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1、北师大版数学八下各章知识总结最全面北师大版八年级数学下册各章知识要点总结第一章 三角形的证明一.全等三角形判定定理： 1.三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS) 2.有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) 3.有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) 4.有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) 5.直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）二.等腰三角形的性质定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形

2、的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 （三线合一）推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 等腰三角形中的相等线段：1.等腰三角形两底角的平分线相等2.等腰三角形两腰上的高相等3.两腰上的中线相等4.底边的中点到两腰的距离相等三.等腰三角形的判定 1.有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2.

3、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 四.直角三角形1.直角三角形的性质直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2.直角三角形判定如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；3.互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的

4、逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 五.线段的垂直平分线、角平分线 1.线段的垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.（外心）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.2.角平分线 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（有“”符号） 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.（内心）判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.3.逆命题、互逆命题的概念，及反

5、证法第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“”(或“”)或“”连接的式子叫做不等式.2. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 大于等于0(0) 0和正数 不小于0非正数 小于等于0(0) 0和负数 不大于0二.不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用：(1)不等式的两边加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；即：如果ab,那么a+cb+c, a-cb-c.(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；即：如果ab,并且c0,那么acbc，(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等

6、号的方向改变；即：如果ab,并且c0,那么acb，那么a-b是正数；反过来，如果a-b是正数，那么ab；如果a=b，那么a-b等于0；反过来，如果a-b等于0，那么a=b；如果ab，那么a-b是负数；反过来，如果a-b是正数，那么ab a-b0a=b a-b=0ab a-bb(或axb为例说明当a0时，解为x；当a=0时，且b0，则x取一切实数；当a=0时，且b0，则无解；当a0时，解为x.5.列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似，即：审：认真审题，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义；设：设出适当的未知数；列：根据题中的不等关

7、系，列出不等式；解：解出所列的不等式的解集；答：写出答案，并检验答案是否符合题意。六.一元一次不等式组1.定义：由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。2.一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集。如果这些不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解。（解集的公共部分,通常是利用数轴来确定。）3.解一元一次不等式组的步骤：(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集。两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数，且a0的解集为（ ）Ax0 Bx0 Cx2(2)直线与直线在同一

8、平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为_(3)已知一次函数y=ax+b的图像过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2,0），则关于x的不等式a(x-1)-b0的解集为_.第三章 图形的平移与旋转一.平移：1.概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移.2.性质：(1)平移前后图形全等；(2)对应点连线平行或在同一直线上且相等。3.平移的作图步骤和方法：(1)分清题目要求，确定平移的方向和平移的距离；(2)分析所作的图形，找出构成图形的关健点；(3)沿一定的方向，按一定的距离平移各个关健点；(4)连接所作的各个关键点，并标上相应的字母；(5)写出结论

9、.二.旋转：【图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角】 1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.说明：(1)图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度所决定的；(2)旋转过程中旋转中心始终保持不动(即是同一个旋转中心)；(3)旋转过程中旋转的方向是相同的(4)旋转过程静止时，图形上一每个点的旋转角度是一样的；(5)旋转不改变图形的大小和形状.2.性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋角；(3)旋转前、后的图形全等；3.旋转作图的步骤和方法：(1)确定旋转中心及旋转方向、旋转角；(2)找出图形的关键点

10、；(3)将图形的关键点和旋转中心连接起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角度数，得到这些关键点的对应点；(4)按原图形顺次连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形；说明：在旋转作图时，一对对应点与旋转中心的夹角即为旋转角.三.中心对称1.中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点 把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点. 2.中心对称的基本性质： (1)成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。 (2)成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且

11、被对称中心平分。 3.中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心 把一个平面图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心. 4.中心对称与中心对称图形的区别与联系 如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。 5.图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比(略) 6.图案的分析与设计 首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成；图案设计的基本手段主要有：轴对称

