备战noip基本算法.docx

1、备战noip基本算法备战noip基本算法 一、数论算法 1求两数的最大公约数 function gcd(a,b:integer):integer; begin if b=0 then gcd:=a else gcd:=gcd (b,a mod b); end ; 2求两数的最小公倍数 function lcm(a,b:integer):integer; begin if a0 do inc(lcm,a); end; 3素数的求法 A.小范围内判断一个数是否为质数： function prime (n: integer): Boolean; var I: integer; begin for I

2、:=2 to trunc(sqrt(n) do if n mod I=0 then begin prime:=false; exit; end; prime:=true; end; B.判断longint范围内的数是否为素数（包含求50000以内的素数表）： procedure getprime; var i,j:longint; p:array1.50000 of boolean; begin fillchar(p,sizeof(p),true); p1:=false; i:=2; while i50000 do begin if p then begin j:=i*2; while j=x

3、 then break else if x mod pr=0 then exit; prime:=true; end;prime 二、图论算法 1最小生成树 A.Prim算法： procedure prim(v0:integer); var lowcost,closest:array1.maxn of integer; i,j,k,min:integer; begin for i:=1 to n do begin lowcost:=costv0,i; closest:=v0; end; for i:=1 to n-1 do begin 寻找离生成树最近的未加入顶点k min:=maxlongi

4、nt; for j:=1 to n do if (lowcostjmin) and (lowcostj0) then begin min:=lowcostj; k:=j; end; lowcostk:=0; 将顶点k加入生成树 生成树中增加一条新的边k到closestk 修正各点的lowcost和closest值 for j:=1 to n do if costk,jlwocostj then begin lowcostj:=costk,j; closestj:=k; end; end; end;prim B.Kruskal算法：(贪心) 按权值递增顺序删去图中的边，若不形成回路则将此边加入最

5、小生成树。 function find(v:integer):integer; 返回顶点v所在的集合 var i:integer; begin i:=1; while (i=n) and (not v in vset) do inc(i); if i0 do begin i:=find(eq.v1);j:=find(eq.v2); if ij then begin inc(tot,eq.len); vset:=vset+vsetj;vsetj:=; dec(p); end; inc(q); end; writeln(tot); end; 2.最短路径 A.标号法求解单源点最短路径： var a

6、:array1.maxn,1.maxn of integer; b:array1.maxn of integer; b指顶点i到源点的最短路径 mark:array1.maxn of boolean; procedure bhf; var best,best_j:integer; begin fillchar(mark,sizeof(mark),false); mark1:=true; b1:=0;1为源点 repeat best:=0; for i:=1 to n do If mark then 对每一个已计算出最短路径的点 for j:=1 to n do if (not markj) a

7、nd (ai,j0) then if (best=0) or (b+ai,j0 then begin bbest_j:=best；markbest_j:=true; end; until best=0; end;bhf B.Floyed算法求解所有顶点对之间的最短路径： procedure floyed; begin for I:=1 to n do for j:=1 to n do if aI,j0 then pI,j:=I else pI,j:=0; pI,j表示I到j的最短路径上j的前驱结点 for k:=1 to n do 枚举中间结点 for i:=1 to n do for j:=

8、1 to n do if ai,k+aj,kai,j then begin ai,j:=ai,k+ak,j; pI,j:=pk,j; end; end; C. Dijkstra 算法： var a:array1.maxn,1.maxn of integer; b,pre:array1.maxn of integer; pre指最短路径上I的前驱结点 mark:array1.maxn of boolean; procedure dijkstra(v0:integer); begin fillchar(mark,sizeof(mark),false); for i:=1 to n do begin

9、 d:=av0,i; if d0 then pre:=v0 else pre:=0; end; markv0:=true; repeat 每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数 min:=maxint; u:=0; u记录离1集合最近的结点 for i:=1 to n do if (not mark) and (dmin) then begin u:=i; min:=d; end; if u0 then begin mark:=true; for i:=1 to n do if (not mark) and (au,i+dd) then begin d:=au,i+d; pr

10、e:=u; end; end; until u=0; end; 3.计算图的传递闭包 Procedure Longlink; Var T:array1.maxn,1.maxn of boolean; Begin Fillchar(t,sizeof(t),false); For k:=1 to n do For I:=1 to n do For j:=1 to n do TI,j:=tI,j or (tI,k and tk,j); End; 4无向图的连通分量 A.深度优先 procedure dfs ( now,color: integer); begin for i:=1 to n do i

11、f anow,i and c=0 then begin 对结点I染色 c:=color; dfs(I,color); end; end; B 宽度优先（种子染色法） 5关键路径 几个定义： 顶点1为源点，n为汇点。 a. 顶点事件最早发生时间Vej, Ve j = max Ve j + wI,j ,其中Ve (1) = 0; b. 顶点事件最晚发生时间 Vlj, Vl j = min Vlj wI,j ,其中 Vl(n) = Ve(n); c. 边活动最早开始时间 EeI, 若边I由表示，则EeI = Vej; d. 边活动最晚开始时间 ElI, 若边I由表示，则ElI = Vlk wj,k;

