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1、最值问题解题思路奥数复习课程马到成功奥数专题:离散最值引言：在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手：1.着眼于极端情形；2.分析推理确定最值；3.枚举比较确定最值；4.估计并构造。离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数，应用问题等打下扎实的基础。一、 从极端情形入手从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。题目1. 一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球

2、上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？解：假设摸出的8个球全是红球，则数字之和为（48=）32，与实际的和39相差7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。用一个绿球换一个红球，数字和可增加（64=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红球，现在72=31，因此可用3个绿球换红球，再用一个黄球换红球，这样8个球的数字之和正好等于39。所以要使8个球的数字之和为39，其中最多可能有（8-3-1=）4个是红球。题目2. 有13个不同

3、正整数，它们的和是100。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？解：2+4+6+8+10+12+14+16=72还要有5个奇数，但和是奇数，100是偶数，所以只能少一个偶数，2+4+6+8+10+12+14=56100-56=4242=1+3+5+7+9+17，最多有7个偶数。1+3+5+7+9+11+13+15=64还要5个偶数，100-64=3636=2+4+6+8+16 最少有5个偶数。题目3. 一种小型天平称备有1克、3克、5克、7克、9克5种砝码。为了能称出1克到91克的任意一种整数克重量，如果只允许在天平的一端放砝码，那么最少需要准备砝码多少个。解：要能称出1克到91克的任意一种整

4、数克重量，要有9个9克、1个5克、1个3克、2个1克，它们的和是91，这样即可。需要9+1+1+2=13个。题目4. 一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键尚能使用，因此可以输入77，707这样只含数字7和0的数，并且进行加法运算。为了显示出222222，最少要按“7”键多少次？222222-70000*3=12222按下了3个7 12222-7000*1=5222按下了1个75222-700*7=322 按下了7个7 322-70*4=42按下了4个7 42-7*6=0 按下了6个7。3+1+7+4+6=21次二、枚举法与逐步调整当我们在有限数中求最大（或最小）值时，枚举

5、法是常用基本方法之一。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。题目5. 将6，7，8，9，10按任意次序写在一个圆周上，每相邻两数相乘，并将所得得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少？解：要使乘积最小，就要每个数尽可能小。对于10，旁边添6和7，这样积小一些。于是有两种添法：-题目6. 某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？解法1：只

6、需求车上最多有多少人。依题意列表如下：由上表可见，车上最多有56人，这就是说至少应有56个座位。说明：本题问句出现了“至少”二字是就座位而言的，座位最少有多少，取决于什么时候车上人数最多，要保证乘客中每人都有座位，应准备的座位至少应当等于乘客最多时的人数。所以，我们不能只看表面现象，误认为有了“至少”就是求最小数，而应该把题意分析清楚后再作判断。解法2：因为车从某一站开出时，以前各站都有同样多的人数到以后各站（每站1人），这一人数也和本站上车的人数一样多，因此车开出时人数=（以前的站数+1）以后站数=站号（15-站号）。因此只要比较下列数的大小：114， 213， 312， 411， 510，

7、69， 78， 87， 96， 105，114， 123， 132， 141。由这些数，得知78和87是最大值，也就是车上乘客最多时的人数是56人，所以它应有56个座位。说明：此题的两种解法都是采用的枚举法，枚举法是求解离散最值问题的基本方法。这种方法的大意是：将问题所涉及的对象一一列出，逐一比较从中找出最值；或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论。题目7. 在如图18-2所示得2*8方格表中，第一行得8个方格内依次写着1、2、3、4、5、6、7、8。如果再把1、2、3、4、5、6、7、8按适当得顺序分别填入第二行的8个方格内，使得每列两数的8个差数两两不同，那么第二行所显示

8、的八位数最大可能值是多少？ 解：这8个差分别是0，1，2，3，4，5，6，7，和为28，分成两组，每组14。8和7必然填在1，2两个方格内。前两列的差是7和5，第3个如果填6，那么7+5+3超过14，所以只能填5，此时3个差为7、5、2，和为14，第4个格子只能填4，填6就会有重复。数字6只能填在第7格，再凑一凑即可得出87541362。三、从简单情形入手解决复杂问题可以从简单问题入手，经过分析得出规律，也就找到了解决复杂问题的方法。题目8. 从123456789101199100中划去100个数字，其他数字顺序不变，求剩下数中的最大数和与最大数位数相同的最小数。分析与解将此题简化为从1234

