《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7解析几何.docx

1、高校自主招生考试数学真题分类解析之7解析几何专题之7、解析几何一、选择题。1、(2009年复旦大学)设ABC三条边之比ABBCCA=324,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是2、(2009年复旦大学)平面上三条直线x2y+2=0,x2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是A.只有唯一值B.可取二个不同值 C.可取三个不同值D.可取无穷多个值3、(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足0k11 C.a2(1b2)0,b0)的离心率为,A(x1,y1),B(x2,y2)两点在双曲线上,且x1x2.(1)若线段AB的垂直平分

2、线经过点Q(4,0),且线段AB的中点坐标为(x0,y0),试求x0的值;(2)双曲线上是否存在这样的点A与B,满足OAOB?19、(2011年同济大学等九校联考)已知椭圆的两个焦点为F1(1,0),F2(1,0),且椭圆与直线y=x相切.(1)求椭圆的方程;(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2与椭圆分别交于P,Q及M,N,求四边形PMQN面积的最大值与最小值.20、(2012年同济大学等九校联考)抛物线y2=2px(p0),F为抛物线的焦点,A、B是抛物线上两点,线段AB的中垂线交x轴于D(a,0),a0,(1)证明:a是p、m的等差中项;(2)若m=3p,l为平行于y轴的直线,其被以

3、AD为直径的圆所截得的弦长为定值,求直线l的方程.21、(2009年清华大学)有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面?证明你的结论.22、(2009年清华大学)已知|PM|PN|=2,M(2,0),N(2,0).(1)求点P的轨迹W;(2)直线y=k(x2)与W交于点A,B,求SOAB(O为原点).23、(2009年清华大学)椭圆C: + =1(ab0),直线l过点A(a,0),与椭圆交于点Q,与y轴交于点R,过原点的平行于l的直线l与椭圆交于点P,证明:|AQ|, |OP|,|AR|成等比数列.24、(2010年清华大学等五校联考)设A,B,C,D 为抛物线x2=4y上不同的四点,A,D关

4、于该抛物线的对称轴对称,BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l.设D 到直线AB,AC 的距离分别为d1,d2,()判断ABC是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中的哪一种三角形,并说明理由;()若ABC 的面积为240,求点A 的坐标及直线BC的方程.25、(2011年清华大学等七校联考)F1、F2分别为C的左、右焦点,P为C右支上一点,(1)求C的离心率e;(2)设A为C的左顶点,Q为第一象限内C上的任意一点,问是否存在常数(0),使得QF2A=QAF2恒成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.26、(2012年清华大学等七校联考)(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)已知过点B的直线

5、交曲线C于x轴下方不同的两点M,N,设MN的中点为R,过R与点Q(0,2)作直线RQ,求直线RQ斜率的取值范围.27、(2010年北京大学等三校联考)A,B为y=1x2上在y轴两侧的点,求过A,B的切线与x轴围成的图形面积的最小值.28、(2011年北京大学等十三校联考)C1和C2是平面上两个不重合的固定圆,C是该平面上的一个动圆,C与C1、C2都相切,则C的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由.29、(2011年北京大学等十三校联考)求过抛物线y=2x22x1,y=5x2+2x+3交点的直线方程.1.A【解析】如图,2.C【解析】三条直线相交于一点或者其中两条直线平行,则平面被分成六个部分.(1)

6、当三条直线交于一点(2,2),对应一个k值;(2)当直线x+ky=0与x2y+2=0或者x2=0平行,则对应两个不同的k值.因此共有三个不同的k值.3.C4.A【解析】本题可以采用特殊值和特殊位置来分析,结合具体的选项,得到正确结果.当n=4时,相邻两射线的夹角为,然后可以让A1,A2,A3,A4正好为椭圆的四个顶点,容易得到|OAk|2=2(a2+b2),结合各选项知A正确.7.B【解析】由得直线方程为y=mx+b,由消去y得(x1)2+a2(mx+b)2a2=0,即(1+a2m2)x2+(2a2mb2)x+(1+a2b2a2)=0,由于直线与椭圆相交,所以=(2a2mb2)24(1+a2m

7、2)(1+a2b2a2)0,整理得(a21)m22bm+(1b2)0,上式对于任意的实数m恒成立,所以有,整理得a2(1b2)1.8.D【解析】在D选项中,由2cos 2+2(cos +sin )=1得2(cos2sin2)+2(cos +sin )=1,2cos22sin2+2cos +2sin =1,由于x=cos ,y=sin ,代入可得x2y2+2x+2y1=0,显然这不是一个圆的方程.9.A【解析】依题意知,椭圆上的各个点中到圆心(0,6)的距离最大的点是椭圆的下顶点(0,4),最大距离为10,因此椭圆上的点到圆上的点的距离的最大值等于11.10.D【解析】设圆锥曲线上任一点M(,)

