高中数学 11正弦定理教学案 新人教版必修5.docx

1、高中数学 11正弦定理教学案 新人教版必修52019-2020年高中数学 1.1正弦定理教学案 新人教版必修5（一）教学目标1知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形中的一类简单问题2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。3情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间

2、的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。（二）教学重、难点重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：正弦定理的推导即理解（三）学法与教学用具学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。教学用具：直尺、投影仪、计算器（四）教学过程1创设情景如图11-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。 A思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B2探索研

3、究 (图11-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图11-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，又, A则 b c从而在直角三角形ABC中， C a B(图11-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图11-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C同理可得， b a从而 A c B (图11-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可

4、以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点A作， C由向量的加法可得 则 A B ，即同理，过点C作，可得 从而 类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即理解定理（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使，；（2）等价于，从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形

5、。3例题分析例1在中，已知，cm，解三角形。解：根据三角形内角和定理， ；根据正弦定理，；根据正弦定理，评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2如图，在ABC中，A的平分线AD与边BC相交于点D，求证： 证明：如图在ABD和CAD中，由正弦定理，得，两式相除得五巩固深化反馈研究1已知ABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）: D （2）已知ABC 已知A=450，B=750，b=8；求边（）A 8 B 4 C 4-3 D 8-8（3）正弦定理的内容是（4）已知a+b=12 B=450 A=600则则则a=-，b=-（5）已知在ABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角

6、形的周长为7.5，则其三边长分别为-（6）在ABC中，利用正弦定理证明六，课堂小结（有学生自己总结）七 板书设计略五 课堂小结（由学生归纳总结） 1.1.1 正弦定理 学案【预习达标】在ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，1.在RtABC中，C=900, csinA= ,csinB= ，即 = 。2. 在锐角ABC中，过C做CDAB于D，则|CD|= = ，即 ，同理得 ，故有 。3. 在钝角ABC中，B为钝角，过C做CDAB交AB的延长线D，则|CD|= = ，即 ，故有 。【典例解析】一 新课导入，推导公式（1）直角三角形中（2）斜三角形中正弦定理是例1在中，已知，cm，解三角形。例

7、2如图，在ABC中，A的平分线AD与边BC相交于点D，求证： 【达标练习】1. 已知ABC 已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）: D （2）已知ABC 已知A=450，B=750，b=8；求边（）A 8 B 4 C 4-3 D 8-8-（3）正弦定理的内容是（4）已知a+b=12 B=450 A=600则则则则a=-，b=-（5）已知在ABC中,三内角的正弦比为4:5:6，有三角形的周长为7.5，则其三边长分别为-（6）在ABC中，利用正弦定理证明参考答案【预习达标】1a,b,. 2.bsinA asinB , ,=.3. .bsinA asinB , =.【典例解析】如图11-

8、3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则， C同理可得， b a从而 A c B (图11-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点A作， C由向量的加法可得 则 A B ，即同理，过点C作，可得 从而 类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即例1解：根据三角形内角和定理， ；根据正弦定理，；根据正弦定理，评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。例2

9、证明：如图在ABD和CAD中，由正弦定理，得，两式相除得【双基达标】1（1）C（2）D（3）=.（4）36-1212-24（5）2, 2.5, 3，2证明：设，则 1.1.2 正弦定理【三维目标】：一、知识与技能1会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题2通过三角函数、正弦定理、等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.3.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力二、过程与方法让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。三、情感、态度与价值观1.培养

10、学生处理解三角形问题的运算能力；【教学重点与难点】：重点：正弦定理的探索及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。【授课类型】：新授课四教学过程 一、知识回顾 1正弦定理的内容是什么？二、例题讲解 例 1试推导在三角形中 =2R其中R是外接圆半径证明 如图所示， 同理， =2R例2 在：，为锐角， 例3 解，五、巩固深化，反馈矫正 1试判断下列三角形解的情况：已知则三角形ABC有（）解A 一 B 两 C 无解2已知则三角形ABC有（）解A 一 B 两 C 无解3.在中，三个内角之比，那么等于_4.在中，, B=135 C=15 a=5则此三角形的最大边长为_5在中，已

11、知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是_6.在中，已知，求的度数 六、小结（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数使；（2）=等价于=，=，=，即可得正弦定理的变形形式：1）；2）；3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题： 1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如；2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角如。一般地，已知角A 边a和边b解斜三角形，有两解或一解或无解（见图示）外接圆法）如图所示， a=bsinA有一解 absinA有两解 ab 有一解 ab有一解 七板书设计 略1.1.2正

12、弦定理学案 预习达标1 正弦定理的内容是2 在三角形ABC中已知c=10 A=450 C=300，则边a=-，边b=-，角B=-3在三角形ABC中，已知a=20cm，b=28cm，A=40，则角B=-（可借助计算器）二 典例解析例 1试推导在三角形中 =2R其中R是外接圆半径例2 在例3 三 达标练习1试判断下列三角形解的情况：已知则三角形ABC有（）解A 一 B 两 C 无解2已知则三角形ABC有（）解A 一 B 两 C 无解3.在中，三个内角之比，那么等于_4.在中， B=135 C=15 a=5 ,则此三角形的最大边长为_5.在中，已知，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是_6.在中，已知，求的度数学案答案一预习达标1 = 2 10 ， 5+5 3 64 或116二典例解析例1证明 如图所示， 同理， =2R例2 在：，为锐角， 例3