离散数学知识点.docx

1、离散数学知识点说明： 定义：红色表示。 定理性质：橙色表示。 公式：蓝色表示。 算法: 绿色表示 页码：灰色表示数理逻辑：1. 命题公式：命题， 联结词(，)，合式公式，子公式2. 公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3. 范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4. 联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5. 推理理论：重言蕴含式，有效结论，P规则，T规则， CP规则，推理6. 谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7. 项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8. 公式语义:

2、解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9. 前束范式:前束范式10. 推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，-规则（US），+规则（UG）， -规则(ES)，+规则(EG), 推理集合论：1. 集合: 集合, 外延性原理, , , , 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称差2. 关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3. 关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R),对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R)4. 等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5. 偏序关

3、系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6. 函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7. 集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1. 运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2. 代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。3. 群与子群：半群,子半群,元素的幂，独异点，群，群的阶数，子群,平凡子群，陪集，拉格朗日（Lagrange）定理4. 阿贝尔群和循环群：阿贝尔群(交换群)，循环群,生成元5. 环与域：环，交换环，含幺环

4、，整环，域6. 格与布尔代数：格，对偶原理，子格，分配格，有界格，有补格，布尔代数，有限布尔代数的表示定理图论：1. 图的基本概念：无向图、有向图、关联与相邻、简单图、完全图、正则图、子图、补图，握手定理，图的同构2. 图的连通性:通路，回路，简单通路，简单回路（迹）初级通路（路径），初级回路（圈），点连通，连通图，点割集，割点，边割集，割边，点连通度，边连通度，弱连通图，单向连通图，强连通图，二部图（二分图）3. 图的矩阵表示：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵4. 欧拉图与哈密顿图：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图，哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图5. 无向树与根树：无向树，生成

5、树，最小生成树，Kruskal，根树，m叉树，最优二叉树，Huffman算法6. 平面图:平面图，面，欧拉公式，Kuratoski定理数理逻辑：命题：具有确定真值的陈述句。 否定词符号：设p是一个命题，p称为p的否定式。p是真的当且仅当p是假的。p是真的当且仅当p是假的。【定义1.1】合取词符号：设p，q是两个命题，命题 “p并且q”称为p，q的合取，记以pq，读作p且q。pq是真的当且仅当p和q都是真的。【定义1.2】析取词符号：设p，q是两个命题，命题 “p或者q”称为p，q的析取，记以pq，读作p或q。pq是真的当且仅当p，q中至少有一个是真的。【定义1.3】蕴含词符号 ：设p，q是两个

6、命题，命题 “如果p，则q”称为p蕴含q，记以pq。pq是假的当且仅当p是真的而q是假的。【定义1.4】等价词符号 ：设p，q是两个命题，命题 “p当且仅当q”称为p等价q，记以pq。pq是真的当且仅当p，q或者都是真的，或者都是假的。【定义1.5】合式公式:(1) 命题常元和变元符号是合式公式；(2) 若A是合式公式，则(A)是合式公式，称为A的否定式； (3) 若A，B是合式公式，则 (AB)， (AB)， (AB)，(AB)是合式公式；(4) 所有合式公式都是有限次使用(1)，(2)，(3)、(4)得到的符号串。子公式: 如果是合式公式A的一部分，且本身也是一个合式公式，则称为公式A的子

7、公式。【定义1.6】赋值（指派，解释）： 设是命题变元集合，则称函数v： 1，0是一个真值赋值。【定义1.8】真值表：公式A在其所有可能的赋值下所取真值的表，称为A的真值表。【定义1.9】重言式（永真式）:任意赋值v， v A矛盾式（永假式）:任意赋值v， 有v A【定义1.10】等值式：若等价式AB是重言式，则称A与B等值，记作AB。【定义2.1】基本等值式 双重否定律 AA幂等律 AAA, AAA交换律 ABBA, ABBA结合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC)分配律 A(BC)(AB)(AC), A(BC)(AB)(AC)德摩根律 (AB)AB ,(AB)AB吸收律 A(A

8、B)A, A(AB)A 零律 A , A同一律 AA, A A排中律 AA 矛盾律 AA 蕴涵等值式 ABAB等价等值式 AB(AB)(BA)假言易位 ABBA等价否定等值式ABAB归谬论 (AB)(AB) A置换规则： 设是公式A的子公式, Y。将A中的（可以是全部或部分X）用Y来置换，所得到的公式B，则 AB。文字: 设A（命题变元集）, 则A和 A都称为命题符号A的文字，其中前者称为正文字，后者称为负文字。【定义2.2】析取范式：形如A1 A2 An (n1) 的公式称为析取范式，其中Ai(i=1,n)是由文字组成的合取范式。合取范式：形为A1 A2 An (n 1) 的公式称为合取范式