8、,焦点F到相应准线的距离为P,则=为三种圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的统一极坐标方程,0e1时曲线表示双曲线右支,允许0表示整个双曲线.由知识拓展中圆锥曲线的统一极坐标方程知:=,则0e=1,故极坐标方程所表示的曲线为椭圆或抛物线(当且仅当k=1时曲线为抛物线).11.A【解析】由题意可设抛物线方程为y2=2px(p0),A(x3,y3),B(x1,y1),C(x2,y2),ABC的重心为G(,0).联立,得2y2+py20p=0,有,又,得,即A(10,),代入抛物线方程可得=2p(10),故p=8,抛物线方程为y2=16x.故选A.12.D【解析】利用C2的短轴长与C1的实轴长的比值等

9、于C2的离心率找到k和a之间的关系,再利用k和a表示出C1在C2的一条准线上截得线段的长,整理可得最终结果.由C2的短轴长与C1的实轴长的比值等于C2的离心率可知,= ,故k(a24)=4,C2的右准线方程为x=,代入C1的方程得 =k,整理可得y=2,故C1在C2的右准线上截得线段的长为4,选D.13.A解法二如图,14.B15.(1)如图所示,16.(1)设x轴与圆的切点为D,PB,PC分别切圆于E,F,17.(1)首先,25616|x|0,|x|16,16x16.y216x=25616|x|.i)当0x16时,y2=256, y=16(0x16),图象是两条线段;ii)当16x0时,y2

10、=256+32x=32(x+8)(8x0).23.设l:y=k(x+a)(易知斜率存在,否则点Q不存在),则l:y=kx.24.如图.所以8|4|=240,解得x0=8,所以A(8,16)或A(8,16),当取A(8,16)时,求得B(4,4),又BC的斜率为x0=4,所以直线BC的方程为y4=4(x4),即4xy12=0.同理,当取A(8,16)时,求得B(12,36),直线BC的方程为4x+y+12=0.25.(1)如图,26.27.【解析】设过A点的切线交x轴于点C,过B点的切线交x轴于点D,直线AC与直线BD相交于点E,如图.28.假设圆C1、C2的半径分别为r1、r2,动圆半径为r.

11、分以下情况进行讨论:(1)如果r1=r2.当圆C1、C2相离时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则|CC1|=r+r1,|CC2|=r+r2,因此|CC1|=|CC2|,动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线;(b)若动圆C与两个圆都内切,则|CC1|=rr1,|CC2|=rr2,因此|CC1|=|CC2|,动圆圆心轨迹为线段C1C2的垂直平分线;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外切,则C1C2=r1+r2r2.当圆C1、C2相离时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则C1=r+r1,C2=r+r2,因此C2r1r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的对应焦点为C2的一支;

12、(b)若动圆C与两个圆都内切,则C1=rr1,C2=rr2,因此C1r1r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的对应焦点为C1的一支;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外切,则C1C2=r1+r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线.当圆C1、C2相外切时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则C1=r+r1,C2=r+r2,因此C1C2=r1r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的对应焦点为C2的一支,但应除去两圆的切点;(b)若动圆C与两个圆都内切,则C1=rr1,C2=rr2,因此C2C1=r1r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点

13、的双曲线的对应焦点为C1的一支;(c)若动圆C与两个圆中的一个内切,另一个外切,则CC1CC2=r1+r2=C1C2(或CC1CC2=r1+r2),动圆圆心轨迹为直线C1C2,但应除去C1、C2以及两圆的切点.当圆C1、C2相交时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则CC1=r+r1,CC2=r+r2,因此CC1CC2=r1r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的双曲线的对应焦点为C2的一支,但应除去两圆公共区域内的部分;(b)若动圆C与两个圆都内切,则CC1r1,CC2r2,因此CC2CC1=r1r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的椭圆,但应除去两圆公共区域内的部分.当圆C1

14、、C2内切时,(a)若动圆C与两个圆都外切,则C1=r+r1,CC2=r+r2,因此C1CC2=r1r2=|C1C2|,动圆圆心轨迹为直线C1C2,除去直线C1C2与圆C1、C2的交点;(b)若动圆C与两个圆都内切,则C1=rr1,CC2=rr2(或C1=r1r,CC2=rr2或C1=r1r,CC2=r2r),因此C1C2=r1r2=C1C2(或C1+CC2=r1r2),动圆圆心轨迹为直线C1C2,除去直线C1C2与圆C1、C2的交点;(c)若动圆C与C1内切,C2外切,则CC1+CC2=(r1r)+(r+r2)=r1+r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的椭圆(两圆C1、C2的交点

15、除外).当圆C1、C2内含时,(a)若动圆C与两个圆都内切,则CC1=r1r,CC2=rr2,CC1CC2=r1r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的椭圆.(b)若动圆C与C1内切、C2外切,这时CC1=r1r,CC2=r+r2,所以CC1CC2(r1r)+(r+r2)=r1+r2C1C2,动圆圆心轨迹为以C1、C2为焦点的椭圆.【解析】两个定圆的半径的大小关系、位置关系将影响动圆的圆心的轨迹,因此应根据两个定圆的半径的大小关系、位置关系进行分类讨论.在求解中,要注意所得轨迹的纯粹性,即是不是整个曲线都是轨迹上的点,应结合图形的位置关系的实际情况进行分析,把不符合要求的点除去.29.6x+7y1=0.【解析】可以直接对两个抛物线方程进行加减消元,消去二次项,得到所求直线的方程;也可以直接解方程组求出两个交点的坐标,然后求直线方程.