9、5678910中划去9个数字.利用枚举法不难得出剩下的两位数最大数为91，最小数为10，也就是在求最大数时，高位上的数字尽可能取大数字；求最小数时，高位上尽可能取小数字。本题中从 12345678910中划去 10个数字剩下9；从 111213484950中划去76个数字剩下4个9；再从51525354555657585960中划去14个数字剩下尽可能大的数是785960，从而得到所求的最大数 999997859606199100。求最小值时，从12345678910中划去9个数字剩下10，从11121314484950中划去76个数字剩下4个0，再从51525354555657585960中

10、划去15个数字剩下尽可能小的数12340，从而得到所求最小数10000012340616299100。题目9. 将1，2，3，49，50任意分成10组，每组5个数。在每一组中，数值居中的那个数称为“中位数”。求这10个中位数之和的最大值与最小值。解：1，2，3，49，50 4，5，6，47，48 28，29，30，31，323+6+30=165（最小值）1，2，48，49，50 3，4，45，46，47 19，20，21，22，2348+45+21=345（最大值）四、和一定问题1910 1992+8=10 28=1637=10 37=214+6=10 46=245+510 55=25例如，和

11、为10的两个自然数，它们的积的最大值是什么？我们知道和为10的自然数共有5对，每对自然数乘积后又得到5个不同的数，如下表：由此我们得到，当这两个自然数都取5时积有最大值 25。 成立。也就是和一定时差最小乘积越大。题目10.有3条线段a,b,c，线段a长2.12米，线段b场2.71米，线段c长3.53米。如图18-1，以它们作为上底、下底和高，可以作出3个相同的梯形。问第几号梯形的面积最大？解：由于梯形体积=（上底+下底）*高/2在和一定的情况下，要使乘积最大，让两个数越接近。可见a+b与c十分接近，所以的面积最大。题目11.如果将进货单价为40元的商品按50元售出，那么每个的利润是10元，但

12、只能卖出500个。当这种商品每个涨价1元时，其销售量就减少10个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。总共可以获利（50x-40）（500-10x）=10（10+X）（50-X）（元）。因（10+x）+（50x）=60为一定值，故当10+X=50X即X=20时，它们的积最大。此时，每个的销售价为5020=70（元）题目12.用3，4，5，6，7，8六个数字排成三个两位数相乘，要求它们的乘积最大。应该怎样排列？【分析与解】十位数字分别是8、7、6，876,个位数字分别是5，4，3，543，依据“接近原则”，大小搭配可得837465

13、，三个数最接近因而它们的乘积最大。综上数例，可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近，乘积越大。综上数例，可以归纳出这样的规律: 较大数后配较小的数，较小的数后配较大的数，这样才能使数之间更为接近，从而保证乘积最大。简单地说就是：数越接近，乘积越大。五、积一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。若它们能够相等，则当它们相等

14、时，和最小。题目13.长方形的面积为 144 cm2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？解：设长方形的长和宽分别为 xcm和 ycm，则有xy144。故当x=y=12时，x+y有最小值，从而长方形周长2（xy）也有最小值。题目14.农场计划挖一个面积为432 m2的长方形养鱼池，鱼池周围两侧分别有3m和4m的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？解：如图所示，设水池的长和宽分别为xm和ym，则有xy432。占地总面积为 S=（x6）（y8）cm2。于是S=Xy+6y+8X486y+8X+480。我们知道6y 8X=48432为一定值，故当6y=8X时，S最小，此时有6

15、y=8X=144，故y=24，x=18。六、从整体入手从整体抓住数据的本质特征进行分析，较易突破难点。题目15.在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？题目16. 在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘积是多少？

16、解：把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2倍。因为55-3718，所以我们变成减数的这些数之和是182=9。对于大于2的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。9最多可拆成三数之和234=9，因此这些减数的最大乘积是23424，添上加、减号的算式是10 9 8 7 6 5- 4- 3- 2 137。七、抓不等关系题目17.某校决定出版“作文集”，费用是30册以内为80元，超过30册的每册增加1.20元。当印刷多少册以上时，每册费用在1.50元以内？解：显然印刷的册