12、、平移、旋转三种方法.四.常见考法(1)把平移旋转结合起来证明三角形全等；(2)利用平移变换与旋转变换的性质，设计一些题目.第四章 因式分解一.分解因式1.把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.2.因式分解与整式乘法是互逆关系：因式分解与整式乘法的区别和联系：(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二.提公共因式法1.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。2.概念内涵：(1)因式分解的最后结果应当是“积”(即“=”右

13、边是“积”)；(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式；(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律.3.易错点点评：(1)注意项的符号与幂指数是否搞错；(2)公因式是否提“干净”；(3)多项式中某一项恰为公因式；提出后；括号中这一项为+1；不漏掉。三.公式法1.如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.2.主要公式：(1)平方差公式：a-b=(a+b)(a-b) (2)完全平方公式：a+2ab+b=(a+b) a-2ab+b=(a-b)3.运用公式法：(1)平方差公式：a-b=(a+b)(a-b)应是二项式或视作二项式的多项式；二项式的每项(不

14、含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方；二项是异号.(2)完全平方公式：a+2ab+b=(a+b) a-2ab+b=(a-b)应是三项式；其中两项同号，且各为一整式的平方；还有一项可正负，且它是前两项幂的底数乘积的2倍.四.分组分解法：1.分组分解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。即am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)=(a+b)(m+n)例如:4a-b-4c+4bc=4a-(b-4bc+4c)=4a-(b-2c)=(2a+b-2c)(2a-b+2c)2.概念内涵：分组分解法的关键是如何分组，要尝试通过分组后是否有公因式可提，并且可继续分解，分组后是否可利用公式法继续

15、分解因式.3.注意：分组时要注意符号的变化.五.十字相乘法：1.对于二次三项式ax+bx+c，将a和c分别分解成两个因数的乘积，往往写成a=a1a2, c=c1c2, b=a1c2+a2c1的形式，将二次三项式进行分解.即ax+bx+c=（a1x+ c1）(a2x+ c2)2. 二次三项式x+px+q的分解：p=a+b，q=ab，x+px+q=(x+a)(x+b)3.规律内涵：(1)理解：分解因式时，如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。(2)如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同，对于分解的两

16、个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p。4. 易错点点评：(1)十字相乘法在对系数分解时易出错；(2)分解的结果与原式不等，这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.六.因式分解的思路与解题步骤：(1)先看各项有没有公因式，若有，则先提取公因式；【特别注意:若有“-”先提取“-”；例如：-x+4xy-4y=-(x-4xy+4y)=-(x-2y)】(2)再看能否使用公式法；(3)用分组分解法，即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的；(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积，否则不是因式分解；(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.例如:

17、 =(x-9y)(x+9y)就没有分彻底正确的是：=(x-9y)(x+9y)=(x-3y)(x+3y)(x+9y)第5章 分式与分式方程1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.例如：，都是分式.(1)分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母.(2)分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零.(3)分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零.2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变.用式子表示= = 其中A、B、C为整式（C0）注：(1)利用分式的基本性质进行分时变形是

18、恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。(2)应用基本性质时，要注意C0，以及隐含的B0。(3)注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。 例如：(1)将分式中的x，y值都扩大3倍，则分式的值不变； (2)将分式中的x，y值都扩大3倍，则分式的值扩大为原来的3倍； 提示(1)x、y扩大3倍后，分式变为了= (2)x、y扩大3倍后，分式变为了=3.分式的通分和约分：关键先是分解因式(1)分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值.(2)最简分式：分子与分母没有公因式的分式(3)

19、分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式.(4)最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母.4.分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项的符号.5.分式的运算：(1)分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母. (2)分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 (3)分式乘方法则：分式乘方要把分子

20、、分母分别乘方. = (4)分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算(5)分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减；6.分式方程：定义:含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程. (1)增根：分式方程的增根必须满足两个条件：增根是最简公分母为0；增根是分式方程化成的整式方程的根； 无解：两边乘以最简公分母化成整式方程，然后分“增根”和“未知数前面的系数为0”两种情况讨论.(2)分式方程的解法：能化简的先化简；方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；解整式方程；验

