第八章模型参考自适应控制简称MRAC.docx

1、第八章模型参考自适应控制简称MRAC第九章 模型参考自适应控制( Model Reference AdaptiveControl )简称 MRAC介绍另一类比较成功的自适应控制系统，已有较完整的设计理 论和丰富的应用成果(驾驶仪、航天、电传动、核反应堆等等) 。 9 MRAC 的基本概念系统包含一个参考模型，模型动态表征了对系统动态性能的理 想要求， MRAC 力求使被控系统的动态响应与模型的响应相一致。 与 STR 不同之处是 MRAC 没有明显的辨识部分， 而是通过与参考模 型的比较，察觉被控对象特性的变化，具有跟踪迅速的突出优点。设参考模型的方程为Xm AmXm Br 式(9-1-1)

2、ym CXm 式(9-1-2)被控系统的方程为式(9-1-3)式(9-1-4)XS AS BSryS CXS两者动态响应的比较结果称为广义误差 ,定义输出广义误差为e = ym ys 式 (9-1-5) ；状态广义误差为= X m X s 式(9-1-6) 。自适应控制的目标是使得某个与广义误差有关的自适应控制性能指 标 J 达到最小。 J 可有不同的定义，例如单输出系统的t2J e2( )d0 式 (9-1-7) 或多输出系统的tTJ 0 eT ( )e( )d0 式 (9-1-8)MRAC 的设计方法目的是得出自适应控制率，即沟通广义误差 与被控系统可调参数间关系的算式。有两类设计方法：一

3、类是“局部 参数最优化设计方法” ，目标是使得性能指标 J 达到最优化；另一类 是使得自适应控制系统能够确保稳定工作， 称之为“稳定性理论的设 计方法。9 2 局部参数最优化的设计方法一、利用梯度法的局部参数最优化的设计方法这里要用到非线性规划最优化算法中的一种最简单的方法梯度法( Gradient Method )。1. 梯度法考虑一元函数 f(x) ，当: f(x)/ x = 0 ，且f2 (x) / x20 时f(x)存在极小值。问题是怎样调整 x使得 f(x)能达到极小值 ？x 有两个调整方向： 当f(x)/ x 0 时应减小 x ；当 f(x)/ x 0 )。把函数 f(x) 在 x

4、 方向的偏导数称为梯度。上式含义为：按照梯度的 负方向调整自变量 x 。该结论可推广到多元函数求极值的情况。2具有一个时变参数可调增益的 MRAC 设计( MIT 方案)1958 年由麻省理工学院提出。参考模型传函为y m ( s) K m q ( s) r ( s) p ( s )式中： q(s) = b 1sn-1+bn ;n n-1 p(s) = s +a1s +an广义误差为 e = y m ys性能指标为： 式(9-1-7) 。系统的可调增益为 Kc，目标是设计出随着 e 而调整 Kc 的规律，以使 J 达到最小。 J 对 Kc 的梯度为2eto由梯度法有：2et0将上式两边对 t

5、求导数，得到e式(9-2-2)K c 2 eKc广义误差对输入信号的传函为W(S) e(s) ym(s) ys(s) r(s)自适应回路开环情况下系统传函为引入微分算子： D = d/dt 、 D2 = d2 / dt2 ，由上式得到微分方程：P(D) e(t) = ( Km - Kc Ks )q(D) r(t) 两端对 Kc 求偏导数由模型的微分方程： p(D) ym (t) = K mq(D) r(t) 得到q(D)ym代入式(9-2-3) ，得出：P(D)rK me K SKC K mym代入式 (9-2-2) ，得出其中：B = 2 Ks / Km , 当Ks与Km同号时 B为正值常系

6、数，即自适 应回路的积分时间常数。 实现的方案如下图， 自适应回路由乘法器与 积分器组成。该方案能够使得 J 为最小，但是不能确保自适应回路是 稳定的。需要通过调整 B 的大小，使得系统稳定且自适应跟踪速度 也比较快。MIT 方案应用举例：二阶电传动调速系统的模型参考自适应控制 马润津等 “可控硅电传动模型参考自适应控制“自动化学报 1979 。第4期*未加自适 加入自适应 9 3 基于李雅普诺夫第二方法稳定性理论的 MRAC 设计方 法1. 关于李雅普诺夫 ( Liaupunov) 稳定性的第二方法 是关于动态系统(无论线性或者非线性)稳定性分析的理论， 特点是不需要求微分方程的解， 而是直

7、接根据某个特定的函数 (李雅 普诺夫函数)对时间的变化率来判断其稳定性，因此又称直接法。它 特别适用于非线性、线性时变或多变量系统的稳定性分析。a) 李雅普诺夫意义下的稳定性对于以状态方程X f (X,t) 且 f(0,t)=0 t 式( 9-3-1 )描述的动态系统，如果存在一个对时间连续可微的纯量函数V(X, t ) ，满足以下条件：(1) V( X, t ) 正定； (2)V 沿方程式( 9-3-1 )解的轨迹对时间 的一阶偏导数 V 存在，且为负半定(或负定) ，则称 V(X, t ) 为李雅 普诺夫函数，且系统式( 8-3-1 )对于状态空间的坐标原点 X=0 为李 雅普诺夫意义下的