17、数应该大于30。设印刷了（30x）册，于是总用费为（80+1.2x）元。故有80+1.2x1.5 （30+x），答案:117+30=147以内。题目18.有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块。那么这4袋糖块的总和最少有多少块？解：要使其中任意3袋的总和都超过60块，那么至少也是61，先在每袋中放20个糖块，但任意3袋中至少一个21，否则就无法超过60。要使任意3袋中至少一个21，这4个袋子的糖块分别是20，20，21，21。和为20+20+21+21=82八、抓相等关系题目19.10位小学生的平均身高是1.5米。其中有一些低于1.5米的，他们的平均身高是1.2米；另一些高于1.5米的平均

18、身高是1.7米。那么最多有多少位同学的身高恰好是1.5米？解:要最多有多少位同学的身高恰好是1.5米，就要使低于和高于1.5米的人越少，设高于和低于的人分别为a,b。可得：1.2a+1.7b=1.5(a+b) 2b=3a至少是5人那么最多有10-5=5位同学的身高恰好是1.5米。-题目20.4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母只有2个奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等。这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的偶数尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少？解：1/奇+1/奇=1/偶+1/偶 偶/奇=（偶+偶)/偶 偶 奇*（偶+偶）=偶*偶*偶。因为偶*偶

19、*偶是8的倍数所以偶+偶是8的倍数若是8，只能为2和6则1/2+1/6=1/3+1/3不符合题意，因为奇相等;若是16，有1/6+1/10=1/5+1/15因此本题答案是16。九、位值展开式题目21.一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少？解：设两位数位ab（a表示十位数字，b表示个位数字）ab=(10a+b)/(a+b)=(9a)/(a+b)+1a+b最大是18，此时余数为9当a+b=17，若a=9 余数为13若b=9余数为4题目22.当a+b=16，若a=9 余数为1 若b=9余数为15 此时余数最大。由3个非零数字组成的三位数与这3个数字之和的商记为K。如果K是整数，那么K的

20、最大值是多少？解：设这个数为abc（a表示百位数字，b表示十位数字，c表示个位数字）那么abc/（a+b+c）=K (100a+10b+c)/(a+b+c)=K 要使这个算式最大，就要让a尽可能大，b,c尽可能的小。试一下：911/（9+1+1）=829，811/（8+1+1）=811，711/（7+1+1）=79，所以K最大是79。题目23.用1，3，5，7，9这5个数组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用0，2，4，6，8这5个数组成一个三位数FGH和一个两位数IJ。求算式ABCDEFGHIJ的计算结果的最大值。解：要使ABC*DE-FGH*IJ这个算式最大就要使ABC*DE最大，FG

21、H*IJ最小。那么前面最大是751*93。后面最小是468*20。那么算式的最小值是751*93-468*20=60483十、“估计+构造”“估计+构造”是解离散最值问题的一种常用方法，要求某个离散最值，先估计该量的上界或下界，然后构造出一个实例说明此上界或下界能够达到，这样便求出了这个量的最大值或最小值。题目24.把 1，2，3，12填在左下图的12个圆圈里，然后将任意两个相邻的数相加，得到一些和，要使这些和都不超过整数n，n至少是多少？为什么？并请你设计一种填法，满足你的结论。解：因为1+2312=78， 7821213，所以n13。又考虑到与12相邻的数最小是1和2，所以n至少是14。右

22、上图是一种满足要求的填法。十一、转化与对称思想转化思想是数学思想之一，把复杂问题转化成简单问题，从而达到解决问题的目的.在平面上有两个点A、B，把A、B用线连结起来有许多种方法，可用线段、弧线、折线等.在这无穷多种连结方法中，线段最短，因而我们也称线段AB的长叫A、B两点间的距离。我们可以做一个有趣的实验：在一个长方体的上面N点放上食品，在长方体侧面ABCD上M点放一只蚂蚁（如图3），蚂蚁从侧面经过棱AD到N有无穷多种走法（如图4），我们关心的问题是蚂蚁怎样走路程最短？在这个立体图形中找出答案是很困难的，直接连结MN则不经过棱AD，与条件不符.为了使问题简化，我们将长方体展成平面图形，连结MN