12、 若 Eej = Elj ，则活动j为关键活动，由关键活动组成的路径为关键路径。 求解方法： a. 从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve; b. 从汇点起topsort,求Vl; c. 算Ee 和 El; 6拓扑排序 找入度为0的点，删去与其相连的所有边，不断重复这一过程。 例 寻找一数列，其中任意连续p项之和为正，任意q 项之和为负，若不存在则输出NO. 7.回路问题 Euler回路(DFS) 定义：经过图的每条边仅一次的回路。（充要条件：图连同且无奇点） Hamilton回路 定义：经过图的每个顶点仅一次的回路。 一笔画 充要条件：图连通且奇点个数为0个或2个。 9判断图中是否

13、有负权回路 Bellman-ford 算法 xI,yI,tI分别表示第I条边的起点，终点和权。共n个结点和m条边。 procedure bellman-ford begin for I:=0 to n-1 do dI:=+infinitive; d0:=0; for I:=1 to n-1 do for j:=1 to m do 枚举每一条边 if dxj+tjdyj then dyj:=dxj+tj; for I:=1 to m do if dxj+tjdyj then return false else return true; end; 10第n最短路径问题 *第二最短路径：每举最短路径

14、上的每条边，每次删除一条，然后求新图的最短路径，取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。 *同理，第n最短路径可在求解第n-1最短路径的基础上求解。 三、背包问题 *部分背包问题可有贪心法求解：计算Pi/Wi 数据结构： w:第i个背包的重量； p:第i个背包的价值； 10-1背包： 每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次)： A.求最多可放入的重量。 NOIP2001 装箱问题 有一个箱子容量为v(正整数，ov20000)，同时有n个物品(on30)，每个物品有一个体积 (正整数)。要求从 n 个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。 l 搜索方法 procedure se

15、arch(k,v:integer); 搜索第k个物品，剩余空间为v var i,j:integer; begin if v=best then exit; sn为前n个物品的重量和 if kwk then search(k+1,v-wk); search(k+1,v); end; end; l DP FI,j为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。 实现:将最优化问题转化为判定性问题 f I, j = f i-1, j-w (wI=j0 then if j+now=n then inc(cj+now,aj); a:=c; end; 2可重复背包 A求最多可放入的重量。 F

16、I,j为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。 状态转移方程为 fI,j = f I-1, j wI*k (k=1. j div wI) B.求可以放入的最大价值。 USACO 1.2 Score Inflation 进行一次竞赛，总时间T固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的数量不限，每种题目有一个ti（解答此题所需的时间）和一个si（解答此题所得的分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T以内的前提下，所得的总分最大，求最大的得分。 *易想到： fi,j = max f i- k*wj, j-1 + k*pj (0=k=0 Then Begin t:=pr

17、oblemj.point+fi-problemj.time; If tf Then f:=t; End; Writeln(fM); End. C.求恰好装满的情况数。 Ahoi2001 Problem2 求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。 思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。 procedure try(dep:integer); var i,j:integer; begin cal; 此过程计算当前系数的计算结果，now为结果 if nown then exit; 剪枝 if dep=l+1 then begin 生成所有系数 cal; if now=n then

18、 inc(tot); exit; end; for i:=0 to n div prdep do begin xsdep:=i; try(dep+1); xsdep:=0; end; end; 思路二，递归搜索效率较高 procedure try(dep,rest:integer); var i,j,x:integer; begin if (rest0 then for k:=1 to n div now do if j+now*k=n then inc(cj+now*k,aj); a:=c; end; main begin read(now); 读入第一个物品的重量 i:=0; a为背包容量

19、为i时的放法总数 while i=n do begin a:=1; inc(i,now); end; 定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1，作为初值 for i:=2 to v do begin read(now); update; 动态更新 end; writeln(an); 四、排序算法 1.快速排序： procedure qsort(l,r:integer); var i,j,mid:integer; begin i:=l;j:=r; mid:=a(l+r) div 2; 将当前序列在中间位置的数定义为中间数 repeat while amid do dec(j);在右半部分寻找比中间

20、数小的数 if ij; if lj then qsort(l,j); 若未到两个数的边界，则递归搜索左右区间 if ir then qsort(i,r); end;sort B.插入排序： 思路：当前a1.ai-1已排好序了，现要插入a使a1.a有序。 procedure insert_sort; var i,j:integer; begin for i:=2 to n do begin a0:=a; j:=i-1; while a0aj then swap(a,aj); end; D. 冒泡排序 procedure bubble_sort; var i,j,k:integer; begin

21、for i:=1 to n-1 do for j:=n downto i+1 do if ajaj-1 then swap( aj,aj-1); 每次比较相邻元素的关系 end; E.堆排序： procedure sift(i,m:integer);调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数 var k:integer; begin a0:=a; k:=2*i;在完全二叉树中结点i的左孩子为2*i,右孩子为2*i+1 while k=m do begin if (km) and (akak+1) then inc(k);找出ak与ak+1中较大值 if a0ak then begin a:=ak;

22、i:=k;k:=2*i; end else k:=m+1; end; a:=a0; 将根放在合适的位置 end; procedure heapsort; var j:integer; begin for j:=n div 2 downto 1 do sift(j,n); for j:=n downto 2 do begin swap(a1,aj); sift(1,j-1); end; end; F. 归并排序 a为序列表，tmp为辅助数组 procedure merge(var a:listtype; p,q,r:integer); 将已排序好的子序列ap.q与aq+1.r合并为有序的tmpp.r var I,j,t:integer; tmp:listtype; begin t:=p;i:=p;j:=q+1;t为tmp指针，I,j分别为左右子序列的指针 while (t=r) do begin if (ir) or (a=aj) 满足取左边序列当前元素的要求 then begin tmpt:=a; inc(i); end else