8、稳定(或渐进稳定)的。李雅普诺夫函数的几何意义可以理解为： V(X) 表示状态空间原 点到状态 X 的距离的量度，如果其原点到瞬时状态 X(t) 间的距离随着 t 的增长而不断减小则系统稳定， V(t) 对时间的一阶偏导数相当于 X(t) 接近原点的速度。李雅普诺夫函数的物理意义可以理解为：一个振动着的力学系 统，如果振动的蓄能不断衰减， 则随着时间增长系统将稳定于平衡状 态，而李雅普诺夫函数实质上可视为一个虚拟的能量函数。b）用李雅普诺夫第二方法分析线性定长系统的稳定性线性定长系统X AX 式( 9-3-2)可取一个正定的纯量函数V（X） XTP X 式（9-3-3） 其中 P 为正定的实对

9、称矩阵。 V 沿式（9-3-2 ）的轨线的一阶导数为：V(X) X PX XTPX (AX )T PX XTPAX X T (ATP PA)X X TQ X其中 Q与 P满足线性代数方程（称李雅普诺夫方程）AT P PA Q式（ 9-3-4 ）如果 Q是正定矩阵，则 V（X）的一阶导数是负定的， V（X） 是李雅普诺夫函数，系统式（ 9-3-2 ）对于平衡状态 X=0 是渐进稳定的2应用李雅普诺夫第二方法设计可调增益的 MRAC其中：010A; Bma2a1m Km系统状态方程式（ 9-3-6 ）X s A X s B s r y s C X sBs定义广义误差ee y m y s ;XmXs

10、e令 E = K m - Ks , 由式（ 9-3-5 ）和式（ 9-3-6 ）得出广义状态误差方式（ 9-3-7 ）程A B r其中 B = 0, E T为了保证 MRAC 系统稳定，要找到一个李雅普诺夫函数 V（ ） 。 试取纯量函数V（ ） = T P + E 2 式（ 9-3-8 ）其中 P 为正定实对称阵，显然 V（ ） 也是正定的。求 V（ ） 沿式（9-3-7 ） 的轨线对 t 求导数TdV /dt P TP 2 EE将式（ 9-3-7）代入上式，有dV/dt = T A+ B T rP + T P A + Br+2 E E = T A T P + T PA +B T rP +

11、T PBr+2 E E= T (A TP+PA) + 2 TP Br+2 EE 式( 9-3-9 )为保证 dV/dt 负定，须使二次型 T (A T P+ PA) 负定，且后两项之 和为零。由于 A 为稳定矩阵，方阵 (A T P+PA) 肯定是负定的。由式 ( 9-3-9 )的后两项之和为零的条件，得出：2 E E 2 T PBrT P B rEE式( 9-3-10 )由于所以T PBP12 P12PP21 E0 ( 1P12 2P2) EP22 E 1 12 2 2E 1 (P12 1 P2 2 ) r(t)由 E = Km - Ks (t) , 得到自适应控制律：K s 1(P12 1

12、 P2 2 ) r (C0 e C1 e) r其中: C0 = P12 / , C1 = P2 / , 或写成：式(9-3-11)KS (C0 e C1 e) r(t) d K S0t0按照上式实施控制， 能够保证 V( ) 是正定而 dV/dt 是负定的，即 V( ) 是李雅普诺夫函数，自适应系统对于 = 0 的平衡状态是大范围渐进 稳定的，也就是当 t 时 0 。系统结构如下图：3 应用举例：直流电传动自适应控制可控硅直流调速系统结构图 ,设 = t1+ t2,可简化为开环总增益 KS = K1 K2 / C e i 为时变且可调参考模型状态方程为1Xm1 0 2 2 Xm1 0 r式（

13、9-3-12 ）m1 2 1 m1 rXm2 1 1 Xm2 1被控系统状态方程为0 KS式（ 9-3-13 ）X S1 0 S1 XS1 10 rX S2 1 1 XS2 1可见 AS 和 BS 中仅 a12 =K S / 一个元素是时变的。为了设计出比较 简单的自适应线路，选择正半定的 Q 阵000113由李雅普诺夫方程AT P PA Q式（ 9-3-4 ）解出：110由于 0，所以 P 阵是正定的，将 P 代入 AS 的第 aij 元素的自适应调整律aij 1 (P X ST )ij d Sij (P X ST )ijfij t0得到比例积分型的自适应律1ta12 ( 1 X S 2 )

14、 d S12 ( 1 X S 2 )r12 t0tKS ( r12 t0而 a12 = K s (t) / ，则有1 X S2 ) d S12 ( 1 X S2 )其中的 XS2 虽然不能从系统中直接测量，但是可由以下关系式很容易重构，得出 XS2 的估计量。下图示出了可控硅电传动 MRAC实验系统的简化原理图：实验结果如下图，被控系统开环增益 K0=3.4K m , 加入自适应控制后，能够自动调整 K S 使得系统的动态响应与参考模型的一致。9 4 基于超稳定理论的 MRAC 设计方法超稳定理论最初由波波夫在研究非线性系统绝对稳定性时提出 的，该理论对研究非线性时变反馈的非线性系统的稳定性很