23、交AD于P.由公理，两点之间线段最短，可知蚂蚁从M点沿直线MP爬到P后，再由P点沿直线PN爬到N时走过的路程最短。题目25.如图11某次划船比赛规定从A点出发，先到左岸然后到右岸然后再到B点，时间少者取胜.请你设计一条航线，使船走的路程最短.由于两点间的距离线段最短，我们想办法把问题转化为求两点距离问题。如图，找到A点关于左岸的轴对称点，B点关于右岸的轴对称点，连结 AB，与左岸、右岸分别有交点C、D，沿折线ACDB航行就是最短航线。十二、学写说理题题目26.23个不同的自然数的和是4845。问：这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少？写出你的结论，并说明理由。.17。解：设这23个彼

24、此不同的自然数为a1，a2，a22，a23，并且它们的最大公约数是d，则a1=db1，a2=db2，a22=db22，a23=db23。依题意，有4845=a1+a2+a22+a23=d（b1+b2+b22+b23）。因为b1，b2，b22，b23也是彼此不等的自然数，所以b1+b2+b231+2+23=276。因为4845=d（b1+b2+b22+b23）276d，所以又因为4845=191715，因此d的最大值可能是17。当a1=17，a2=172，a3=173，a21=1721，a22=1722，a23=1732时，得a1+a2+a22+a23=17（1+2+22）+1732=17253

25、+1732=17285=4845。而（a1，a2，a22，a23）=17。所以d的最大值等于17。解题在于实践：题目27.设a1，a2，a3，a4，a5，a6是1到9中任意6个不同的正整数，并且a1a2a3a4a5a6。试用这6个数分别组成2个三位数，使它们的乘积最大。分析与解：由于a1，a6具体大小不清楚，因此先取特殊数1，2，3，4，5，6这6个不同的数考虑。要使2个三位数的乘积最大，必须使这2个数的百位数最大，应分别是6，5；而十位数次大，应分别为4，3，个位数最小，应分别为2，1。因为当2个数之和一定时，这2个数之差越小，它们的乘积越大，所以这2个数是631和542。题目28.8个互不

26、相同的正整数的总和是56，如果去掉最大的数及最小的数，那么剩下的数的总和是44。问：剩下的数中，最小的数是多少？解：因为最大数与最小数的和是5644=12，所以最大数不会超过11。去掉最大和最小数后剩下的6个互不相同的自然数在210之间，且总和为44，这6个数只能是4，6，7，8，9，10。题目29.采石场采出了200块花岗石料，其中有120块各重7吨，其余的每块各重9吨，每节火车车皮至多载重40吨，为了运出这批石料，至少需要多少节车皮？解：每节车皮所装石料不能超出5块，故车皮数不能少于2005=40（节），而40节车皮可按如下办法分装石料：每节装运3块7吨的和两块9吨的石料，故知40节可以满

27、足要求。题目30.一个水池，底部安有一个常开的排水管，上部安有若干个同样粗细的进水管，当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？分析本题没给出排水管的排水速度，因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系，才能确定至少要打开多少个进水管.解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a，排水管1小时排水量为b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b）5=（2a-b）15，化简，得：4a-b=6a-3b，即a=b.这就是说，每个进水管1小时

28、的注水量等于排水管1小时的排水量.再设2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程，得（xa-a）2（2a-a）15，化简，得 2ax-2a=15a，即 2xa=17a.（a0）所以x=8.5因此至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.注意：x=8.5，这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.题目31.用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字各一次，组成一个被减数，减数，差都是三位数的正确的减法算式，那么这个减法算式的差最大是多少？解：要想差最大必须考虑被减数取最大，那么先考虑百位为9，同样考虑减数最小，百位为1

29、，再通过试算得出936-152=784，此时差为最大既784。题目32. 有一个正整数的平方，它的最后三位数字相同但不为零，试求满足上述条件的最小正整数。1444。解：平方数末位只能为0，1，4，5，6，9。因为111，444，555，666，999均非平方数，而1000，1111也不是平方数，但1444=382，故满足题设条件的最小正整数是1444。题目33. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中，任取5个数相加的和与其余5个数相加的和相乘，能得到多少个不同的乘积。13. 从整体考虑分两组和不变：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55从极端考虑分成最小和最大的两组为（1+2+3+4+5）+（6+7+8+9+10）=15+40=55最接近的两组为27+28所以共有27-15+1=13个不同的积。另从15到27的任意一数是可以组合的。自我评价：还成（）不错（）得意（）酷（）日积月累：_