三角形是否是直角三角形，或用于构造直角三角形证明两直线垂直，一般与勾股定理和代

7、数式、方程相结合，综合运用特别是由一个等式求三角形的三边长时，往往把等式化为A2+B2+C2=0的形式，再由A=0，B=0，C=0，求得三角形三边的长，再用于计算或判断 （1）解：a2+b2+c2+50=6a+8b+10c， a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0， （a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0， a-3=0，b-4=0，c-5=0， a=3，b=4，c=5，a2+b2=c2， ABC为直角三角形 （2）证明：CDAB， AD2+DC2=AC2，DB2+DC2=BC2 AC2+BC2=AD2+DB2+2DC2，DC2=ADDB， AC2+BC2=AD2+DB2

8、+2ADDB=（AD+DB）2=AB2 ABC为直角三角形 评析：（1）对于原等式关键处是化为A2+B2+C2=0的形式，对常数项拆项的依据是一次项系数的一半的平方（2）本题的解答在于反复应用勾股定理及其逆定理，先分别在RtACD和RtBCD中使用勾股定理，再依据已知条件，进而求得AC2+BC2=AB2，利用勾股定理的逆定理判定ABC为直角三角形 【例题3】（北京）如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行 （1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到

9、什么位置时，AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值 解题思路：（1）木棍在滑动过程中，OP始终是RtAOB斜边中线，故为斜边AB的一半，而AB的长为定长，所以OP不变（2）木棍在滑动的过程中，斜边上的高在发生变化，因为AB为定值，当高最大时，AOB的面积为最大，所以当OPAB（即OA=OB）时，AOB面积最大 解：（1）不变理由：在直角三角形中，因为斜边AB的长不变，由性质有斜边中线OP长不变 （2）当AOB的斜边AB上的高h等于中线OP时，AOB的面积最大，如图，若h与OP不相等，则总有h0，方程有两个不相等的实数根，ACAB 当AB=BC或AC=BC时，将x=5代入方程x2-（2k

10、+3）x+k2+3k+2=0，k=3，k=4 k=3时，方程为x2-9x+20=0，x1=4，x2=5ABC的周长为14 k=4时，方程为x2-11x+30=0，x1=5，x2=6ABC的周长为16 评析：这是一道综合题，涉及知识较多，一元二次方程的解法，一元二次方程根与系数关系，根的判别式，勾股定理，因为没指明等腰三角形的底和腰，不要漏解另外，求解以后要检验，如三角形的边不能为负值，那么方程的解为负值即不合题意舍去，再如，求出的三边是否满足三角形三边之间的关系定理，不满足的也要舍去 【问题2】如下左图，图是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边的长为c图是以c为直

11、角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋将它们拼成一个能证明勾股定理的图形 （1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形； （2）用这个图形证明勾股定理；（3）假设图中的直角三角形有若干个，你能运用（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明） 解题思路：由所给出的三个图形拼成直角梯形，抓住面积来证明勾股定理 解：（1）如上右图是所拼的图形，它是直角梯形 （2）S梯形=（a+b）（a+b）=（a+b）2， 又S梯形=ab2+c2=ab+c2， （a+b）2=ab+c2，整理得a2+b2=c2 （3）拼出能证明勾股定理的图形（图略） 评析：这是考察学生综

12、合能力的一个题目，证明勾股定理的方法很多，而本题给出了三个直角三角形，分析直角三角形的边，用面积关系得出勾股定理的一种证明方法中考演练一、填空题1等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则它的周长为_cm2（山西）在ABC中，如图1，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若B=70，则F=_度 (1) (2) (3)3等腰三角形的两外角之比为5：2，则该等腰三角形的底角为_二、选择题1如图2，ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则A的度数为（ ） A30 B36 C45 D702下列命题中，错误

13、的是（ ） A等边三角形的各边相等，各角相等 B等边三角形是一个轴对称图形 C等边三角形是一个中心对称图形 D等边三角形有一个内切圆和一个外接圆3如图3，在ABD中，D=90，C为AD上一点，则x可能是（ ） A10 B20 C30 D40三、解答题1如图，已知，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D是AB中点，E、F分别在AC、BC上，且EDFD，求证：S四边形EDFC=SABC2如图，ABC中，ACB=90，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D （1）求证：AE=CD：（2）若AC=12cm，求BD的长实战模拟一、填空题1底角为

14、15，腰长为a的等腰三角形的面积是_2等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角度数为_3如图，D为等边三角形ABC内一点，DB=DA，BP=AB，DBP=DBC，则BPD的度数是_ 二、选择题1（宿迁）如图6的三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A（1）（2）（3） B（1）（2）（4） C（2）（3）（4） D（1）（3）（4）2如图，等边ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则APE的度数是（ ）A45 B55 C60 D753三角形两边的长为6和8，第三边长为方程x2-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A24

15、 B24或8 C48 D8三、解答题1（兰州）如图所示，在ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于O点，给出下列四个条件：EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD；OB=OC （1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定ABC是等腰三角形（用序号数写出所有情况）（2）选择（1）中的一种情况，证明ABC是等腰三角形2（吉林）如图，在RtABC和RtDEF中，ABC=90，AB=4，BC=6，DEF=90，DF=EF=4（1）移动DEF，使边DE与AB重合（如图）再将DEF沿AB所在直线向左平移，使点F落在AC上（如图），求BE的长 （2）将图中的DEF绕点A顺时针旋转，使点F落在BC上，连接AF（如图）请找出图中的全等三角形，并说明它们全等的理由（不再添加辅助线，不再标注其他字母）答案:中考演练一、112 240 330二、1B 2C 3B三、1连结CD，证ADECDF 2（1）证AECCDB （2）6cm实战模拟一、1 a2 230或150 330二、1D 2C 3B三、1， （2）略 2（1）BE=AB-AE=4-=，RtAEFFBA，证略