15、有用途， 特别是 I.D.Landau 等将超稳定理论用于 MRAC 系统的设计， 取得良 好效果。本节仅就其基本概念和主要结果作一些简要介绍。一、关于超稳定性理论的基本概念1. 直观概念 先从简单的直观概念出发，体会稳定性的含义。讨论一个由线 性定常的正向通道和非线性时变的反馈通道组成的单输入单输 出闭环系统(见下图) 。如果该闭环系统能够满足以下两个条件：a) 线性定常的正向通道动态性能等价于一个无源网络；b) 非线性反馈通道为正向通道提供的总能量 (系统储能)是有限的， 则该系统一定是稳定的。由网络理论，以上的条件 a) 等价于传递函数Z(s) = y(s)/u(s) 是正实函数；条件

16、b) 可以用以下积分不等式来表示：2u(t) y(t) dt 2 式( 9-4-1 )0其中：T 0 ， 为某一有限值的常数。2 关于正实和严格正实函数 函数的正实性概念是从网络分析中引申来的， 数学的正实函数概 念上与物理的无源网络相关。 无源网络能量的非负性， 其传递函数是 正实的。Z (s) 是正实函数的定义是： (1)s为实数时 Z (s) 也为实数；( 2)Z(s) 无右半开平面的极点； ( 3)对于任意实的 ，( - 0 ,则函数 Z(s)是严格正实函数。正实和严格正实传递函数有以下特点：(1)严 格正实传递函数对于 0 的乃奎斯特图的矢端曲线完全在第四象限内(正实传递函数的乃氏图

17、可能与虚轴相切) ，即输 出对输入的相位滞后不超过 90 0 ；(2)如果 Z(s) 正实，则1 / Z (s)、Z (1/s) 和 c Z (s) 也正实(c 为大于零的常数)；(3)如果Z1(s) 和 Z 1 (s)正实，则它们的串联 Z1(s) Z1(s)、 并联 Z 1 (s)+Z 1 (s)和反馈联接如 Z1(s) /(1+ Z 1(s) Z 1 (s)均也正实。3关于超稳定 ( Hyperstable ) 和渐进超稳定 ( AsymptoticallyHyperstable ) 的定义 ：考虑一个多输入多输出系统X=AX + B U 式( 8-4-2 )Y = C X 式( 8-4

18、-3 )其中 U 和 Y 分别为 m 维的输入和输出量， U 为有界函数，且它的拉 氏变换存在； X 为 n 维状态向量，假定该系统是某一传递函数矩阵 Z (s) 的最小实现Z(s) = C (sI- A)- 1B 超稳定的定义是：如果对于任何 T0 ，输入和输出向量满足TU T (t) Y(t) dt 2 式(8-4-4 )0( 0 的常数)必有以 X(0) 为初始状态的解 X(t) 满足II X(t) II K ( II X(t) II+ ) 式( 8-4-5 )( K 0 的常数 ) ，则称平衡点 X = 0 是超稳定的，简称为系统是超稳 定的。式中的 II X II 表示向量 X 的模

19、(长度)。如果超稳定的系统对于 U(t) 的任意解 X(t) ( 在任意初始状态下) 都有式( 8-4-6 )lim X(t) 0则平衡点 X = 0 称为渐进超稳定的，或简称系统是渐进超稳定的不等式被称为波波夫不等式，其意义可理解为：系统从 0 到 T 时刻的储能 是有界的。这种情况下超稳定意味着状态的变化被局限在 X = 0 附 近。式（ 8-4-4 ）的积分与李雅普诺夫稳定性理论中的李雅普诺夫函 数 V 的作用相类似。4 关于超稳定性的定理 定理 系统式（ 8-4-2 ）和式（ 8-4-3 ）是（渐进）超稳定的充要条 件是传递函数矩阵 Z （s）是（严格）正实矩阵。、用超稳定理论设计 M

20、RAC 系统思路是先将自适应系统转化为一个由线性定常的正向通道部分和非线性时变反馈通道部分。如果正向通道是严格正实的，而反馈通道满足TV T W dt则系统是渐进超稳定的， 按照以上两条件设计自适应律， 然后再返回 到原系统去，完成了对 MRAC 的设计。 仍然以二阶可调增益系统为例。自适应开环传函为(s) Km Kso Ks2r(s) 1 a1s a2s令：W(t) = ( Km-Ks0- Ks ) r(t) 和 V(t) = C(D) e(t)如果选择 (t) 使得下不等式成立TW V dt选择 C(s) 使得C(s)1 a1s a2s2严格正实，则 MRAC 渐进超稳定设计结果与利用李雅普诺夫稳定性方法得到相同结果