21、根注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根.分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，解为方程的增根，方程无解. (3)列分式方程解实际问题步骤：审题设未知数列方程解方程检验写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验.应用题基本类型：a.行程问题：基本公式：路程=速度时间 (而行程问题中又分相遇问题、追及问题)b.数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法 c.工程问题 基本公式：工作量=工时工效 d.顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水 v逆

22、水=v静水-v水e.相遇问题 f追及问题相遇路程速度和相遇时间 追及距离速度差追及时间相遇时间相遇路程速度和 追及时间追及距离速度差速度和相遇路程相遇时间 速度差追及距离追及时间g流水问题 h浓度问题顺流速度静水速度水流速度 溶质的重量溶剂的重量溶液的重量逆流速度静水速度水流速度 溶质的重量溶液的重量100%浓度静水速度(顺流速度逆流速度)2 溶液的重量浓度溶质的重量水流速度(顺流速度逆流速度)2 溶质的重量浓度溶液的重量m.利润与折扣问题 利润售出价成本 利润率利润成本100%(售出价成本1)100% 涨跌金额本金涨跌百分比 折扣实际售价原售价100%(折扣1) 利息本金利率时间 税后利息本

23、金利率时间(120%) 【补充】整数指数幂(1)任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即；(2)任何一个不等于零的数的-n次幂（n为正整数），等于这个数的n次幂的倒数，即 =(a0)注：分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂.即=(3)科学计数法：把一个数表示为a10n (1a10,n为整数)的形式，称为科学计数法。 注：绝对值大于1的数可以表示为a10n 的形式，n为正整数； 绝对值小于1的数可以表示为a10-n的形式，n为正整数.表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n-1表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0) (

24、4)正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂(m,n是整数)同底数的幂的乘法：；幂的乘方：积的乘方：；同底数的幂的除法：( a0)；商的乘方：；(b0)第6章 平行四边形1.平行四边形平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；性质：(1)两组对边分别平行；(2)两组对边分别相等；(3)一组对边平行且相等；(4)两组对角分别相等；(5)对角线互相平分；(6)是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，过对称中心的任意一条直线都可以将平行四边形的面积平分；(7)两条对角线将平行四边形分成四个三角形，四个三角形面积相等，有两组三角形全等.【S=底高】平行线之间的距离：若两条直线互相平行，

25、则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等.这个距离称为平行线之间的距离.例题：1.如图，在周长为20cm的ABCD中，ABAD，对角线AC、BD相交于点O，OEBD交AD于E，则ABE的周长为（）A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm解：AC，BD相交于点O，O为BD的中点，OEBD，BE=DEABE的周长=AB+AE+BE=AB+AD=20=10cmABE的周长为10cm故答案为102.已知平行四边形一边长为10，一条对角线长为6，则它的另一条对角线的取值范围为（ ）A416 B1426 C1220 D以上答案都不正确解:如上图，平行四边形ABCD，a=2OB，AC=2OA=

26、6OB=，OA=3在AOB中：AB-OAOBAB+OA即：1426 故选B判定：【证明平行四边形的方法】(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形； 2.三角形中位线(1)定义：三角形两边中点的连线叫三角形的中位线；(2)性质：中位线平行于第三边且等于第三边的一半；推论：过三角形一边的中点且平行于另一边的直线必平分第三边.中点四边形：顺次连接四边形个边中点构成的新四边形，新四边形一定是平行四边形.例题：1.如图，ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC10，则PQ的长为（）A B C3 D4解:BQ平分ABC，BQAE，BAE是等腰三角形，同理CAD是等腰三角形，点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），PQ是ADE的中位线，BE+CD=AB+AC=26-BC=26-10=16，DE=BE+CD-BC=6，PQ=1/2DE=3 故选：C2.如图，在ABC中，点D是边BC的中点，点E在ABC内，AE平分BAC，CEAE，点F在边AB上，EFBC(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；(2)