9、，其中A1,An都是由文字组成的析取式。【定义2.3】极小项：文字的合取式称为极小项，其中公式中每个命题符号的文字都在该合取式中出现一次。极大项：文字的析取式称为极大项，其中公式中每个命题符号的文字都在该合取式中出现一次。【定义2.4】主析取范式：给定的命题公式的主析取范式是一个与之等价的公式，后者由极小项的析取组成。主合取范式：给定的命题公式的主合取范式是一个与之等价的公式，后者由极大项的合取组成。【定义2.5】公式的真值表中真值为F的指派所对应的极大项的合取，即为此公式的主合取范式。真值函数： 称F:0,1n 0,1 为n元真值函数.【定义2.6】联结词的完备集：设C是联结词的集合，若对于

10、任意一个合式公式均存在一个与之等价的公式，而后者只含有C中的联结词，则称C是联结词的完备集。【定义2.7】， ， , ， ， ， ， ，是联结词的完备集。【定理2.6】异或PQ ： (P Q)条件否定PQ： (P Q)与非PQ： (P Q)或非PQ： (P Q)【定义2.8】,都是联结词的完备集【定理2.7】重言蕴含式：当且仅当PQ是一个重言式时，称P重言蕴含Q，记为PQ。有效结论：设A、C是两个命题公式，若A C，称C是A的有效结论。【定义3.1】推理定律重言蕴涵式 1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律3. (AB)A B 假言推理4. (AB)B A 拒取式 5. (AB

11、)B A 析取三段论6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式)9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难形式系统: 一个形式系统 I 由下面四个部分组成： (1) 非空的字母表，记作 A(I). (2) A(I) 中符号构造的合式公式集，记作 E(I). (3) E(I) 中一些特殊的公式组成的公理集，记作 AX(I). (4) 推理规则集，记作 R(I).记 I=, 其中是 I 的形式语言系统, 是 I 的形式演算系统.自然推理系统: 无

12、公理, 即AX(I)=公理推理系统: 推出的结论是系统中的重言式, 称作定理【定义3.2】P规则：在推导过程中,可以随时添加前提。T规则：在推导过程中,可以引入公式S，它是由其前题的一个或多个公式借助重言、蕴含而得到的。推理（证明）：从前提A1, A2, Ak到结论B的推理是一个公式序列C1, C2, Cl. 其中Ci(1il)是某个Aj, 或者可由序列中前面的公式应用推理规则得到, 并且Cl =B。【定义3.3】CP规则(演绎定理)：若 R|- S，则 |- RS, 其中为命题公式的集合。个体词：用于表示命题中主语部分的符号或符号串。个体常元 表示确指个体。个体变元 表示不确指个体。个体域:

13、 个体变元的取值范围，常用D表示。量词：限定个体数量特性的词。全称量词：对所有的存在量词：有些谓词语言：用符号串表示个体、谓词、量词和命题 个体变元符号： x，y，z， 个体常元符号： a，b，c， 函数符号：f，g， 谓词符号：P，Q，R， 命题常元符号： ， 量词符号： ， 连接词符号： , , , , 辅助符号： ） , （ 【定义4.1】项: (1)个体常元和变元是项； (2) 若f是n元函数符号，t1, , tn是项，则f(t1, , tn)是项；(3) 仅仅有限次使用(1)，(2)产生的符号串是项。 【定义4.2】原子公式: 若P是一个元谓词符号，t1,tn是项, 则P(t1,tn

14、)是原子公式。【定义4.3】合式公式： (1) 原子公式是公式；(2) 若A是合式公式，则( A)是合式公式；(3) 若A，B是公式，则(AB)，(AB)，AB)，(AB)是公式；(4) 若A是公式，x是变元，则xA，xA是公式； (5) 仅仅有限次使用得到的符号串才是合式公式。 【定义4.4】设公式 的一个子公式为 x A或 x A。则称： 指导变元：x是或的指导变元。辖域：A是相应量词的辖域。约束出现：辖域中x的一切出现，以及( x)中的x称为x在中的约束出现。自由出现：变元的非约束出现。约束变元：约束出现的变元。自由变元：自由出现的变元。 【定义4.5】封闭的：一个公式A是封闭的，若其中不含自由变元。【定义4.6】